全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题.docx

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全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题

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2018 年贵州省高中数学联赛试题

第Ⅰ卷（共 60 分）

一、选择题：

每小题 6 分，本大题共 30 分.

1.小王在 word 文档中设计好一张 A4 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需

（

要设计1000 张，小王欲使用“复制——粘贴” 用鼠标选中表格，右键点击“复

制”，然后在本 word 文档中“粘贴”）的办法满足要求.请问：

小王需要使用“复

制——粘贴”的次数至少为（）

A． 9 次 B．10 次 C．11 次 D．12 次

2.已知一双曲线的两条渐近线方程为 x - 3 y = 0 和 3x + y = 0 ，则它的离心率是

（）

A． 2 B． 3 C． 2 2 D． 3 + 1

3.在空间直角坐标系中，已知 O（0,0,0）， A（1,0,0）， B（0,1,0）， C （0,0,1），则到面

OAB 、面 OBC 、面 OAC 、面 ABC 的距离相等的点的个数是（）

A．1 B． 4 C． 5 D．无穷多

4.若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为 2 2 ，则此截面与圆柱底面所成

的锐二面角是（）

A． arcsin 1 B． arccos 1 C． arcsin 2 D． arccos 2

3333

5.已知等差数列 {a }及 {b }，设 A = a + a +⋅⋅⋅+ a ， B = b + b +⋅⋅⋅+ b ，若对

nnn12nn12n

∀n ∈ N * ，有n =10 = （）

B5n + 3b

A．

33299987

二、填空题（每小题 6 分，本大题共 60 分）

6.已知 O 为 ∆ABC 所在平面上一定点，动点 P 满足 OP = OA + λ （ AB + AC ），其

ABAC

λ ∈ [0, +∞），则 P 点的轨迹为．

7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以

7A 版优质实用文档1

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下情况：

①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年

龄相同.则这四人中最佳选手是．

⎧22

⎩ xy（ x + y） = -6

9.如图，在 ∆ABD 中，点 C 在 AD 上， ∠ABC = π ， ∠DBC = π ， AB = CD = 1 ，

则 AC =．

10.函数 z = 2x2 - 2x + 1 + 2x2 -10x + 13 的最小值是．

11.若边长为 6 的正 ∆ABC 的三个顶点到平面 α 的距离分别为1 ，2 ，3 ，则 ∆ABC

的重心 G 到平面 α 的距离为．

12.若实数 a 使得不等式 x - 2a + 2x - a ≥ a2 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取

值范围．

13.若方程 a x = x（a > 0, a ≠ 1）有两个不等实根，则实数 a 的取值范围

是．

14.顺次连结圆 x2 + y 2 = 9 与双曲线 xy = 3 的交点，得到一个凸四边形.则此凸四边

形的面积为．

15.函数 y = 2（5 - x）sin π x - 1（0 ≤ x ≤ 10）的所有零点之和等于．

三、解答题（每小题 15 分，本大题共 60 分）

16.已知函数 y = 3x + x2 - 2x ，求该函数的值域.

222

ab2

A 、 B 两点，且 AB =5 .

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）过点 M （2,0）的直线 l（斜率不为零）与椭圆 C 交于不同的两点 E 、F （ E 在

点 F 、 M 之间），记 λ = S∆OME ，求 λ 的取值范围.

∆OMF

18.证明：

（1）+++ ⋅⋅⋅ +< 1 （n ≥ 2, n ∈ N ）；

2k2k + 12k + 22k +1 - 1

7A 版优质实用文档2

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（2）分别以1 ， 1 ， 1 ，…， 1 ，…为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个

23n

边长为 3 的正方形内.

19.已知梯形 ABCD ，边 CD 、 AB 分别为上、下底，且 ∠ADC = 90 ，对角线

AC ⊥ BD ，过 D 作 DE ⊥ BC 于点 E .

（1）证明：

AC 2 = CD 2 + AB ⋅ CD ；

（2）证明：

AE =AC ⋅ CD .

BEAC 2 - CD 2

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6. ∠BAC 的角平分线 7.牛得亨先生的女儿 8. ⎧⎨ 或 ⎧⎨

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参考答案

一、选择题

1-5:

BACBB

二、填空题

x = -1x = 3

⎩ y = 3⎩ y = -1

9. 3 2 10. 10 11. ⎧0, 2 , 4 , 2⎫

⎩3 3⎭

1 < a < e e 14. 6 5 15. 60

三、解答题

16.解：

令 u = x - 1 ，则 y = 3u + 3 + u 2 -1 ，则 u ≥ 1，

min= 1，且 u = 2t ） .

当 u > 0 时， y = 3 （t + 1） + 3 + 1 （t + 1） - t = t + 2 + 3 ，

2t2tt

由于 0 < t ≤ 1 ，故函数单调递减，所以 y ≥ 1 + 2 + 3 = 6 .

当 u < 0 时， y = - 3 （t + 1） + 3 + 1 （t + 1） - t

2t2t

124 - 3 2

= -2t + + 3 ≤ 3 - 2 2 （当且仅当 t =，即 x =时取等号）

t24

所以函数的值域为（-∞,3 - 2 2] [6, +∞） .

得 a = 2c = 2b ，所以椭圆的方程为 x2 + 2 y 2 - 2b2 = 0 ，

⎧222

⎩ y = 2 x -1

所以 ∆ = 64 - 36（2 - 2b2 ），

由 AB = 8 5 得 1 + 22∆ = 8 5 ，即 b2 = 1 ，

999

（2）设 l ：

x = my + 2 ，且 E （ x , y ）、 F （ x , y ），

1122

由 ⎨ x + 2 y - 2 = 0 得（m2 + 2） y 2 + 4my + 2 = 0 ，

⎧22

⎩ x = my + 2

S 1 1 2

∆OMF ⨯ OM ⨯ y

1 2 1 2

①

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由①②得λm2 + 211 ，

（1+ λ）28m284m2

λ1

8（1+ λ）24

1111112k

++ ⋅⋅⋅ +<++ ⋅⋅⋅ +=

2k2k + 12k + 22k +1 - 12k2k2k2k

111

++ ⋅⋅⋅ +

2k2k + 12k + 22k +1 - 1

111

2k2k + 12k + 22k +1 - 1

为 1 的矩形内，而不重叠.

取 k = 2,3,4 ，…，即得底分别为

11111

++ ⋅⋅⋅ ++ ⋅⋅⋅ +

2222 + 123 - 12323 + 124 - 1

111

2424 + 125 - 12224

这些矩形的底小于1 ，高的和为

111

+++ ⋅⋅⋅ = lim

222324x→∞12n2

因此，以1 ， 1 ， 1 ，…， 2，…为边长的正方形中，除了边长为1 ， 1 ， 1 的正

23n23

方形外，其余的正方形全部可以放入底为1 ，高为 1 的矩形中（如图阴影部分）.

而边长为1 ， 1 ，1 的三个正方形显然可以放入底为 3 ，高为1 的矩形内（如图）

232

19.证明：

如图.

（1）由于 ∠ADC = 90 ，故 AC 2 = CD 2 + AD 2 .

因为对角线 AC ⊥ BD ，所以 ∠DCA = 90 - ∠BDC = ∠ADB .

而 ∠ADC = 90 = ∠BAD ，则 ∆ACD

∆BDA ，故 AD = AB ⇒ AD 2 = AB ⋅ CD .

CD AD

因此，有 AC 2 = CD 2 + AB ⋅ CD .

（2）由于 ∠ADC = 90 ，故 AC 2 - CD 2 = AD 2 ，

所以AC ⋅ CD= AC ⋅ CD = AC ⋅ CD = AC .

AC 2 - CD 2AD 2AB ⋅ CDAB

因为 ∠BAD + ∠DEB = 180 ，

所以 A 、 B 、 E 、 D 四点共圆，故 ∠AEB = ∠ADB .

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由于 ∠BAC = 90 - ∠CAD = ∠ADB ，

且 ∠AEB = ∠BAC ， ∠EBA = ∠ABC ，

则 ∆ABE

所以 AE =

∆CBA ，故 AE = CA .

BE AB

AC ⋅ CD .

AC 2 - CD 2

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