高二数学 93直线和平面平行与平面和平面平行第二课时大纲人教版必修.docx
《高二数学 93直线和平面平行与平面和平面平行第二课时大纲人教版必修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学 93直线和平面平行与平面和平面平行第二课时大纲人教版必修.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高二数学93直线和平面平行与平面和平面平行第二课时大纲人教版必修
2019-2020年高二数学9.3直线和平面平行与平面和平面平行（第二课时）大纲人教版必修
●教学目标
（一）教学知识点
直线与平面平行的性质定理.
（二）能力训练要求
1.掌握直线与平面平行的性质定理、明确由线面平行可以推出线线平行.
2.应用定理证明一些简单问题,培养学生的逻辑思维能力.
（三）德育渗透目标
培养学生良好的思维习惯,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
●教学重点
直线与平面平行的性质定理及其应用.
●教学难点
直线与平面平行的性质定理及其应用.
●教学方法
指导学生自学法
通过学生自主的学习过程,激发学生学习数学的自信心和积极性,培养学生分析问题、解决问题的能力,不断发现、探索新知的精神.
●教具准备
投影片两张.
第一张：
本课时教案的例1（记作9.3.2A）
第二张:
本课时教案的例2及图（记作9.3.2B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］
上节课,我们一块学习了直线与平面的位置关系、直线与平面平行的判定定理,请同学们回忆一下,直线与平面的位置关系有几种,各有什么特征？
［生］直线与平面的位置关系有三种：
分别是直线在平面内,其特征是直线与平面有无数个公共点；直线与平面相交,其特征是直线与平面有且只有一个公共点；直线与平面平行,其特征是直线与平面没有公共点.
［师］回答得很好.如果一条直线与平面相交,可不可以说直线在平面外呢？
［生］可以.因为直线在平面外包含两种情形,一是直线与平面相交,二是直线与平面平行,问题是其中情形之一.
［师］正确.直线与平面平行的判定定理是什么？
［生］线线平行,则线面平行.
［师］用符号语言表示是怎样的？
［生］
.
［师］好.要注意,利用判定定理判定直线与平面平行时,三个条件缺一不可.今天我们来学习直线与平面平行的性质定理.
Ⅱ.指导自学
（让学生看课本,提问题——理解这部分内容的难点与疑点）
［生］例题中给的一块木料形状规则吗？
［师］木料的形状不一定规则,但每一个面都认为是平面.
［师］请叙述一下直线和平面平行的性质定理？
［生］如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
［师］这个定理用符号语言怎样表示?
［生］
.
［师］很好！
这里也是三个条件,这三个条件同样是缺一不可的.我们把这个定理简记为“线面平行,则线线平行”,后面的线线,一条是平行于平面的直线,另一条是经过平面外的直线的平面与已知平面的交线.
［师］请同学们注意：
性质定理说,如果a∥α,经过a的平面β和α相交,那么a就平行于交线,我想问问大家,经过a且与α相交的平面有几个！
［生甲］一个.
［生乙］无数个.
［师］请生甲同学谈一下,经过a且与α相交的平面为什么只有一个?
［生甲］因为只有一条交线,所以只有一个.
［师］是只有一条交线吗？
（生甲不知该如何作答）请再仔细想一想.
［师］请生乙同学谈一下,经过a且与α相交的平面为什么有无数个？
［生］经过a的平面只要和α相交,就符合题设条件,（拿课本比试了一下）这样的平面有无穷多个.
［师］好.生甲同学听明白了吗？
［生甲］明白了.
［师］如果a∥α,那么经过a与α相交的平面有无穷多个,这无穷多个平面与α有无数条交线,这无数条交线互相平行.
定理的证明过程,使用了“”符号,很简洁,让人一看,心中美不胜数.
（已知：
a∥α,aβ,α∩β=b.
求证：
a∥b.
证明：
［师］有了性质定理,我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的平行问题,下面我们来看个例子.
（打出投影片9.3.2A）
［例1］如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.
［师］请同学们谈一下,拿到这个题首先应该干什么？
［生］首先应该在读懂题意的基础上,写出命题的图形语言、并用符号语言写出已知、求证.
［师］好.谁来完成一下?
［生甲］（上黑板画图,并写出已知、求证）
已知：
a∥α,A∈α,A∈b,且b∥a.
求证：
bα.
分析：
这个题要求我们证明直线b在平面α内,要想证明这个问题,需要——
［生］证明直线b上至少有两个点在面α内.
［师］证直线b上“至少”有两个点在面α内（教师重复时要突出强调“至少”）,用什么方法证呢？
［生］用反证法.
［师］好.我们一起来写出证明过程.
证明：
假设bα,
设经过点A和直线a的平面为β,α∩β=b′.
∵a∥α,
∴a∥b′（线面平行则线线平行）.
又a∥b,∴b∥b′.这与b∩b′=A矛盾,
∴假设错误.故bα.
（打出投影片9.3.2B）
［例2］求证：
如果一条直线和两个相交平面都平行,这条直线和它们的交线平行.
［师］请同学们观察、分析、讨论,寻求证题思路,完成证明过程.
［生］先根据文字语言及图形,用符号语言写出已知、求证.
［师］好.请你具体讲一下.
［生］已知：
面α∩面β=l,a∥α,a∥β,求证：
a∥l.
［师］下面请同学们进一步考虑,完成证明.
（学生在思考、比划、讨论、甚至争辩,都在极力为自己的想法寻找依据,这时教师将图在黑板上做出来）
［生］设过a的平面γ交α于b,过a的另一平面δ交β于c,因为a平行于α,所以a平行于b.同理a平行于c.根据平行公理b平行c.因c在平面β内,所以b平行于面β,b在面β外.所以b平行于面β.而过b的平面α交平面β于l,所以b平行于l.再由平行的传递性得a平行于l.
［师］太好了！
生乙的分析大家听明白了吗？
这个题既用到了直线与平面平行的性质定理,又用到了直线与平面平行的判定定理,反复交叉运用,使问题得到了证明.现在大家动笔把证明过程整理出来.（一位同学在黑板上写板书）
证明：
设过a的平面γ交α于b,
过a的平面δ交β于c,
a//l.
Ⅲ.课堂练习
课本P21练习3.
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了直线与平面平行的性质定理：
线面平行,则线线平行.要注意后面线线的意义：
一条为平面外的直线,另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.这个定理与前面学过的平行公理是立体几何中判定直线与直线平行的重要依据,至此,我们判定空间直线与直线的平行已经有了两种办法,随着以后内容的学习,判定两直线平行的办法还会继续增加.同学们要把这个定理的条件和结论搞清楚,以便今后在证明有关问题时应用.
Ⅴ.课后作业
课本P22习题9.25、6.
●板书设计
9.3.2直线与平面平行的判定和性质
（二）
直线与平面平行的性质定理
性质定理用符号语言可表示为：
性质定理可简记为线面平行,则线线平行
例1.例2.
练习小结
2019-2020年高二数学9.4直线和平面垂直（备课资料）人教版必修
试判断下面命题正误.（正确的打“√”,不正确的打“×”）
1.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.
2.如果一条直线垂直于平面内无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.
3.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.
4.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
解：
1.×
一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何一条直线平行是错误的,因为还存在异面的情形.
2.×
应当明确,无数条直线并不是平面内所有直线,关键看其中有无两条相交线,因一组平行线也是无数条直线,而垂直于一组平行线的线不一定与平面垂直.
3.√
对任意一个三角形来说,它满足：
①它确定一个平面;②每相邻两边都相交,因此,垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面.由线面垂直定义的逆用,知该直线必垂直于三角形的第三边.
4.√
教材中告诉我们两个结论：
①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直;②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,那么过点A垂直于直线a的平面唯一,因此,过点A且与a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内.
评述：
该题是利用线面垂直的定义及判定来解决的.通过问题的解决,进一步加深对概念的理解,提高灵活运用知识的能力,有些结论可在以后的学习中直接运用,如：
4.
二、证明线面垂直问题
1.空间四边形ABCD的边BC=AC,AD=BD,引BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H,求证：
AH⊥面BCD.
分析：
要证AH⊥面BCD,关键是在面BCD内找两条相交直线,使之与AH垂直.BE是显然的,关键是另一线段.
证明：
取AB的中点F,连结CF、DF.
∵AC=BC,∴CF⊥AB.
又∵AD=BD,∴DF⊥AB,
那么AB⊥面CDF.又CD面CDF,
∴CD⊥AB.
而BE⊥CD,
∴CD⊥面ABE,CD⊥AH.
又AH⊥BE,故AH⊥面BCD.
2.已知PA垂直于⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E,求证：
AE⊥面PBC.
分析：
因为AE⊥PC,所以要证明结论成立,主要在于证明AE与面PBC内一线垂直,而该线从图中结构来看,找BC较合适.
证明：
∵PA⊥面ABC,BC面ABC,
∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径,
故BC⊥AC.而PC∩AC=C,
故BC⊥面PAC.
又AE面PAC,故BE⊥AE.
而PC⊥AE,PC∩BC=C,
∴AE⊥面PBC.
三、折叠问题
教材P284是一个简单的折叠问题,这类问题主要看两方面的变化,一是数量变化,一般是角和长度变化;二是位置变化,平行与垂直看折叠前后这两方面是否变化.
下图是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:
①AB与EF所在直线平行；
②AB与面EC垂直；
③NA与面AB垂直；
④MN与CD所在直线平行.
其中正确命题的序号是.
分析：
折叠前的平面图形由六个全等的正方形组成;
折叠后的立体图形是由这六个正方形围成的几何体;
每一个正方形的位置关系不会改变,但相互间在变.
要回答题所问,关键是找到平面图与立体图间字母的对应,经分析、思考立体图形各顶点字母如图所示.
那么,①AB与EF是异面垂直;②AB⊥面EC,因AB⊥MC,AB⊥ME;③NA⊥面AB,因NA⊥AM,
NA⊥AC;④MN与CD异面且垂直,故正确命题的序号是②③.
四、证明线面垂直的方法可归纳如下
1.利用线面垂直的定义
证一直线垂直于平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.
2.利用线面垂直的判定定理
证一直线与平面内两相交线都垂直,这条直线与平面垂直.
3.利用线面垂直的性质
两平行线之一垂直于平面,则另一条也必垂直于这个平面.
●备课资料
一、利用概念解题
1.判断下列命题的正误.（正确打“√”,错误打“×”）
（1）平行于同一直线的两条直线互相平行.
（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行.
（3）平行于同一平面的两条直线互相平行.
（4）垂直于同一平面的两条直线平行.
分析：
（1）该命题就是平行公理,因此该命题正确.打“√”.
（2）垂直于同一直线的两条直线可以平行,也可以相交,还可以是异面直线,故该命题错误.打“×”.
（3）平行于同一平面的两直线具有平行、相交、异面三种位置关系,故该命题错误.打“×”.
（4）由直线和平面垂直的性质知该命题正确.打“√”.
2.MN是异面直线a、b的公垂线.
已知:
a∥α,b∥α,求证:
MN⊥α.
分析：
需在α内找与a及b平行的直线,从而证明MN与这两条直线垂直,依判定定理完成证明.
证明：
在α内取一点P,设直线a与点P确定的平面与α的交线为a′,
直线b与点P所确定的平面与平面α的交线为b′.
∵a∥α,b∥α,
∴a∥a′,b∥b′.
又∵MN⊥a,MN⊥b,
∴MN⊥a′,MN⊥b′.
故MN⊥α.
3.如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线就和它们的交线平行.
已知：
a∥α,a∥β,α∩β=b.
求证：
a∥b.
分析：
此题证明的难点是构造图形,构造符合题意的图形,由于构造方法的不同,可有不同的证明方法.
证法一：
∵α∩β=b,在b上任取一点A,设过a、A的平面与平面α相交于直线b′.
∵a∥α则a∥b′.
又设过点A及a的平面交β于b″.
∵α∥β,∴a∥b″.
b′与b″都过A且与b平行,
∴b′与b″重合,重合后的直线既在α内又在β内,
因而即为交线b.
故b∥a.
证法二：
设过a的两个平面,分别与α、β相交于直线c、d.
∵a∥α,a∥β,
∴a∥c,a∥d.
∴c∥d,则c∥β.∴c∥b.
∴a∥b.
证法三：
在a上取一点A,作AB⊥α于点B,AC⊥β于点C.
∵a∥α,a∥β,
∴a⊥AC,a⊥AB.
设AB、AC确定平面γ,
∴a⊥γ.
又∵b⊥AB,b⊥AC,
∴b⊥γ.∴a∥b.
证法四：
假设α∩β=b且b不平行于a,
在b上任取一点A,
过A、a确定平面γ,
则γ与α交于b′,γ与β交于b″,
且∥a,∥a.
过直线外一点作直线的平行线是唯一的,故假设b与a不平行不真,
即a∥b.
（从多角度思考问题,以拓宽解题思路,提高空间想象能力）
二、证明线线平行的方法可归纳如下
1.利用线线平行定义
证明线线共面且无公共点.
2.利用三线平行公理
变两线同时平行于第三条直线.
3.利用线面平行的性质定理
证线面平行转化为证线线平行.
4.利用线面垂直性质定理
垂直于同一平面的两直线平行.
从以上线线平行的求证方法,可知等价转化思想在立体几何中贯通全篇,通过转化将立体几何问题转化为平面几何问题,其中平面起着桥梁作用,看下面问题及其解决思路.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF为异面直线A1D与AC的公垂线.
求证：
EF∥BD1.
分析：
要证EF∥BD1,从转化的角度结合题目构造符合证题思路的图形很重要,这是关键所在.
证明：
连结A1C1,由于
AC∥A1C1,EF⊥AC,
∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D,A1D∩A1C1=A1,
∴EF⊥面A1C1D.
∵BB1⊥面A1B1C1D1,
A1C1面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.又A1C1⊥B1D1,
故A1C1⊥面BDD1B1.而BD1面BB1D1D,
∴A1C1⊥BD1.
同理DC1⊥BD1.
故BD1⊥面A1C1D.
则EF∥BD1.
（问题转化过程中,面A1C1D的作用主要在于把EF和BD1的关系清楚地反映出来）
三、线到平面的距离问题
线面距离问题解决的基本思想都是通过转化完成.
由线面距离点面距离点线距离解三角形完成.
已知在长方体AC1中,AA1=a,AB=b.
求B1C1到平面A1BCD1的距离.
分析：
求线面距离,其作法是：
在线上取点,将线面距离问题转化为点面距离问题,进而由点向面作垂线,转化为点线距离.
解：
∵B1C1∥BC,且B1C1面A1BCD1,BC面A1BCD1,
∴B1C1∥面A1BCD1.
那么过点B1作面A1BCD1的垂线段即为所求.
过点B1作B1E⊥A1B于点E.
∵BC⊥面A1B1BA,B1E面A1BB1,
∴BC⊥B1E.
那么B1E⊥面A1BCD1,B1E的长即为所求,
B1E=.
●备课资料
一、射影问题
一个点在平面内的射影一定还是一个点,而一条直线在平面内的射影是直线或点,一个三角形（平面图形）在平面内的射影是否一定还是三角形？
（请考虑三角形所在面与平面垂直时的情形）请思考下列问题,注意特殊情形,利用斜线段、射影、垂线段.
1.一条直线在一个面内射影可能是
A.一个点B.一条线段
C.一条直线D.可能是一个点,也可能是一条直线
解析：
当直线与平面垂直时,该直线在平面内的射影为一个点,除此之外其余情形在平面内的射影都是一条直线.
答案：
D
2.如果平面外两条直线在平面内的射影是一个点和不经过该点的一条直线,那么这两条直线的位置关系是
A.异面B.平行
C.异面或平行D.异面或相交
解析：
平面外的两直线相交时,无论直线位置如何,只要其中有一直线的射影为点,则另一直线的射影一定经过该线,那么相交情形可排除在外.当两直线平行时,由题知其在面内的射影应为两个点,也可排除平行情形.故两直线是异面情形.
答案：
A
3.下列命题正确的个数为
①两条斜线相等,则它们在同一平面内的射影也相等②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线③若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的射影,则b⊥a④若直线
a∥α,l为平面α的斜线,a⊥l,则a垂直于l在α内的射影
A.1B.2
C.3D.4
解析：
①两条斜线段相等,则它们在同一平面内的射影不一定相等.因为当这两条斜线段从平面外一点引出时射影相等,若不是从平面外一点引出,则可以相等,也可以不相等.
②当两直线垂直于平面时其射影为两个点,当两直线所确定的平面垂直于平面时,其射影为一条直线,其余位置的射影为两平行线.
③如图举一反例,a′是a在α内的射影,b⊥a′,但b与a不垂直.
④经l上一点作平面的垂线b,∵a∥α,
∴a⊥b.又a⊥l,故a与斜线l及垂线b所确定的平面垂直,射影在该面内.故a垂直于l在α内的射影.
答案：
A
由上分析知正确命题为④.以上是线的射影,再看一个形的射影问题.
4.Rt△ABC的斜边AB在平面α内,顶点C在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是
A.一条线段
B.一个锐角三角形
C.一个钝角三角形
D.一条线段或一个钝角三角形
解析：
问题的关键在于顶点C在平面α上的射影的位置.
当顶点C在平面α上的射影在AB所在的直线上时,两直角边在平面上的射影是一条线段.
其与斜边组成的图形是一条线段.
当顶点C在平面α内的射影在BC所在的直线外时,
如图所示,其射影与斜边组成三角形.
∵AC2+BC2=AB2,
而AC＞AC′,BC＞BC′,
＜AB2,
那么△AB是钝角三角形.
答案：
D
可利用斜线段、垂线段及射影来解决距离及线段长,主要是解直角三角形,如下列问题：
5.由点P到平面α引垂线PO及斜线PA、PB、PC,设PA、PB、PC与平面α所成的角分别是60°、45°、30°,且PC=a,求：
（1）点P到平面α的距离；
（2）PA、PB及PA、PB在平面α的射影长.
解：
（1）如图,垂线段为PO,
斜线段为PA、PB、PC,
且∠PCO=30°,∠PBO=45°,∠PAO=60°.
在△PCO中,PO=PCsin30°=a,
即点P到平面α的距离为.
（2）在△PAO及△PBO中,∵PO=,
故PA=
其射影分别为
BO=,AO=.
二、成角问题
1.正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2.
（1）求A1B与平面AC所成的角；
（2）设BD与AC交点为O,求D1O与平面ABCD所成角的正弦值.
解：
（1）∵AA1⊥面ABCD,
故AB就是A1B在面ABCD内的射影.
∵AA1=AB,
∴∠A1BA=45°.
即A1B与面AC所成的角为45°.
（2）设BD与AC的交点为O,连结D1O,
∵DD1⊥面ABCD,
∴DD1与DO所成角∠D1OD就是D1O与面AC所成的角.
D1O=2.
∴sinD1OD=
.
（角的问题求解与正方体的棱长无关,但距离与棱长有关）
求线面成角,关键在于确定点在平面内的射影位置,是解题关键的一步,确定射影位置也就找到了直线和平面所成的角,也就是将空间问题转化为平面问题来解.
2.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2,A、B两点在α内的射影之间的距离为,求直线AB和平面α所成的角.
分析：
此题射影位置的确定依赖于斜线,或者说A、B两点,而A、B和平面的关系还需讨论,涉及分类讨论思想的渗透,然后找垂线定角,进而求角.
解：
（1）当点A、B位于平面α同侧时,由点A、B分别向平面α作垂线,垂足分别为A1、B1,
则AA1=1,BB1=2,
B1A1=.
过点A作AH⊥BB1于点H,
则AB和α所成的角即为∠HAB.
而tanBAH=,
∴∠BAH=30°.
（2）当点A、B位于平面α异侧时,
过点A、B分别作
AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1,
AB∩α=C,
A1B1为AB在面α上的射影,
∠BCC1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
∵△BCC1∽△ACA1,
∴=2.∴B1C=2A1C.
而B1C+2A1C=,
∴B1C=.
∴tanBCB1=
∠BCB1=60°.
∴AB与α所成的角为60°.
综上
（1）
（2）可知AB与平面α所成的角为30°或60°.
●备课资料
三垂线定理及其逆定理在解决问题中的作用.
三垂线定理及其逆定理可用来证明空间两直线垂直,也可用来证明同一平面内两直线垂直,能将空间两直线垂直问题向平面上两直线垂直问题转化.
利用三垂线定理及其逆定理可以解决直线与平面所成的角、二面角的平面角,点到面的距离问题.
一、确定射影位置
［例1］点P在△ABC的射影为点O,且PA、PB、PC两两垂直,那么点O是△ABC的
A.内心B.外心
C.重心D.垂心
分析：
过P作PO⊥面ABC于点O,
∵PA⊥PB,PA⊥PC,
∴PA⊥面PBC,BC面PBC.
故PA⊥BC.
∵PA在面ABC内的射影为AO,
∴BC⊥AO,即AO是BC边上的高.
同理BO⊥AC,那么点O是△ABC的垂心.
答案：
D
评述：
问题的解决过程运用了三垂线定理的逆定理.
二、求点到线的距离
［例2］PA垂直于矩形ABCD所在的平面,且AB=3cm,AD=4cm,PA=cm,求点P到BC、CD、BD的距离.
解：
∵四边形ABCD是矩形,BC⊥AB,∴BC⊥PB.
∴PB是点P到BC的距离.
同理PD是点P到CD的距离.
PB=
（cm）,
PD===（cm）.
又作AE⊥BD,连结PE.
∵PA⊥面AC,∴PE⊥BD,AE=（cm）.
∴PE==6（cm）.
三、求解折叠问题
［例3］矩形纸片AA1,B、C、B1、C1分别为A、A1A1′的三等分点,将矩形纸片沿BB1、CC1折成如上图形状,若面对角线AB1⊥BC1,求证：
A1C⊥AB1.
分析：
题的条件是AB1⊥BC1,而结论是证AB1⊥A1C,那么结论得证的关键是找面,通过该面构建符合三垂线定理或其逆定理的条件,完成线线垂直,所找的面为ABB1A1,取AB及A1B1的中点D及D1是解题的关键.
证法一：
取AB及A1B1的中点D及D1,
连结C1D1、BD1、A1D,
由题意知△ABC及△A1B1C1为等边三角形,C1D1⊥A1B1,CD⊥AB,面ABB1A1⊥面A1B1C1,
∴C1D1⊥面ABB1A1,CD⊥面ABB1A1.
∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥BD1.
而A1D∥BD1,∴A1D⊥AB1.
那么AB⊥面A1DC,A1C面A1DC.
∴AB1⊥A1C.
证法二：
分别作AD∥BC,BD∥AC交于点D,作A1D1∥B1C1,B1D1∥A1C1交于点D1.
连结BD1、DD1.
∵四边形A1D1B1C1为菱形,∴A1B1⊥D1C1.
又AA1⊥面A1D1B1C1,∴AA1⊥D1C1.
而D1C1⊥面ABB1A1,即D1C1⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥面BC1D1.
∴AB1⊥B
升级会员 