第四章本构方程pptConvertor.docx
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第四章本构方程pptConvertor
Chapter4ConstitutiveEquations本构方程
4-1.Introduction引言
应力分析：
从静力学的角度得到力的平衡方程和边界条件。
应变分析：
从几何学的角度研究变形几何方程和边界条件。
本构关系：
研究应力与应变之间存在的内在联系。
4-2.Experiments拉伸和压缩时的应变应变曲线
1、低碳钢拉伸试验曲线：
线弹性阶段：
OA
弹性阶段：
AB
B点应力：
弹性极限
屈服阶段：
CD
C点应力：
上屈服极限
D点应力：
下屈服极限
塑性流动阶段：
DH
强化阶段：
H点以后
缩径阶段：
b点以后
2.无明显屈服阶段材料
应力—应变曲线:
屈服极限规定用产生0.2％塑性
应变所对应的应力来表示。
记为σ0.2
3.包辛格（J.Bauschinger）效应（反向屈服效应）:
具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高而在相反方向降低的效应。
一般认为这是由多晶材料晶界间残余应力引起的。
通常且
若称为理想包辛格效应。
4.真实应力—应变曲线讨论：
σ=P/A0A0：
试件初始截面积，σ为名义应力
σT=P/AA：
试件变形后截面积σT为真实应力
σT>σ
利用体积不可压缩假设：
则
作图：
故有
***对简单拉伸，考虑泊松效应
若纵向应变，则侧向应变为：
截面积体积
体积变化
4-3.变形能函数
物体受力变形的过程，其本质上是一个热力学过程。
（1）等温过程：
物体在变形过程中，各点的温度与周围介质的
温度保持平衡。
（2）绝热过程：
物体在变形过程中不产生温度的变换。
即：
物
体温度没有升降，热量无损失或增加。
由热力学第一定律，物体在变形过程中总能量的变化：
δK+δU=δA+δQ
其中：
δK为动能的变化，K为物体的动能
δU为变形能的变化，U为物体的变形能
δA为外力功的变化，A为变形过程中外力做的功
δQ为热量的变化，Q为物体变形吸收（或散发）的热量
设物体的体积为V，变形位移ui，受外力Fi作用
则物体的动能变化
式中为速度分量，为加速度分量
注意到
故有
外力功的变化：
式中Fi为体力，Ti为面力，S为物体的表面积
利用应力边界条件
和高斯积分公式的展开式：
则面力功的变化：
注1：
则面力功的变化：
**注2：
取
便有
即有
则面力功的变化：
***注3：
考察
故有
其中，为应变分量，表示物体的纯变形部分，
为物体的刚性位移部分，称为转动张量
应力在刚体位移上不做功。
为一二阶对称张量
为一二阶反对称张量
则面力功的变化：
从而有
物体变形能的变化
注意到
又注意到物体运动微分方程为：
平衡状态下，有平衡微分方程：
从而有
若变形过程是绝热的，即则有
在平衡状态下，
结论：
在平衡状态下，外力所做的功等于物体中应变能的变化。
或者说，外力所做的功，全部转化为物体的应变能。
记变形能的变化
则
为单位体积应变能的变化。
记U0为应变分量的函数，即：
显然有
其全微分为
U0表示由于变形而贮存在物体单位体积内的应变能，称为应变能
密度函数。
定义：
应变能的变化
应变余能的变化
***
有
则对于应变能密度函数U0，
展开式为：
类似地，对于应变余能密度函数U0*，
展开式为：
有
4-4.广义Hooke定律
在小变形情况下，忽略应变分量的高阶值，同时利用零初应力状态假定，得到最一般形式下线弹性应力—应变关系的表达式：
1、应力—应变关系的一般表示:
展开式：
简记为：
或
写成矩阵形式：
简记为：
一般情况下，系数Cij不是常数，除依赖温度外，还依赖于在物体中所处的位置。
通常Cij随着温度的增高而减小。
对于均匀的物体，各点的Cij相同。
注意到：
则有：
即[C]为对称矩阵，只有21个独立的弹性系数。
即：
一般的各向异性弹性材料有21个弹性系数。
2、各向异性体弹性材料的应力—应变关系：
根据前面的讨论，应变能密度函数U0满足：
考察：
类似地可得到
3、各向同性体材料的广义Hooke定律
各向同性体材料的应力主轴和应变主轴重合。
证明：
1°以三个应变主轴方向为轴建立坐标系。
则对应于三个主轴方向的切应变为零：
于是对应于主应变状态的各应力分量为:
1′
3′
2′
o
2°建立新坐标系。
不妨把坐标系1、2、3绕2轴旋转180°得到
坐标系1′、2′、3′。
坐标系间的方向余弦关系为：
在新坐标系1′、2′、3′下，对于各向同性体，弹性常数不随
方向而改变，则对应于新坐标系下的各应力分量同样有：
应变状态的坐标变换
显然有：
考察应力状态的坐标变换
同时对的影响和对的影响应该没有区别：
对于各向同性体材料，在各个方向上的弹性性质相同，显然主应变对的影响与主应变对的影响和主应变对的影响都是相同的，即有
即有：
同理有
于是知：
应变主轴坐标系所对应的应力状态是主应力状态，即
应变主轴也是应力主轴，或者说：
应变主轴和应力主轴重合。
从而有：
〈ii〉各向同性体材料只存在两个独立的弹性常数
已知在主轴坐标系下，
类似地
不妨记
则有
引入Lame常数
体积应变
则有
引入非主轴坐标系Oxyz，与主轴坐标系
间的方向余弦关系记为：
在Oxyz系下的应力和应变状态分别为
不妨考察
以及
利用主轴坐标系下的结论
有
于是得到各向同性体材料的应力—应变关系即广义Hooke定律为
简记为
根据由拉梅系数表示的广义虎克定律：
可以解出应变以应力分量表示的形式，即得到以工程弹性常数
表示的广义Hooke定律为：
<1>工程弹性常数：
E，G，
E：
（拉压）弹性模量，杨氏（Young’s）模量
G：
剪切弹性模量
：
泊松比（PoissonRatio）
4、以工程弹性常数表示的各向同性体的广义Hooke定律
<2>工程弹性常数与拉梅系数间的关系：
其中：
由于各向同性体只有两个相互独立的弹性常数，故E、G、
不互相独立，可知：
同时可得到以工程弹性常数E、表示的拉梅系数为：
<3>为了导出以工程弹性常数表示的各向同性体的广义虎克定律，
考虑单向拉伸问题：
x向:
y向:
z向:
类似地，
叠加：
考虑纯剪切问题：
即
和
即有：
<4>为了考察E、与G之间的关系，仍以单向拉伸问题为例：
应力状态：
应变状态：
在45°截面上建立x′y′坐标系：
则截面上的应力分量
应变分量
利用
有
从而有
<5>以单向拉伸问题为例考察工程弹性常数与拉梅系数间的关系
已知：
则
利用
有
代入：
有
即有
所以有：
利用
即
代入
有
从而有
物体在均匀压力p作用下，压力p与体积应变的比值的绝对值称为体积压缩模量K，K恒为正。
5、体积压缩模量：
则广义虎克定律给出：
三式相加：
于是有：
由于在三向等压情况下，
综合：
这几个弹性常数，有较大的实用意义。
4-5.弹塑性力学中常用的简化力学模型
2、线性强化弹塑性力学模型
1、理想弹塑性模型：
3、幂强化力学模型：
4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）
在应力到达屈服极限之前应变为零。
4－6.屈服函数与应力空间
1、屈服界限的判据：
通俗定义屈服点为弹性和塑性的分界点。
<ⅰ>有明显屈服极限的材料：
应力超过sｏ，材料不服从虎克定律。
屈服应力sｏ，由简单拉伸曲线图决定（下屈服极限）。
（1）材料受简单拉伸（压缩）：
<ⅱ>弹塑性分界不明显的材料:
依据规定来确定σｏ，供工程设计用。
通常采用s0.2为屈服极限。
定义s0.2为卸载后有0.2%塑性变形所对应的应力。
（2）复杂应力状态：
（确定材料的屈服界限就不那么简单）
例如：
薄壁圆管受内压P、拉力F和扭矩T作用，管子平均半径r，壁厚为t，t«r。
管壁应力可简化为一个平面应力问题。
组合应力
显然，对于不同的外力组合，所产生的应力状态不同。
如何确定屈服极限？
内压P：
拉力F：
扭矩T：
（3）对应于不同应力状态的屈服条件：
<ⅰ>在一定的内力组合下，所产生的应力随着内力的增加而进入塑性状态，于是就可得到这种应力状态的屈服条件。
<ⅱ>确定这种屈服条件，也要通过实验确定。
由于这种内力组合是多种多样的，实验的次数也将很多，不可能一一做到。
所以要以实验为基础，从理论上寻求其规律，找出屈服条件的解析式，建立屈服条件的理论。
一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，或者说，屈服条件是一点的6个应力分量的函数，
（1）屈服函数：
屈服条件是与该点的应力状态即6个应力分量有关的，反映了这6个应力分量对屈服的影响：
表示在一个六维应力空间内的超曲面，屈服条件成立。
六维应力空间是指6个应力分量sx,sy,¼的全体所构成的抽象空间，空间中任一点代表一个确定的应力状态。
代表这一空间内的曲面，不同于普通空间内的曲面，称之为超曲面。
2、屈服函数、屈服面、屈服曲线
（2）屈服面：
超曲面点上的物理意义：
超曲面上任一点称为应力点，表示一个屈服应力状态。
所以超曲面又称为屈服面。
例：
简单拉伸时，屈服应力s0，用6维空间来描述，坐标（s0,0,0,0,0,0）的点就在屈服面上。
受扭转薄壁管的纯剪切屈服应力为t0，坐标（0,0,0,t0,0,0）的点也是屈服面上的一个点。
（以上均为屈服面上的特殊点）
用主应力空间描述屈服面：
主应力：
对各向同性材料，坐标方向的变换对屈服条件没有影响，故可选取三个应力主轴为坐标轴，屈服条件
成为：
或（应力不变量也与坐标轴的选取无关）
应力偏量：
已知引起弹性体体积变化的球形应力状态（静水压力）不影响材料的屈服，因此屈服条件也可以用应力偏量或应力偏量不变量J2，J3来表示，即有
讨论：
1°屈服条件可化为应力偏量的函数。
2°屈服函数可在主应力构成的坐标空间（主应力空间）内来讨论。
3°主应力空间是一个三维空间，在这一空间内，屈服函数的几何图像可以直观的绘出，有利于对屈服面的认识。
4°由因应力偏量第二不变量恒为正值，第三不变量J3当应力变号时J3也变号，故屈服函数f必为J3的偶函数。
或
（3）屈服曲线：
<ⅰ>主应力空间特征：
建立应力主轴坐标系Os1s2s3，
过原点O做直线On与坐标轴夹角相等：
由则
注意到
故有
在On线上任一点所对应的应力状态为：
讨论：
On线上任一点都对应一个球形应力状态，或静水应力状态，其应力偏量的分量：
π平面：
某一点的应力状态，可设想用应力空间一点P（s1,s2,s3）来表示，如图。
OP为该点应力矢量，矢量OP可分解为沿等倾面法线On及平行于等倾面的两个矢量OQ及OS：
OP=OQ+OS
若s1=s2=s3=sm，该点的应力状态为静水压力情况，则OP必沿On线方向，此时OQ=OP，OS=0。
故一般情况下，把应力状态分界为静水压力及应力偏量状态时，分矢量OQ代表静水压力部分，而OS代表应力偏量部分，也就是确定材料是否屈服的有关部分。
这个有特殊意义的平面，称之为“π平面”。
矢量OS在应力轴上的投影为s1，s2，s3。
或
r：
平面到原点的距离
平面过原点时r=0，即有σ1+σ2+σ3=0
是为“π平面”。
OS所在平面即平均应力为零的平面，它平行于等倾面又通过坐标原点，可用方程表示为：
s1+s2+s3=0（思考？
）
***法线为的任一平面的平面方程：
应力分量讨论：
*考虑静水应力分量OQ：
**由于On线上σ1=σ2=σ3=σm，
应力偏量分量OS：
或
τ8：
八面体上的切应力
又八面体切应力
**等倾面上
思考？
其中pN为等倾面上的全应力：
pN（XN,YN,ZN）：
一点附近正八面体是由八个等倾面封闭组成的，故上述等倾面的正应力和切应力也称之为八面体上的正应力和切应力，通常用σ8和τ8表示，即八面体应力：
<ⅳ>屈服曲线：
π平面法线上
应力点矢量特征
屈服面是柱形体
屈服曲线在π面上
屈服轨迹的特性
**在应力空间中，将实验所得各种应力状态下初次屈服时的应力点连起来构成一个空间曲面，即屈服面。
它将应力空间分成两部分，应力点在屈服面内属弹性状态，在屈服面上属弹性状态的极限和塑性状态的开始；在屈服面外则属于塑性状态的继续。
π平面法线上
应力点矢量特征
屈服面是柱形体
屈服曲线在π面上
讨论：
若应力空间中一点P1已达到屈服状态，其应力矢量OP1在π平面上分矢量OS1,过P1点且平行于π平面法线On的直线AB上的任一点P（P1’,P1’’,…），其应力矢量在π平面上的分矢量皆为OS1，即应力偏量相同。
即当P1点达到屈服状态（屈服面上的一点）时，AB线上各应力点亦同时达到屈服。
AB是屈服面上的一条直线。
同样过P2点平行于On的DE线上的各点也随着P2点同时达到屈服。
由此判定，屈服面的几何图形是柱形体，其轴线为On，其母线垂直于π平面。
因此屈服面的形状可用与p平面的截线C来表示。
截线C称之为“屈服轨迹”，也叫屈服曲线。
以上讨论由三方面含义：
①应力空间中任一条平行于p平面法线On的直线AB上各点的应力偏量分量均相等，只是静水压力分量不同。
②一点的塑性屈服只取决于应力偏量状态，与静水应力无关。
③屈服函数在p平面上是一条封闭曲线，称之为屈服曲线。
①自原点O出发的任一向径不能和曲线C相交两次（因为相交两次意味着有两个应力状态同时满足屈服条件，这是不可能的。
）
②考虑材料是初始各向同性的，因此坐标变换对屈服没有影响。
如果应力点（s1,s2,s3）是屈服面上一点，则（s1,s3,s2）也必是屈服面上一点。
因此，s1保持不变，轨迹C必然和直线LL¢对称。
同理屈服轨迹必和MM¢及NN¢对称。
**如以纸面为p平面，三个主应力轴s1,s2,s3在p平面上投影为s1¢,s2¢,s3¢，则屈服轨迹C具有如下性质：
屈服轨迹的特性
③考虑到材料的拉伸与压缩屈服极限相等，如果应力点（s1,s2,s3）在屈服面上，则应力点（-s1,-s2,-s3）亦必在屈服面上。
因此通过O点作一直线，其两端与曲线C的交点一定与点O对称。
联系性质2则屈服轨迹必和LL¢，MM¢，NN¢的垂直线AB，CD，EF对称。
这样，屈服轨迹就有6个对称轴，曲线C由12个相同的弧段组成。
因此进行屈服条件的实验研究中，只要确定一个弧段，即30o范围的图形即可。
屈服轨迹的特性
***讨论：
屈服曲线在平面内的重要性质：
①屈服曲线是一条封闭曲线，坐标原点一定被包围在曲线之内。
从物理概念上理解：
坐标原点是一个无应力状态，材料当然不能在无应力下屈服，所以屈服曲线不可能通过原点。
又由于在初始屈服面内是弹性状态，所以屈服曲线一定是封闭的，否则将出现不屈服的状态，这是不可能的。
②屈服曲线与任一坐标原点出发的向径必相交一次，且仅有一次。
材料在一种应力状态下达到屈服，就不可能又在与此应力状态形态一致的另一应力状态达到屈服，即初始屈服只有一次。
③屈服曲线对三个坐标轴的正负方向均为对称。
由于应力偏量对s1,s2,s3的对称性和不计包辛格效应，因此对s1,s2,s3轴的两侧及其正负方向均为对称，所以屈服曲线必在12个30o的扇形区域内有相同的形状。
④屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。
（４）.讨论：
屈服面的外凸性.
<ⅰ>材料稳定性假设：
（a）稳定的材料：
（b）不稳定的材料：
ds<0,de>0
ds>0,de<0
应力增量做功dsde<0,称之为不稳定的。
应力增量ds>0，将产生应变增量de>0
ds在de上做功 dsde>0
具有这种特性的材料称为稳定的材料。
（c）稳定性假设：
对稳定的材料，以下关系式成立：
dsijdeij>0
讨论：
①dsijdeij>0表示在加载过程中，应力增量所做的功恒为正。
②表示在加载与卸载的整个循环中，应力增量所完成的净功恒为非负。
③以上关于材料稳定性的论断，称为稳定性假说，或称为卓柯（Drucker,D.C）假设。
及
sij*：
物体各点的弹性应力状态
sij：
应力状态（增加的、现有的）
强化材料的加载和卸载
（a）单向拉伸时强化点是随着塑性变形历史而改变，在复杂应力状态下，加载面也随着塑性变形历史而改变。
即当初始屈服以后，应力继续增加时，屈服面将随着应力变化过程按一定规律变化，形成一系列屈服面，这些屈服面称为继生屈服面。
物体某处的应力状态为sij*，相应于应力空间的A点，再加载，应力点的位移轨迹为A®B®C，卸载C®A。
（b）加载卸载循环中所做的功：
总应变增加量deij：
其中deije为弹性应变增量，它是可恢复的；
deijp为塑性应变增量，它是不可恢复的。
在图示ABCA循环中，
sij为任一屈服状态（B点）
sij*为任一弹性应力状态（A点）
在加载卸载过程中，在弹性范围内，应力增量（sij*-sij*）对deije所做的功为零（因弹性应变能恢复）。
稳定性假设的第二条可写成
其中，AB段为弹性加载过程，CA段为卸载过程（按弹性规律），BC段产生塑性应变增量deijp
上述回路积分可改写成：
*在应力循环中（ABCA），塑性变形分析：
在此ABCA循环中，塑性变形是一个无穷小量，即是
一个无穷小量，而也是一个无穷小量。
当
BC®0，近似得
或
称为局部最大原理。
对理想塑性材料，当应力点位于屈服面上时，则只可能有
<ⅲ>证明：
屈服面必为凸曲面。
4－7、常用屈服条件：
对屈服条件的研究已有两个世纪。
所谓屈服条件，就是材料进入塑性状态时应力分量之间所必须满足的条件。
经过200多年的研究，经过许多试验验证，证明符合工程材料特性、又便于工程应用的常用屈服条件有以下几种：
1.Tresca最大剪应力屈服条件：
1864年，法国工程师屈雷斯加（H.Tresca）根据Coulomb对土力学的研究以及他自己在金属挤压试验中得到的结果，提出当最大剪应力达到某一定值τ0时，材料就发生屈服。
因此，Tresca屈服条件可用数学式表示为：
τmax=K
K为材料的剪切屈服应力，对不同材料的K值，要由实验确定。
由其中s1>s2>s3
则Tresca条件也可写成：
例：
1o.对简单拉伸，s1=s0，s2=s3=0
屈服条件：
s0=2K即
2o.对纯剪切，s1=-s3=τ0，s2=0
屈服条件：
τ0=K即K=τ0
于是：
纯剪切屈服极限是简单拉伸屈服极限的一半，即
*讨论：
对于一般情况下的σ1,σ2,σ3，（即不按σ1>σ2>σ3的顺序排列）,Tresca屈服条件可写成：
或者：
写成应力偏量不变量的表达式：
其中K为最大剪应力屈服值，它等于简单拉伸屈服应力值的一半。
**Tresca屈服条件在主应力空间中的表示：
表示一对平行于σ3及π面法线的平行平面，故Tresca屈服条件建立了与坐标轴成等倾斜的各边相等的正6角柱体。
屈服轨迹是一个正六边形。
外接圆半径为
（即2K在π面上投影）。
**讨论：
主应力空间中屈服面上一点在π平面上的投影：
沿σ1=σ2=σ3轴（即ON轴）方向看，屈服面在π面上投影是为屈服曲线。
坐标轴σ1,σ2,σ3在π面上投影为σ1¢,σ2¢,σ3¢。
在π面上建立Oxy，其中y与σ2¢重合。
考虑等倾面O¢ABC，显然平行于π平面，与π平面距离为OO¢.
等倾面法线沿ON方向，即
从而
则σ1,σ2,σ3在π面上投影
同时，π平面上应力在x,y轴上投影为
例3o：
在平面应力状态下，令s3=0
则s1-s2=±2K
s1=±2K
s2=±2K
屈服轨迹是斜六边形。
讨论：
①应力点处于六边形内部时，材料处于弹性状态。
②当应力点达到屈服六边形上任一点时,材料开始进入塑性状态。
③Tresca条件的局限性：
<ⅰ>屈服轨迹不是光滑曲线，数学上应用困难。
<ⅱ>没有考虑中间应力影响。
2.Mises畸变能屈服条件：
畸变能：
由于形状变化所储存在单位体积内的应变能。
（1）畸变能计算
<ⅰ>引起形状改变的应力状态为应力偏量Sij:
（偏应力偏量）
<ⅱ>由于形状变化所储存在单位体积内的应变能——畸变能：
其中sij为应力偏量
eij为应变偏量
用主应力表示的畸变能：
其中
从而
其中
为第二应力偏量不变量
为八面体上的剪应力
*由广义Hooke定律：
（2）Mises屈服条件：
1913年Mises提出的用Tresca正六角柱体的外接圆柱体（即正六边形的外接圆）作为材料的屈服条件，从而克服了Tresca屈服条件的局限。
Mises圆的方程
或
整理：
（s1-s2）2+（s2-s3）2+（s3-s1）2=2（2K）2
由简单拉伸实验ss=2K有
（s1-s2）2+（s2-s3）2+（s3-s1）2=2ss2
*定义“应力强度”或“等效应力”
则有si=ss
若用第二应力偏量不变量J2来表示，
纯剪切时，（s1=-s3=τs，s2=0）
有（按Tresca屈服条件，）
平面应力状态下，令s3=0，有
s12-s1s2+s22=ss2是为椭圆方程。
（为Tresca斜六边形的外接圆）
（3）Mises屈服条件的物理解释：
<ⅰ>1924年，汉基的畸变能准则：
（畸变能达到某一数值时屈服）
即
单向拉伸时，（s1=ss，s2=s3=0）有
从而有
或与Mises条件一致。
<ⅱ>1933年，那达依的八面体剪切力准则：
τ8=K2（对单晶体可以，对多晶体意义不大）
<ⅲ>1930年，罗斯和爱欣格的最大剪应力均方值准则：
都能得到与Mises准则同样形式的屈服函数。
3.Tresca屈服条件与Mises屈服条件的讨论：
<ⅰ>几何上：
按Tresca屈服条件，屈服面是π平面正六边形为母线的正六角柱体，屈服曲线为一正六边形。
6个角点由实验得到，6边形连接成直线是假设的结果。
按Mises屈服条件，在π平面内的屈服曲线就是Tresca六边形的外接圆，屈服面便是Tresca屈服面的外接圆柱。
＜ii＞Tresca最大剪应力条件是主应力分量的线性函数，对已知主应力方向及主应力间的相对值的一类问题，是比较简便的，而Mises畸变能条件则显然复杂的多。
<ⅲ>Tresca条件忽略了中间主应力对材料屈服的影响，有欠缺，而Mises条件克服了这一点不足。
<ⅳ>实验证明，Mises条件比Tresca条件更接近于实验结果。
4.混凝土材料的屈服条件：
（1）特点：
<ⅰ>混凝土、岩石类工程材料，受压强度比受拉强度高得多。
<ⅱ>无明显的屈服极限。
拉伸图中ε-s曲线中无明显的直线段。
以 s0.2规定为屈服极限。
（2）屈服条件：
<ⅰ>一般应力状态下的
升级会员 