常微分方程第四章答案.docx
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常微分方程第四章答案
常微分方程第四章答案
【篇一：
常微分方程习题及评分标准答案】
一、选择题（每题3分）第一章：
1．微分方程y?
xy2?
y?
0的直线积分曲线为（）
（a）y?
1和y?
x?
1（b）y?
0和y?
x?
1（c）y?
0和y?
x?
1（d）y?
1和y?
x?
1第二章：
2．下列是一阶线性方程的是（）
（a）dydx?
x2
?
y（b）d2ydy3dx2?
（dx
）?
xy?
0（c）（
dy2dydydx）?
xdx?
xy2?
0（d）dx
?
cosy3．下列是二阶线性方程的是（）
（a）d2ydy
dx2?
x
dx?
x2?
y（b）（dydx）3?
（dydx）2?
xy?
0（c）（x?
1）dy2
d2ydx?
xy?
0（d）dx
2?
cosycosx
4．下列方程是3阶方程的为（）
（a）y?
x2?
y3（b）（
dydx
）3
?
xy?
0（c）（dydx）2?
xd3y
dydx
3?
y2?
0（d）dx?
cosy35．微分方程（
dydx）4?
x（dydx）3?
dy
dx
?
0的阶数为（）（a）1（b）2（c）3（d）4
6．方程（dydx）3?
xd2y
dx
2?
2y4?
0的阶数为（）
（a）1（b）2（c）3（d）47．针对方程
dydx?
x?
y
x?
y
，下列说法错误的是（）．（a）方程为齐次方程
1
（b）通过变量变换u?
y
x
可化为变量分离方程（c）方程有特解y?
0
（d）可以找到方程形如y?
kx的特解y?
（?
1x8．针对方程y?
?
sin2（x?
y?
1），下列说法错误的是（）．
（a）为一阶线性方程
?
2
（d）方程的通解为tan（x?
y?
1）?
x?
c9．伯努利方程
dy
?
p（x）y?
q（x）yndx
，它有积分因子为（）（a）e?
（n?
1）p（x）dx（b）e?
np（x）dx
（c）xe?
（n?
1）p（x）dx（d）xe?
np（x）dx
10．针对方程
dy
dx
?
y?
y2（cosx?
sinx），下列说法错误的是（）．（a）方程为伯努利方程（b）通过变量变换z?
y2可化为线性方程（c）方程有特解y?
0（d）方程的通解为y?
1
cex?
sinx
11．方程
dydx?
xf（y
x
2）经过变量变换（）可化为变量分离方程。
（a）u?
xy（b）u?
y（c）u?
y
2（d）u?
x2xx
y
12．方程x2
dy
dx
?
f（xy）经过变量变换（）可化为变量分离方程。
（a）u?
xy（b）u?
yy
x（c）u?
x
2（d）u?
x2y
13．微分方程ylnydx?
（x?
lny）dy?
0是（）
（a）可分离变量方程（b）线性方程（c）全微分方程（d）伯努利方程14．针对方程y2（1?
y）?
（2?
y）2下面说法错误的是（）
（a）不显含x的形如f（y,y）?
0的隐式方程（b）设2?
y?
yt，原方程消去y后可求解
2
（c）方程的通解为y?
1
?
cx?
c
（d）方程有特解y?
?
215．方程m（x,y）d?
x
为n（x,y）?
dy其0中m（x,y）,n（x,y）x,y的连续函数，如有
?
m?
n
?
?
y?
x
?
1，则方程的积分因子为（）m
（a）?
（x,y）?
ey（b）?
（x,y）?
e?
y（c）?
（x,y）?
ex（d）?
（x,y）?
e?
x16.若函数f（x）满足关系式f（x）?
?
2x0
t
f（）dt?
ln2,则等于f（x）?
（）2
x2xx2x
（a）eln2（b）eln2（c）e?
ln2（d）e?
ln2
第三章：
17．方程
dy
?
1?
lnx满足条件y
（1）?
0的解的存在区间为（）。
dx
（a）（0,+18．已知方程
）（b）[0,+）（c）（1,+）（d）[1,+）
dy
?
f（x,y）（其中f（x,y）为区域r上的连续函数），则利普希兹条件是保dx
证方程初值解唯一的（）条件．
（a）必要（b）必要非充分（c）充分（d）充分必要19．利普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（a）必要（b）必要非充分（c）充分（d）充分必要20．方程
dy
?
x2?
y2定义在矩形域r:
?
2?
x?
2,?
1?
y?
1上，则经过点（0,0）的解存在唯dx
一区间为（）
1111
（a）[?
1,1]（b）[?
]（c）[?
2,2]（d）[?
]
2255
dy
?
x2?
y2解存在区间为（）21．方程dx
11
（a）[?
1,1]（b）（?
?
?
?
）（c）[?
2,2]（d）[?
]
55
第四章：
22.微分方程y?
y?
ex?
1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数）为（）（a）aex?
b（b）axex?
b（c）aex?
bx（d）axex?
bx第五章：
3
23．初值问题x?
2x?
7tx?
e?
t?
0,x
（1）?
?
7,x
（1）?
2和下列（）一阶方程组等价。
（a）x?
?
?
01?
?
7t2?
?
x?
?
?
0?
?
7?
?
et?
?
x
（1）?
?
?
?
2?
?
（b）x?
?
?
10?
?
0?
?
?
7?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
et?
?
x
（1）?
?
?
2?
?
（c）x?
?
?
01?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
0?
?
?
7?
?
et?
?
x
（1）?
?
?
2?
?
（d）x?
?
?
01?
?
?
7t?
2?
?
x?
?
?
0?
?
?
et?
?
x
（1）?
?
?
?
7?
?
2?
?
第六章：
?
dx
?
?
x24．线性驻定方程组?
?
?
dt
?
y的奇点（0,0）是（）
?
dy?
?
dt
?
x?
y（a）不稳定焦点（b）稳定结点（c）稳定焦点（d）鞍点?
dx
?
2x?
25．线性驻定方程组?
?
?
dt
7y的奇点（0,0）是（）
?
dy?
?
dt
?
x?
2y（a）不稳定焦点（b）稳定结点（c）稳定焦点（d）鞍点?
dx?
?
226．驻定方程组?
?
x?
y?
x?
dt
的线性近似方程为（）
?
dy?
x?
y?
y2?
?
dt?
dx?
?
y?
x?
dx?
?
y?
x（a）?
?
?
dt（b）?
?
?
dt
?
1
?
dy?
?
x?
y?
dy?
dt?
?
dt?
x?
y?
1?
dx?
?
y?
x?
dx
?
?
y?
（c）?
?
（d）?
x?
1?
dt?
dt
?
dy?
?
?
dt?
x?
y?
1?
dy?
?
dt
?
x?
y27．已知yx?
2x，则方程的4阶差分为（）
4
（a）?
4yx?
24?
2x（b）?
4yx?
2x（c）?
4yx?
34?
2x（d）?
4yx?
4?
2x
28．已知yx?
x5?
3x2?
x，则方程的6阶差分为（）
（a）?
6yx?
x2?
1（b）?
6yx?
9x?
1（c）?
6yx?
0（d）?
6yx?
3x补充差分
29．已知yx?
2x，则方程的4阶差分为（）
（a）?
4yx?
24?
2x（b）?
4yx?
2x（c）?
4yx?
34?
2x（d）?
4yx?
4?
2x30．已知yx?
x5?
3x2?
x，则方程的6阶差分为（）
（a）?
6yx?
x2?
1（b）?
6yx?
9x?
1（c）?
6yx?
0（d）?
6yx?
3x二、填空题（每题3分）第二章：
dy
?
p（x）y的通解为（其中p（x）为x的连续函数）。
dxdy
?
f（x）g（y）的方程称为y?
y0使得g（y0）?
0成立，则2．形如dx
1．方程
有为方程的解。
3．伯努利方程4．方程5．方程
dy
?
ysinx?
y2tanx，立刻可以判断方程有特解为________________。
dx
dy
?
?
2xy?
4x的通解为。
dx
dyx
?
?
的通解为y?
dxy
6．m（x,y）,n（x,y）为x,y的连续函数且有连续的一阶偏导数.方程
m（x,y）?
dx
（n,x?
）y为恰当方程的充要条件是dy________________.
n（x,y）?
dy其0中m（x,y）,n（x,y）x,y的连续函数，如有为
x7．方程m（x,y）d?
?
m?
n?
?
y?
x
?
1，则方程有积分因子为?
（x,y）?
________________.m
8.方程m（x,y）dx?
n（x,y）dy?
0有只含x的积分因子的充要条件是。
9.方程m（x,y）dx?
n（x,y）dy?
0有只含y的积分因子的充要条件是。
5
【篇二：
【精选习题】第四章高阶微分方程】
>4-1证明线性非齐次方程的叠加原理：
设x1（t）,x2（t）分别是线性非齐次方程
dxdt
nnn
?
a1（t）
d
n?
1
x
dtd
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
dxdtdxdt
?
an（t）x?
f1（t）
dxdt
n
n?
1
?
a1（t）
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）?
an（t）x?
f2（t）
的解，则x1（t）?
x2（t）是方程
dxdt
nn
?
a1（t）
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
dxdt
?
an（t）x?
f1（t）?
f2（t）
（1）
的解。
证由题意，有
dxidt
nn
?
a1（t）
d
n?
1
xi
dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
dxidt
?
an（t）xi?
fi（t）
（i?
1,2），
把x1（t）?
x2（t）代入方程
（1）的左端得左端=
d（x1?
x2）
dtdx1dt
nnn
n
n
?
a1（t）
n?
1
d
n?
1
（x1?
x2）dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
d（x1?
x2）
dt
?
an（t）（x1?
x2）
?
[
?
a1（t）
d
x1
dtd
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
dx1dtdx2dt
?
an（t）x1]?
[
dx2dt
n
n?
1
?
a1（t）
x2
dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）?
an（t）x2]
?
f1（t）?
f2（t）?
右端。
评注：
线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。
4-2试验证方程
dxdtt
22
?
tdx
1?
tdt
11?
t
?
11?
t
x?
0有基本解组t,e，并求方程
t
dxdt
2
2
?
dx
1?
tdt
?
x?
t?
1
的通解。
证1?
将t,et分别代入方程得0?
t
?
t
?
0；
1?
t1?
tt1ttt
e?
e?
e?
0。
1?
t1?
t
又
et
t
?
常数，因此t,e是方程的基本解组。
t
2用常数变易法，令方程的特解具有以下形式
x（t）?
c1（t）t?
c2（t）e，
t
?
则
t
?
（t）?
0?
?
tc1?
（t）?
ec2
，?
t
?
（t）?
t?
1?
?
c1?
（t）?
ec2
由此得
?
c1?
（t）?
?
1
?
t，?
?
（t）?
t?
c2
e?
所以
c1（t）?
?
t?
c1,c2（t）?
?
e
?
t
（t?
1）?
c2，
因而方程的通解为
x（t）?
c1t?
c2e?
（t?
1）。
t
2
评注：
常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。
但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。
将本例方程变形为（1?
t）
dxdt
22
?
t
dxdt
?
x?
?
（t?
1），容易发现它可
2
能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如~x（t）?
at
2
?
bt?
c，代入方程，
2
比较系数得a?
c?
?
1，b可任意取值，所以易求得一个特解为~x（t）?
?
（t?
1）。
dxdt
22
4-2已知方程?
x?
0有基本解组e,e
t?
t
，试求此方程适合初始条件
x（0）?
1,x?
（0）?
0及x（0）?
0,x?
（0）?
1的基本解组（称为标准基本解组，即有w（0）?
1），
?
的解。
并由此求出方程的适合初始条件x（0）?
x0,x?
（0）?
x0
解由于原方程有基本解组：
et,e?
t，所以通解为
x（t）?
c1e?
c2e，且x?
（t）?
c1e?
c2e
t
?
t
t
?
t
，
将x（0）?
1,x?
（0）?
0代入上式，求得c1?
c2?
x1?
12e?
t
12
，由此得特解
12
e
?
t
?
cht；
12,c2?
?
12
将x（0）?
0,x?
（0）?
1代入上式，求得c1?
x2?
12e?
t
，由此得特解
12
e
?
t
?
sht。
又
w（t）?
chtsht
shtcht
?
cht?
sht?
1?
0，
2
2
所以cht和sht线性无关，因而cht，sht是标准基本解组，并由此得出方程的通解为x?
c1cht?
c2sht。
?
代入得c1?
x0,c2?
x0?
，因且x?
?
c1sht?
c2cht，将初始条件x（0）?
x0,x?
（0）?
x0
?
sht。
而满足这个初始条件的解为：
x（t）?
x0cht?
x0
评注：
标准基本解组是满足初始条件x（0）?
1,x?
（0）?
0，及x（0）?
0,x?
（0）?
1的基本解组。
4-3设xi（t）（i?
1,2,?
n）是线性齐次方程
dxdt
nn
?
a1（t）
d
n?
1
x
dt
n?
1
?
?
?
an?
1（t）
dxdt
?
an（t）x?
0
的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式记为w（t）。
试证明w（t）满足一阶线性方程
w?
（t）?
a1（t）w（t）?
0
（1）
因而有w（t）?
w（t0）e
?
?
ta1（s）ds
t
t,t0?
（a,b）。
证将行列式的微分法则使用于w（t），则所得的前n?
1项的行列式都有两行相等，即
都等于零，于是有
x1?
x1
w?
（t）?
?
x1
（n?
2）（n）
x2?
x2?
x2
（n?
2）（n）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xn
（n?
2）（n）
，
x1x2xn
所以
w?
（t）?
a1（t）w（t）
x1?
x1
?
?
x1
（n?
2）（n）
x2?
x2?
x2
（n?
2）（n）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xn
（n?
2）（n）
x1?
x1
?
a1（t）
?
x1x1
（n?
2）（n?
1）
x2?
x2?
x2x2
（n?
2）（n?
1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn?
xn?
xnxn
（n?
2）（n?
1）
x1x2xn
x1?
x1
?
（n）
x2?
x2?
x2
（n?
1）
（n?
2）
（n?
1）
（n）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
xn
（n）
xn?
xn?
xn
（n?
2）
（n?
1）
?
x1
x1
（n?
2）
?
a1x1x2?
a1x2?
a1xn
x1x1?
?
（n?
1）
x2?
x2?
x2
（n?
1）
（n?
2）
（n?
1）
（n?
1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（?
a1xn
（n?
1）
xn?
xn?
xn
（n?
2）
（n?
1）
?
x1
（?
a1x1
（n?
2）
?
?
?
anx1）?
a1x1（?
a1x2?
?
?
anx2）?
a1x2?
?
?
anxn）?
a1xn
x1?
x1
?
?
x1
?
a2x1?
0
（n?
2）
（n?
2）
x2?
x2?
x2
?
a2x2
（n?
2）
（n?
2）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a2xn
xn?
xn?
xn
（n?
2）
（n?
2）
?
?
?
anx1?
?
?
anx2?
?
?
anxn
所以w?
（t）?
a1（t）w（t）?
0。
这说明w（t）满足一阶线性齐次方程
（1），因而有w（t）?
ce
?
?
ta1（s）ds
0t
，当t?
t0时，
c?
w（t0），所以w（t）?
w（t0）e
t
?
?
ta1（s）ds
t
。
评注：
公式w（t）?
w（t0）e
?
?
ta1（s）ds
是著名的刘维尔（liouville）公式，反映了线性齐次
方程n个解和系数之间的关系。
由此可得到重要结论：
若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。
?
?
a1（t）x?
?
a2（t）x?
0的解，这里a1（t）和4-4假设x1（t）?
0是二阶线性齐次方程?
xa2（t）于区间[a,b]上连续，试证
1）x2（t）为方程的解的充分必要条件是w?
[x1,x2]?
a1w[x1,x2]?
0；2）方程的通解可表为x（t）?
x1[c1?
1x1
2
exp（?
?
a1（s）ds）dt?
c2]
t0
t
其中c1,c2为任意常数，t0,t?
[a,b]。
证1）充分性。
因为
w?
[x1,x2]?
dx1?
1dtx
x2?
2x
?
?
1x?
1x
?
2x?
2xx1?
?
1x
?
x1?
?
1x
x2?
?
2x
?
x1?
?
1xx2?
2xx2?
?
2x
，
w?
[x1,x2]?
a1（t）w[x1,x2]?
x2?
?
2x
?
a1（t）
x1?
1x
?
x1
?
?
1?
a1（t）x?
1x
x2
?
?
2?
a1（t）x?
2x
?
0
而x1（t）?
0是已知方程的解，所以
x1?
a2（t）x1
x2
?
?
2?
a1（t）x?
2x
?
x1
1?
a2（t）
x2
?
?
2?
a1（t）x?
2x
?
0
?
2?
a1（t）x?
2?
a2（t）x2?
0，即x2（t）是方程的解。
故有?
x
必要性。
因为w[x1,x2]为方程的解x1（t）,x2（t）的朗斯基行列式，
w?
[x1,x2]?
x1?
?
1xx1?
1?
a1（t）x
x2?
?
2x
?
x1
?
?
1?
a2（t）x1x
x2?
2?
a1（t）x
x2
?
?
2?
a2（t）x2x
x1?
1x
x2?
2x
?
?
a1（t）w[x1,x2]
?
?
?
a1（t）
即w[x1,x2]满足w?
[x1,x2]?
a1w[x1,x2]?
0。
2）设t0?
[a,b]，x（t）是原方程不同于x1（t）的另一特解，不妨设它满足
【篇三：
习题4[1].1解答
（1）】
程
dy
?
x?
y2通过点（0,0）的第三次近似解.dx
x
解:
所给方程满足解的存在唯一性定理.
22
?
0（x）?
0,?
1（x）?
y0?
?
?
?
x?
（?
0（x））?
?
dx?
x,
1
2
?
22?
2
?
?
2（x）?
y0?
?
?
x?
（?
（x））dx?
x?
（x）dx?
x?
1?
?
?
?
?
2
xx
?
1
2
?
1215
x.20
x
22?
?
3（x）?
y0?
?
?
x?
（?
（x））dx?
x?
2?
?
1
21518111
x?
x?
x.201604400
2.求方程
dy
?
x?
y2通过点（1,0）的第二次近似解.dx
x
20
x
解:
所给方程满足解的存在唯一定理.
2
?
?
0（x）?
y0?
0,?
1（x）?
y0?
?
?
x?
?
（x）dx?
xdx?
x?
?
?
?
22
x0
1
11
?
?
121?
2?
121131511
?
?
2（x）?
y0?
?
?
x?
?
（x）dx?
x?
x?
?
x?
x?
x?
x?
.?
?
?
?
?
?
?
2?
?
462030x01?
?
?
2?
2
x
x
2
1
3.求初值问题
dy
?
x2?
y2,y（?
1）?
0；r:
x?
?
1,y?
1dx
的解的存在区间，并求第二次近似解。
给出在解的存在区间的误差估计.解:
（1）由存在定理知,解的存在区间是x?
1?
h,其中h?
min?
a,而现在,a?
1,b?
1,m?
maxx?
y?
4,故h?
r
2
2
?
?
b?
?
.m?
1.4
x
x
（2）
23
?
?
0（x）?
y（?
1）?
0,?
1（x）?
y0?
?
?
x?
?
（x）dx?
xdx?
x?
?
?
?
33
x0
?
1
2
20
11
?
2?
131?
2?
?
2（x）?
y0?
?
?
?
x?
?
（x）?
?
dx?
?
?
x?
?
3x?
3?
?
dx
?
?
?
?
?
x0?
1?
x
x
2
2
1
?
131714111x?
x?
x?
x?
.36318942
mlnhn?
1
（3）第n次近似解?
n（x）和真解?
（x）的误差估计公式为?
n（x）?
?
（x）?
.
（n?
1）!
其中l为lipschitz常数,因
?
f
?
2y?
2,故可取l?
2.则?
y
ml2h34?
22131
?
2（x）?
?
（x）?
?
（）?
.
3!
3!
424
4.采用逐步逼近法求解初值问题
dy
?
x?
y?
1,y（0）?
1.dx
解:
显然方程右端函数满足定理4.1.1条件.按逐步逼近法公式,初值问题的各次近似解为
x
?
0（x）?
1,?
1（x）?
1?
?
（x?
1?
1）dx?
1?
2x?
x2
x
12
?
2（x）?
1?
?
[x?
（1?
2x?
x2）?
1]dx?
1?
2x?
123213x?
x2!
3!
?
?
?
n（x）?
1?
2x?
3233
x?
?
?
xn?
xn?
12!
n!
（n?
1）!
3233
x?
?
?
xn?
xn?
1?
?
2!
n!
（n?
1）!
原初值问题的解为?
（x）?
lim?
n（x）?
1?
2x?
n?
?
?
3ex?
x?
2.
5.验证：
方程希兹条件.
解:
因f（x,y）?
y,故
42
f（x,y1）?
f（x,y2）?
y14?
y2?
y1?
y2?
y12?
y2?
y1?
y2?
ly1?
y2
dy
?
y4的右端函数在条形区域：
x?
?
?
y?
b（b为正常数）上满足李普dx
4
其中l?
4b,即f（x,y）?
y在所讨论的条形区域上满足李普希兹条件
.这里不存在全平面适用的l.6.验证：
方程件。
解:
由f（x,y）34
dy?
dx
x?
?
?
?
?
y?
?
?
（?
?
0）上满足李普希兹条
得
?
f
?
?
可取李普希兹常数l?
则?
yf（x,y1）?
f（x,y2）?
?
f（x,?
）
?
y1?
y2?
ly1?
y2?
y
故f（x,y）?
7.求初值问题
.
dy
?
x?
y3,y（0）?
0解的存在区间.dx
3
解:
设r?
（x,y）x?
a,y?
b,f（x,y）?
x?
y,则
?
?
（1）f（x,y）在r内连续;
22
（2）fy（x,y）?
3y?
3b,有界.
故原初值问题的解在x?
h?
min?
a,
?
b?
f（x,y）?
?
a?
b3上存在唯一.?
?
m?
maxr
?
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