matlab插值与曲线拟合.docx
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matlab插值与曲线拟合
matlab插值与曲线拟合
（2010-05-0121:
49:
55）
在生产和科学实验中，自变量与因变量间的函数关系有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。
当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数有很多方法。
根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。
一、插 值
1、一维插值：
已知离散点上的数据集，即已知在点集X=上的函数值Y=，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：
yi=interp1（X,Y,xi,method）
该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值。
xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method可以下列方法之一：
‘nearest’：
最近邻点插值，直接完成计算；
‘spline’：
三次样条函数插值；
‘linear’：
线性插值（缺省方式），直接完成计算；
‘cubic’：
三次函数插值；
对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
例1：
已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：
75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
解：
程序如下
year=1900:
10:
2010;
product=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633,256.344,267.893]
p1995=interp1（year,product,1995）
x=1900:
2010;
y=interp1（year,product,x,'cubic'）;
plot（year,product,'o',x,y）;
计算结果为：
p1995=252.9885。
2、二维插值
已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以外的点的函数值，这一过程称为二维插值。
MATLAB函数：
Zi=interp2（X,Y,Z,Xi,Yi,method）
该命令用指定的算法找出一个二元函数，然后以给出处的值。
返回数据矩阵，Xi，Yi是向量，且必须单调，和meshgrid（Xi,Yi）是同类型的。
method可以下列方法之一：
‘nearest’：
最近邻点插值，直接完成计算；
‘spline’：
三次样条函数插值；
‘linear’：
线性插值（缺省方式），直接完成计算；
‘cubic’：
三次函数插值；
例2：
已知1950年到1990年间每隔10年，服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下：
表：
某企业工作人员的月平均工资（元）
服务年限
年份
10
20
30
1950
150.697
169.592
187.652
1960
179.323
195.072
250.287
1970
203.212
239.092
322.767
1980
226.505
273.706
426.730
1990
249.633
370.281
598.243
试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。
解：
程序如下：
years=1950:
10:
1990;
service=10:
10:
30;
wage=[150.697169.592187.652
179.323195.072250.287
203.212239.092322.767
226.505273.706426.730
249.633370.281598.243];
mesh（service,years,wage）%绘原始数据图
w=interp2（service,years,wage,15,1975）;%求点（15,1975）处的值
计算结果为：
235.6288
例3：
设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x,y构成的网格上，数据为：
12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25
20,25,30,33,32,20
求通过这些点的插值曲面。
解：
程序为：
x=1:
6;
y=1:
4;
t=[12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25;
20,25,30,33,32,20]
subplot（1,2,1）
mesh（x,y,t）
x1=1:
0.1:
6;
y1=1:
0.1:
4;
[x2,y2]=meshgrid（x1,y1）;
t1=interp2（x,y,t,x2,y2,'cubic'）;
subplot（1,2,2）
mesh（x1,y1,t1）;
结果如右图。
作业：
已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=00.511.522.533.544.55
y=00.511.522.533.544.555.56
海拔高度数据为：
z=8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
来源：
（-matlab插值与曲线拟合_Emily_新浪博客
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8081858283848790958688
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1、画出原始数据图;
2、画出加密后的地貌图，并在图中标出原始数据
二、拟合
曲线拟合
已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合。
最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数使得最小。
MATLAB函数：
p=polyfit（x,y,n）
[p,s]=polyfit（x,y,n）
说明：
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
x必须是单调的。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
（见下一函数polyval）
多项式曲线求值函数：
polyval（）
调用格式：
y=polyval（p,x）
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）
说明：
y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计YDELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则YDELTA将至少包含50%的预测值。
例5：
求如下给定数据的拟合曲线，x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：
MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit（x,y,2）
x1=0.5:
0.05:
3.0;
y1=polyval（p,x1）;
plot（x,y,'*r',x1,y1,'-b'）
计算结果为：
p=0.56140.82871.1560
此结果表示拟合函数为：
，用此函数拟合数据的效果如图所示。
例2：
由离散数据
x
0
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
1
y
.3
.5
1
1.4
1.6
1.9
.6
.4
.8
1.5
2
拟合出多项式。
程序：
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
p=polyfit（x,y,n）
xi=linspace（0,1,100）;
z=polyval（p,xi）;%多项式求值
plot（x,y,’o’,xi,z,’k:
’,x,y,’b’）
legend（‘原始数据’,’3阶曲线’）
结果：
p=
16.7832-25.745910.9802-0.0035
多项式为：
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形：
也可由函数给出数据。
例3：
x=1:
20,y=x+3*sin（x）
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,6）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;%¶àÏîʽÇóÖµº¯Êý
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
结果：
p=
0.0000-0.00210.0505-0.59713.6472-9.729511.3304
再用10阶多项式拟合
程序：
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,10）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;
plot（x,y,'o',xi,z,'k:
',x,y,'b'）
结果：
p=
Columns1through7
0.0000-0.00000.0004-0.01140.1814-1.806511.2360
Columns8through11
-42.086188.5907-92.815540.267
可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
可以自己动练习：
1．已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1]，y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5]，利用其中的部分数据，分别用线性函数插值，3次函数插值，求x=2.0处的值。
2．已知二元函数在点集上的值为，其中，左上角位置表示，右下角位置表示，求该数据集的插值曲面。
3．已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3]，y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5]，求对x，y分别进行4，5，6阶多项式拟合的系数，并画出相应的图形。
4．学习函数interp3（X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method），对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。
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