苏教版数学必修2 第1章 123 第1课时 直线与平面平行.docx

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苏教版数学必修2第1章123第1课时直线与平面平行

1.2.3　直线与平面的位置关系

第1课时　直线与平面平行

1．通过直观感知、操作确认直线与平面的位置关系及线面平行的判定定理．（重点）

2．理解并会证明直线与平面平行的性质定理．（难点）

3．会用图形语言和符号语言描述直线和平面平行的判定定理和性质定理．（重点、易错点）

[基础·初探]

教材整理1　直线和平面的位置关系

阅读教材P32的内容，完成下列问题．

直线和平面的位置关系

位置

关系

直线a在

平面α内

直线a与平

面α相交

直线a与平

面α平行

公共点

有无数个

公共点

有且只有一个

公共点

没有公共点

符号

表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形

表示

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.（×）

（2）若直线a在平面α外，则a∥α.（×）

（3）若直线a∩b＝∅，b⊂α，则a∥α.（×）

（4）若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．（√）

教材整理2　直线与平面平行的判定

阅读教材P33例1以上部分内容，完成下列问题．

直线与平面平行的判定定理

（1）自然语言：

如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（2）图形语言：

如图1－2－34所示．

图1－2－34

（3）符号语言：

⇒a∥α.

1．如果直线a∥b，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是________．

【解析】　若a∥b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系如图所示．

【答案】　b∥α或b⊂α

2．能保证直线a与平面α平行的条件是__________（填序号）.

【导学号：

41292026】

（1）b⊂α，a∥b；

（2）b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；

（3）b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD；

（4）a⊄α，b⊂α，a∥b.

【解析】　由线面平行的判定定理可知（4）正确．

【答案】　（4）

教材整理3　直线与平面平行的性质

阅读教材P33例1以下部分内容，完成下列问题．

直线与平面平行的性质定理

（1）自然语言：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．

图1－2－35

（2）图形语言：

如图1－2－35所示．

（3）符号语言：

⇒l∥m.

1．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．

【答案】　相交或平行

2．如图1－2－36所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是__________．

图1－2－36

【解析】　∵ABC－A1B1C1是三棱柱，

∴A1B1∥AB.

又∵A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC.

∵A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，

∴A1B1∥DE，∴DE∥AB.

【答案】　平行

[小组合作型]

直线与平面的位置关系

（1）下列说法中，正确的有__________．（填序号）

①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；

②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线垂直；

③过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；

④一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．

（2）下列命题中，a，b，l表示直线，α表示平面．

①若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；

②若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α；

③若点A∉a，则过点A可以作无数个平面与a平行；

④若a与α内的无数条直线不相交，则a∥α.

其中正确的命题有______．（把你认为正确的序号都填上）

【精彩点拨】　利用线面平行的定义，借助图形分析判断．

【自主解答】　

（1）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以①错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线垂直于这条直线，那么在这个平面内与所作直线平行的直线都与已知直线垂直，有无数条，所以②正确；对于③显然错误；而④，也有可能相交，所以也错误．

（2）①错误．如图（a），满足a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，但a与b不平行．

②错误．如图（b），满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，但l与α相交．

③正确．如图（c），点A∉a，过点A可以作无数个平面与a平行．

④错误．当a与α相交时，也有a与α内的无数条直线不相交．

【答案】　

（1）②　

（2）③

空间中直线与平面的位置关系有：

直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种．

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

[再练一题]

1．下列命题中正确的个数是________个．

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．

【解析】　①中，l可与α相交，故①错．②中，α内的直线可能与l异面，故②错．③中，另一条直线可能在这个平面内，故③错．④中，由l与α平行的定义知④正确．

【答案】　1

直线与平面平行的判定定理的应用

　如图1－2－37,M，N分别是底面为矩形的四棱锥P－ABCD的棱AB，PC的中点，求证：

MN∥平面PAD.

图1－2－37

【精彩点拨】　取PD中点E，证明EN綊AM.

【自主解答】　如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE，

∵N是PC的中点，

∴EN綊

DC.

又∵AM綊

CD，

∴NE綊AM.

∴四边形AMNE是平行四边形．

∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

利用判定定理证明直线与平面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．

[再练一题]

2．如图1－2－38，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且

＝

.

图1－2－38

求证：

MN∥平面SBC.

【证明】　连结AN并延长交BC于P，连结SP，

∵AD∥BC，∴

＝

，

又∵

＝

，

∴

＝

，∴MN∥SP，

又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，

∴MN∥平面SBC.

[探究共研型]

线面平行的性质定理的应用

探究1　若a∥α，b⊂α，那么a与b的位置关系是怎样的？

a与b有没有可能平行？

在什么条件下平行？

【提示】　a与b平行或异面，当a，b同在一平面内时，a∥b.

探究2　如图1－2－39，若a∥b，a⊂α，b⊂α，α∩β＝c，且c∥a.那么a与β，b与β是什么关系？

图1－2－39

【提示】　a∥β，b∥β.

探究3　一个长方体木块如图1－2－40所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？

图1－2－40

【提示】　在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1，分别交A1B1，C1D1于E，F.连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图．

　四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：

PA∥GH.

图1－2－41

【精彩点拨】　要证线线平行，先证线面平行，再证另一线为过已知直线的平面与已知平面的交线．

【自主解答】　如图，连结AC交BD于点O，连结MO，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．

又M是PC的中点，

∴AP∥OM.

根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.

∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线和平面平行的性质定理，∴PA∥GH.

证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用，并常利用下面的关系：

线线平行

线面平行

线线平行．

运用线面平行的性质定理时，应寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助平面．

[再练一题]

3．如图1－2－42，将上例条件改为“已知四边形ABCD是平行四边形，四边形BDPF也是平行四边形，M是线段PF的中点．求证：

BM∥平面APC.

图1－2－42

【证明】　记AC与BD的交点为O，连结OP.

∵O，M分别为BD，PF的中点，四边形BDPF是平行四边形，

∴OB∥MP且OB＝MP，

∴四边形OBMP是平行四边形，

∴BM∥OP，

∵OP⊂平面APC，BM⊄平面APC，

∴BM∥平面APC.

1．以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）正确的个数为________．

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b.

【答案】　0

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，与EF平行的长方体的面有________个.

【导学号：

41292027】

【解析】　如图，∵EF∥A1B1，

∴EF∥平面A1B1C1D1.

同理EF∥平面ABCD，

EF∥平面DD1C1C.

【答案】　3

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）与直线AB平行的平面是________；

（2）与直线AA1平行的平面是________；

（3）与直线AB1平行的平面是________．

【解析】　如图，可知：

AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面CDD1C1；

AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面CDD1C1；

AB1∥平面CDD1C1.

【答案】　

（1）平面A1B1C1D1，平面CDD1C1　

（2）平面BCC1B1，平面CDD1C1　（3）平面CDD1C1

4．直线a∥平面α，过α内一点A的所有直线中与直线a平行的直线条数为__________．

【解析】　过直线a和点A的平面与平面α有一条交线l，只有l满足在平面α内过点A且与a平行．

【答案】　1

5．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各取一点P，Q，且AP＝DQ.

图1－2－43

求证：

PQ∥平面BCE.

【证明】　如图所示，在平面ABEF内过P作PM∥AB交BE于点M，在平面ABCD内过点Q作QN∥AB交BC于点N，连结MN.

∵PM∥AB，∴

＝

.

又∵QN∥AB∥CD，

∴

＝

，即

＝

.

∵正方形ABEF与ABCD有公共边AB，

∴AE＝DB.

∵AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴PM＝QN.

又∵PM∥AB，QN∥AB，

∴PM∥QN.

∴四边形PQNM为平行四边形．

∴PQ∥MN.又∵MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE.

∴PQ∥平面BCE.