金融工程课后习题答案.docx

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金融工程课后习题答案

第1章

7.该说法是正确的。

从图1.3中可以看出，如果将等式左边的标的资产多头移至等式右边，整个等式左边就是看涨期权空头，右边则是看跌期权空头和标的资产空头的组合。

9.元

10.每年计一次复利的年利率=（1+0.14/4）4-1=14.75%

连续复利年利率=4ln（1+0.14/4）=13.76%。

11.连续复利年利率=12ln（1+0.15/12）=14.91%。

12.12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率=4（e0.03-1）=12.18%。

因此每个季度可得的利息=10000×12.8%/4=304.55元。

第2章

1．2007年4月16日，该公司向工行买入半年期美元远期，意味着其将以764.21人民币/100美元的价格在2007年10月18日向工行买入美元。

合约到期后，该公司在远期合约多头上的盈亏=。

2．收盘时，该投资者的盈亏＝（1528.9－1530.0）×250＝－275美元；保证金账户余额＝19,688－275＝19,413美元。

若结算后保证金账户的金额低于所需的维持保证金，即时（即S＆P500指数期货结算价＜1514.3时），交易商会收到追缴保证金通知，而必须将保证金账户余额补足至19,688美元。

3．他的说法是不对的。

首先应该明确，期货（或远期）合约并不能保证其投资者未来一定盈利，但投资者通过期货（或远期）合约获得了确定的未来买卖价格，消除了因价格波动带来的风险。

本例中，汇率的变动是影响公司跨国贸易成本的重要因素，是跨国贸易所面临的主要风险之一，汇率的频繁变动显然不利于公司的长期稳定运营（即使汇率上升与下降的概率相等）；而通过买卖外汇远期（期货），跨国公司就可以消除因汇率波动而带来的风险，锁定了成本，从而稳定了公司的经营。

4．这些赋予期货空方的权利使得期货合约对空方更具吸引力，而对多方吸引力减弱。

因此，这种权利将会降低期货价格。

5．保证金是投资者向其经纪人建立保证金账户而存入的一笔资金。

当投资者在期货交易面临损失时，保证金就作为该投资者可承担一定损失的保证。

保证金采取每日盯市结算，如果保证金账户的余额低于交易所规定的维持保证金，经纪公司就会通知交易者限期内把保证金水平补足到初始保证金水平，否则就会被强制平仓。

这一制度大大减小了投资者的违约可能性。

另外，同样的保证金制度建立在经纪人与清算所、以及清算会员与清算所之间，这同样减少了经纪人与清算会员的违约可能。

6．如果交易双方都是开立一份新的合约，则未平仓数增加一份；如果交易双方都是结清已有的期货头寸，则未平仓数减少一份；如果一方是开立一份新的合约，而另一方是结清已有的期货头寸，则未平仓数不变。

第3章

三个月后，对于多头来说，该远期合约的价值为

2.，在这种情况下，套利者可以按无风险利率10%借入现金X元三个月，用以购买单位的股票，同时卖出相应份数该股票的远期合约，交割价格为23元。

三个月后，该套利者以单位的股票交割远期，得到元，并归还借款本息元，从而实现元的无风险利润。

3.指数期货价格=

（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值=e-0.062/12+e-0.065/12=1.97元。

远期价格=（30-1.97）e0.060.5=28.88元。

若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值为0。

（2）在3个月后的这个时点，2个月后派发的1元股息的现值=e-0.062/12=0.99元。

远期价格=（35-0.99）e0.063/12=34.52元。

此时空头远期合约价值=100×（28.88-34.52）e-0.063/12=-556元。

5.如果在交割期间，期货价格高于现货价格。

套利者将买入现货，卖出期货合约，并立即交割，赚取价差。

如果在交割期间，期货价格低于现货价格，将不会存在同样完美的套利策略。

因为套利者买入期货合约，但不能要求立即交割现货，交割现货的决定是由期货空方作出的。

6.由于股价指数的系统性风险为正，其预期收益率大于无风险利率，因此股价指数期货价格总是低于未来预期指数值。

第4章

1．在以下两种情况下可运用空头套期保值：

1公司拥有一项资产并计划在未来售出这项资产；②公司目前并不拥有这项资产，但在未来将得到并想出售。

在以下两种情况下可运用多头套期保值：

1公司计划在未来买入一项资产；②公司用于对冲已有的空头头寸。

2．当期货标的资产与需要套期保值的资产不是同一种资产，或者期货的到期日与需要套期保值的日期不一致时，会产生基差风险。

题中所述观点正确。

假设套期保值比率为n，则组合的价值变化为。

当不存在基差风险时，。

代入公式（4.5）可得，n＝1。

3．这一观点是不正确的。

例如，最小方差套期保值比率为，当=0.5、=2时，=1。

因为<1，所以不是完美的套期保值。

4．完美的套期保值是指能够完全消除价格风险的套期保值。

完美的套期保值能比不完美的套期保值得到更为确定的套期保值收益，但其结果并不一定会总比不完美的套期保值好。

例如，一家公司对其持有的一项资产进行套期保值，假设资产的价格呈现上升趋势。

此时，完美的套期保值完全抵消了现货市场上资产价格上升所带来的收益；而不完美的套期保值有可能仅仅部分抵消了现货市场上的收益，所以不完美的套期保值有可能产生更好的结果。

5．最优套期保值比率为：

应持有的标准普尔500指数期货合约空头的份数为：

份

6．期货交易为套保者提供了风险规避的手段，然而，这种规避仅仅是对风险进行转移，而无法消灭风险。

正是由于投机者的存在，才为套保者提供了风险转移的载体，才为期货市场提供了充分的流动性。

一旦市场上没有了投机者，套保者将很难找到交易对手，风险无法转嫁，市场的流动性将大打折扣。

7．①投资者所应提交的保证金数为：

②投资者8月9日与8月10日的损益情况见下表。

日期

结算价格

保证金账户余额

追加保证金

指数日收益率

投资者在期货头寸上的日收益率

8月9日

1195

8月10日

1150

习题答案

1.该公司应卖空的标准普尔500指数期货合约份数为：

2.瑞士法郎期货的理论价格为：

投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。

3.投资者可以利用股指期货，改变股票投资组合的β系数。

设股票组合的原β系数为，目标β系数为，则需要交易的股指期货份数为：

4.欧洲美元期货的报价为88意味着贴现率为12%，60天后三个月期的LIBOR远期利率为12%/4=3%

5.第2、3、4、5年的连续复利远期利率分别为：

第2年：

14.0%

第3年：

15.1%

第4年：

15.7%

第5年：

15.7%

6.2003年1月27日到2003年5月5日的时间为98天。

2003年1月27日到2003年7月27日的时间为181天。

因此，应计利息为：

，现金价格为

7.2月4日到7月30日的时间为176天，2月4日到8月4日的时间为181天，债券的现金价格为。

以连续复利计的年利率为。

5天后将收到一次付息，其现值为。

期货合约的剩余期限为62天，该期货现金价格为。

在交割时有57天的应计利息，则期货的报价为：

。

考虑转换因子后，该期货的报价为：

。

8.该基金经理应该卖出的国债期货合约的份数为：

≈88

第6章

1.互换的主要种类有：

利率互换，指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的同样名义本金交换现金流，其中一方的现金流根据事先选定的某一浮动利率计算，而另一方的现金流则根据固定利率计算。

货币互换，在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利息进行交换。

同时还有交叉货币利率互换、基点互换、零息互换、后期确定互换、差额互换、远期互换、股票互换等等。

2.国际互换市场迅速发展的主要原因有：

一，互换交易在风险管理、降低交易成本、规避管制和创造新产品等方面都有着重要的运用。

二、在其发展过程中，互换市场形成的一些运作机制也在很大程度上促进了该市场的发展。

三、当局的监管态度为互换交易提供了合法发展的空间。

3.美国中长期国债的天数计算惯例是A（Actual）/A（Actual）或A/365，即计息期与一年均按实际天数计或者一年固定以365天计。

美国公司债和市政债券的天数计算惯例是30/360，即一个月按30天计，一年按360天计。

美国货币市场工具的天数计算惯例是A（Actual）/360，即计息期按实际天数计，一年按360天计。

4.互换头寸的结清方式有：

一、出售原互换协议，即在市场上出售未到期的互换协议，将原先利息收付的权利与义务完全转移给购买协议者。

二、对冲原互换协议，即签订一份与原互换协议的本金、到期日和互换利率等均相同，但收付利息方向相反的互换协议。

三、解除原有的互换协议，即与原先的交易对手协议提前结束互换，双方的权利义务同时抵销。

5.这一说法是错误的。

如果该对冲交易是与原先的互换交易对手进行的，此种对冲又被称为“镜子互换”，等价于终止了原先的利率互换，抵消了违约风险。

如果是与其他交易对手进行镜子互换，只能在利息的现金流上实现对冲，但由于交易对手不同，仍然无法完全抵消对手方违约的风险。

第7章

（1）运用债券组合：

从题目中可知万，万，因此

亿美元

所以此笔利率互换对该金融机构的价值为

98.4－102.5＝－427万美元

（2）运用FRA组合：

3个月后的那笔交换对金融机构的价值是

由于3个月到9个月的远期利率为

10.75％的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为

=0.11044

所以9个月后那笔现金流交换的价值为

同理可计算得从现在开始9个月到15个月的远期利率为11.75%，对应的每半年计一次复利的利率为12.102%。

所以15个月后那笔现金流交换的价值为

所以此笔利率互换对该金融机构的价值为

2.协议签订后的利率互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。

对于利率互换协议的持有者来说，该价值可能是正的，也可能是负的。

而协议签订时的互换定价方法，是在协议签订时让互换多空双方的互换价值相等，即选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。

（1）运用债券组合：

如果以美元为本币，那么

万美元

万日元

所以此笔货币互换对该金融机构的价值为

（2）运用远期外汇组合：

即期汇率为1美元＝110日元，或者是1日元＝0.009091美元。

因为美元和日元的年利差为5％，根据，一年期、两年期和三年期的远期汇率分别为

与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为

与最终的本金交换等价的远期合约的价值为

因为该金融机构收入日元付出美元，所以此笔货币互换对该金融机构的价值为

201.46―12.69―16.47―12.69＝154.3万美元

4.与互换相联系的风险主要包括：

（1）信用风险。

由于互换是交易对手之间私下达成的场外协议，因此包含着信用风险，也就是交易对手违约的风险。

当利率或汇率等市场价格的变动使得互换对交易者而言价值为正时，互换实际上是该交易者的一项资产，同时是协议另一方的负债，该交易者就面临着协议另一方不履行互换协议的信用风险。

对利率互换的交易双方来说，由于交换的仅是利息差额，其真正面临的信用风险暴露远比互换的名义本金要少得多；而货币互换由于进行本金的交换，其交易双方面临的信用风险显然比利率互换要大一些。

（2）市场风险。

对于利率互换来说，主要的市场风险是利率风险；而对于货币互换而言，市场风险包括利率风险和汇率风险。

值得注意的是，当利率和汇率的变动对于交易者是有利的时候，交易者往往面临着信用风险。

市场风险可以用对冲交易来规避，信用风险则通常通过信用增强的方法来加以规避。

第8章

1.从表中可以看出，A公司的借款利率均比B公司低；但是在固定利率市场上A比B低1.2%，在浮动利率市场上A仅比B低0.5%。

因此A公司在两个市场上均具有绝对优势，但A在固定利率市场上具有比较优势，B在浮动利率市场上具有比较优势。

所以，A可以在其具有比较优势的固定利率市场上以10.8%的固定利率借入100万美元，B在其具有比较优势的浮动利率市场上以LIBOR+0.75%的浮动利率借入100万美元，然后运用利率互换进行信用套利以达到降低筹资成本的目的。

由于本金相同，双方不必交换本金，只交换利息现金流，即A向B支付浮动利息，B向A支付固定利息。

（1）运用利率互换转换资产的利率属性。

如果交易者原先拥有一笔固定利率资产，她可以通过进入利率互换的多头，所支付的固定利率与资产中的固定利率收入相抵消，同时收到浮动利率，从而转换为浮动利率资产；反之亦然。

（2）运用利率互换转换负债的利率属性。

如果交易者原先拥有一笔浮动利率负债，她可以通过进入利率互换的多头，所收到的浮动利率与负债中的浮动利率支付相抵消，同时支付固定利率，从而转换为固定利率负债；反之亦然。

（3）运用利率互换进行利率风险管理。

作为利率敏感性资产，利率互换与利率远期、利率期货一样，经常被用于进行久期套期保值，管理利率风险。

3.由于A公司认为美元相对于英镑会走强，因此A公司可以利用货币互换转换资产的货币属性，通过货币互换将其英镑投资转换为美元投资。

假设其交易对手为拥有一笔5年期的年收益率为8％、本金为150万美元投资的B公司，具体互换过程如下图所示：

第9章

1．因为美式期权和欧式期权相比具有提前执行的优势，所以美式期权价格不可能比同等条件下欧式期权的价格低。

2．因为期权的买方在购买了期权后就只享有权利，而没有任何义务，因此买方没有违约风险。

而期权的卖方承担着履约的义务，而这种义务往往是对期权的卖方不利的，因此卖方有违约风险，必须缴纳保证金。

3．无担保期权的保证金为以下两者的较大者

A．出售期权的期权费收入加上期权标的资产价值的20%减去期权处于虚值状态的数额（如果有这一项的话）；保证金A=（3.5+57×0.2-（60-57））×5×100=11.9×500=5950元

B．出售期权的期权费收入加上标的资产价值的10%；

保证金B=（3.5+57×0.1）×5×100=4600元

由于用A算出来的保证金较大，因此必须缴纳5950美元作为保证金。

4．4月10日交易的期权包括4、5、8和11月到期的。

5月31日交易的期权包括6、7、8、11月到期的。

5．股本权证与备兑权证的差别主要在于：

（1）有无发行环节；

（2）有无数量限制；

（3）是否影响总股本。

股票期权与股本权证的区别主要在于：

（1）有无发行环节

（2）有无数量限制。

第10章

1、该投资者最终的回报为：

max（ST-X,0）+min（ST-X,0）=ST-X

可见，这相当于协议价格为X的远期合约多头。

本习题说明了如下问题：

（1）欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头可以组成远期合约多头；欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头可以组成远期合约空头。

（2）远期合约多头可以拆分成欧式看涨期权多头和欧式看跌期权空头；远期合约空头可以拆分成欧式看涨期权空头和欧式看跌期权多头。

（3）当X等于远期价格时，远期合约的价值为0。

此时看涨期权和看跌期权的价值相等。

2、他在5月份收入200元，9月份付出500元（=（25-20）×100）。

3、下限为：

30－27e-0.06×0.25=3.40元。

4、看跌期权价格为：

p=c+Xe-rT+D-S0

=2+25e-0.5×0.08+0.5e-0.1667×0.08+0.5e-0.4167×0.08-24

=3.00元。

5、

（1）假设公司价值为V，到期债务总额为D，则股东在1年后的结果为：

max（V-D,0）

这是协议价格为D，标的资产为V的欧式看涨期权的结果。

（2）债权人的结果为：

min（V,D）=D-max（D-V,0）

由于max（D-V,0）是协议价格为D、标的资产为V的欧式看跌期权的结果。

因此该债权可以分拆成期末值为D的无风险贷款，加上欧式看跌期权空头。

（3）股东可以通过提高V或V的波动率来提高股权的价值。

第一种办法对股东和债权人都有利。

第二种办法则有利于股东而不利于债权人。

进行风险投资显然属于第二种办法。

6、

（1）当时，，所以正确套利方法为买入看涨期权，卖空看跌期权和股票，将净现金收入30.25元进行3个月的无风险投资，到期时将获得31.02元。

如果到期时股票价格高于30元，将执行看涨期权，如果低于30元，看跌期权将被执行，因此无论如何，投资者均将按照30元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益1.02。

（3）当时，，所以正确套利方法为卖出看涨期权，买入看跌期权和股票，需要的现金以无风险利率借入，到期时需偿付的现金流将为29.73，如果到期时股票价格高于30元，看涨期权将被执行，如果低于30元，投资者将执行看跌期权，因此无论如何，投资者均将按照30元出售已经持有的股票，因此将获得净收益0.27。

习题答案：

1、由于

在本题中，S＝50，＝0.16,=0.30,t=1/365=0.00274.因此，

S/50（0.160.00274,0.30.002740.5）

=（0.0004,0.0157）

S（0.022,0.785）

因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.960.785至50.022+1.960.785,即48.48元至51.56元之间。

2、

（1）假设X1和X2的初始值分别为a1和a2。

经过一段时间T后，X1的概率分布为：

X2的概率分布为：

根据独立的正态分布变量之和的性质，可求X1和X2的概率分布为：

这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为的普通布朗运动。

（2）在这种情况下，X1和X2在短时间间隔Δt之内的变化的概率分布为：

如果都是常数，则X1和X2在较长时间间隔T之内的变化的概率分布为：

这表明，X1和X2遵循漂移率为，方差率为+的普通布朗运动。

3、在本题中，S＝50，X＝50，r=0.1,σ=0.3,T=0.25,

因此，

这样，欧式看跌期权价格为，

4、根据布莱克－舒尔斯看跌期权定价公式有：

由于N（-d1）=1-N（d1）,上式变为：

同样，根据布莱克－舒尔斯看涨期权定价公式有：

可见，，看涨期权和看跌期权平价公式成立。

5、D1=D2=1,t1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65

可见，

显然，该美式期权是不应提早执行的。

红利的现值为：

该期权可以用欧式期权定价公式定价：

S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32

N（d1）=0.7131,N（d2）=0.6184

因此，看涨期权价格为：

6、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。

如果股票价格升到42元，该组合价值就是42Δ-3。

如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。

令：

42Δ-3=38Δ

得：

Δ=0.75元。

也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。

因此，该组合的现值应该等于：

28.5e-0.08×0.08333=28.31元。

这意味着：

-c+40Δ=28.31

c=40×0.75-28.31=1.69元。

7.证明：

（1）

（2）在风险中性世界中，股票价格服从，这样ST大于X的概率就是的概率：

第12章

1.二叉树图模型的基本原理是：

在风险中性世界中，假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。

当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯定价偏微分方程。

△t

1-p

看跌期权

0.0833

1.0905

0.9170

0.5266

0.4734

2.71

下图为时间间隔为一个月的二叉树树图

运用二叉树方法得到欧式看跌期权为2.62美元，由布莱克－舒尔斯公式计算可得，因此美式看跌期权的更优估计值为美元。

3.蒙特卡罗方法是通过多次随机抽取标的资产价格的路径，并据此计算每条路径下的期权回报，然后把期权平均回报贴现得到期权价格。

蒙特卡罗模拟的主要优点包括：

易于应用；适用广泛，尤其适用于复杂随机过程和复杂终值的计算，如路径依赖期权，多个标的变量的期权等。

同时，在运算过程中蒙特卡罗模拟还能给出估计值的标准差。

蒙特卡罗模拟的缺点主要是：

不能为美式期权定价，难以处理提前执行的情形；为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。

4.使用的公式为，注意从Excel软件中有抽取0到1之间的均匀分布随机数的程序。

可以通过下式获得：

其中是相互独立的0到1均匀分布的随机数。

5.有限差分方法和树图方法是相当类似的。

实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。

这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，相应地参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。

其中三叉树方法和显性有限差分法就非常类似。

6.根据题意

，，，运用显性有限差分法为该期权定价的结果如下表所示。

股票价格

（美元）

到期时间

0.00

0.01

0.00

0.07

0.04

0.02

0.00

0.38

0.30

0.21

0.11

0.00

1.56

1.44

1.31

1.17

1.00

5.00

9.00

13.00

17.00

21.00

第13章

1.一份看涨期权多头和一份执行价格和到期期限都相同的看跌期权空头组合的收益等于一份标的资产的多头。

用期权组合盈亏图的算法也可以得出，看涨期权多头（0，+1）加上看跌期权空头（+1，0）等于（+1，+1）即标的资产多头。

2.看涨期权的反向差期组合

一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。

看跌期权的反向差期组合

一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。

3.牛市差价组合可以由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成，也可以由一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组成。

由于协议价格越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高，因此用看涨期权构造的牛市差价组合期初现金流为正，而用看跌期权构造的牛市差价组合期初现金流为负。

设执行价格为和，。

则两者的最终收益差距如下表：

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