必修二第一章柱锥台及三视图.doc
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高中数学必修二
第一章立体几何初步
一、知识结构
空间几何体
简单的空间几何体
基本元素（点、线、面）关系
多面体（棱柱、棱锥、棱台）
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
直线与直线
直线与平面
平面与平面
结构特征，图形表示，侧面积，体积
平行、垂直、夹角、距离
三视图，直观图，展开图
判定、性质
综合应用
二、重点难点
重点：
空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点：
柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
1.1棱柱、棱锥、棱台1
知识网络
学习要求
1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法
4．了解多面体的概念和分类．
1.多面体：
多面体是由若干个所围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做
多面体的；相邻的两个面的公共边叫做多面体的；棱和棱的公共点叫做多面体的；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的；
2。
凸多面体：
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面，
则这样的多面体就叫做凸多面体。
3。
截面：
一个几何体和相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做这个几何体的截面。
4。
棱柱：
从运动的观点看：
棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着移动的距离所形成的几何体。
5。
棱柱的主要特征性质：
（1）有两个互相的面。
（2）夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相。
棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的______,其余各面叫____________,两侧面的
公共边叫___________;棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______。
棱柱用表示_______________________字母来表示。
6。
棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数可以分为：
棱柱、棱柱、棱柱……
（2）按侧棱和底面是否垂直分为：
棱柱和棱柱。
侧棱和底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱和底面的棱柱叫做直棱柱。
7。
正棱柱：
底面是的棱柱叫做正棱柱。
常用的正棱柱有正三棱柱和正四棱柱。
8。
平行六面体：
底面是的棱柱叫做平行六面体。
侧棱和底面的平行六面体叫做直平行六面体。
底面是形的平行六面体叫做长方体；的长方体叫做正方体。
归纳总结
1．棱柱的定义：
棱柱的特点：
2．棱锥的定义：
棱锥的特点：
3．棱台的定义：
棱台的特点：
4．多面体的定义：
5．多面体的分类：
⑴棱柱的分类
⑵棱锥的分类
⑶棱台的分类
例题1一个救援机器人要沿着一个长方体形建筑物的表面，从点A出发到C,已知在长方体中，AA=3,AD=4,AB=5,求最短路线长。
例2。
一个长方体的长度、宽度、高度（简称三度）分别为，体对角线长为
（1）求证：
（2）若，对角线长=8，求长方体的表面积。
例3。
底面是菱形的直平行六面体的高为12cm，两条体对角线长的长分别为15cm和20cm，
求底面边长
课堂练习一：
1.四棱柱的底面和侧面共有_____面，四棱柱有________条侧棱；
2.下列说法正确的是（）
A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行；
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面；
C.棱柱中一条侧棱的长叫侧棱的高；
D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形；
3．下列语句正确的是（）
A.四棱柱是平行六面体；B.直平行六面体是长方体；
B.六个面都是矩形的六面体是长方体；D.底面是矩形的四棱柱是长方体；
4．一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60cm，每个侧棱长为____________;
5．M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合之间的关系是（）
A.B.
C.D.
6．如果把棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫棱柱的“对角面”，则平行六面体的对角面的形状是_______,直平行六面体的对角面的形状是___________;
7.长方体的一条对角线，则AD=__________;
课堂练习二：
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）
A底面是正方形，有两个侧面是矩形；B底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
C底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直；
D底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形。
2．给出下列语句：
甲.底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
乙.底面是矩形的平行六面体是长方体；
丙.直四棱柱是直平行六面体；
其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3
3．如图是一个无盖正方形盒子的表面展开图，A.B.C为其上三点，则在正方形盒子中,（）
A．45B.C.D.
4。
长方体的全面积是11，所有棱长度之和是24，则这个长方体
的一条对角线长是（）
A.B.C.5D.6
5。
下面四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（）
ABCD
6.一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F，下图是此立方体的两种不同的放置，则与D面相对的面上的字母是_______;
7.若两个长方体的长宽高分别是5cm，4cm，3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为____________;
8．若长方体的对角线为，有公共顶点的三条棱长之和为14，求长方体的表面积。
9．（选做）如图已知长方体中，是一条对角线，若和、DC、DA所成的角分别为
求证：
10．（选做）一个正三棱锥的底面边长为4，高为6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点做截面，求这个截面的面积。
课后作业
1.如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。
这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？
D1
C1
A1
B1
D
C
B
A
2.右图中的几何体是不是棱台？
为什么？
3．多面体至少有几个面？
这个多面体是怎样的几何体。
1.2棱柱、棱锥、棱台2
一、复习：
（1）棱柱的性质有哪些？
如何区分斜棱柱、直棱柱、正棱柱？
（2）什么是平行六面体？
什么是直平行六面体？
正方体、长方体、直平行六面体、
平行六面体之间有何关系？
（3）.斜四棱柱的侧面最多可有多少个面是矩形（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、新知讲解
1。
棱锥的特征性质：
棱锥有一个面是，其余各面都是的三角形。
棱锥中有公共顶点的个三角形叫做；个侧面的公共点叫做；
相邻两侧面的公共边叫做；多边形叫做；顶点到底面的距离叫做。
棱锥用的字母来表示。
2。
棱锥的分类：
按底面多边形的边数可以分为：
棱锥、棱锥、棱锥……
3。
正棱锥：
当棱锥的底面是多边形，且它的顶点在过且与底面的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：
（1）正棱锥各侧面是的等腰三角形
（2）顶点在底面上的射影是底面正多边形的。
侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的高。
思考：
（1）正棱锥的高、斜高、底面多边形内切圆的半径构成三角形。
（2）正棱锥的高、侧棱、底面多边形外接圆的半径构成三角形。
（3）棱锥平行与底面的截面与底面是多边形。
4。
棱台：
（1）棱台：
棱锥被____________的平面所截，的部分叫棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的；其它各面叫做棱台的；相邻两侧面的公共边叫做
棱台的；两底面间的距离叫做棱台的。
（2）正棱台：
由________截得的棱台叫做正棱台。
（3）正棱台的性质：
（ⅰ）正棱台各侧面是的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做正棱台的高
（ⅱ）正棱台的高、斜高、上、下底面多边形内切圆的半径构成梯形。
（ⅲ）正棱台的高、侧棱、上、下底面多边形外接圆的半径构成梯形。
棱台用表示的字母来表示。
例题1：
一个正三棱锥，底面边长为4，高为3，求它的斜高和侧棱长。
例2。
已知正六棱台ABCDEF—的上下底面边长分别为2、8，侧棱长等于9，求这个棱台的高和斜高。
例3（选做）侧棱长为的正三棱锥V—ABC中，，过A作截面AEF，求截面三角形AEF的周长的最小值。
课堂练习
1。
判断题：
①.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；（）
②.四面体的四个面可以都是钝角三角形；（）
③.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥；（）
2。
四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是2cm和6cm，两底面之间的距离为2cm，则四棱台的侧棱长为（）
A.3cmB.cmC.cmD.cm
3．在三棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．棱长为1的正三棱锥的表面积是（）
A.B.2C.3D.
5．已知棱台的上、下底面积之比为1：
2，棱台的高为6cm，则截得此棱台的棱锥的高是（）
A.cmB.cmC.12+cmD.12cm
6．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）
A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥
7。
已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的面积为T，则T/S等于（）
A.1/9B.4/9C.1/4D.1/3
8。
若三棱锥的三个侧面及底面都是边长为a的正三角形，则这个三棱锥的高是________;
9。
若正三棱台的上、下底面边长及高分别是1、2、2，则它的斜高是_________;
10。
已知正三棱锥的底面边长为a，则过各侧棱中点的截面（中截面）面积为____________;
11。
正四面体的棱长为a,E、F分别为两个面的重心，Ｍ、Ｎ为其两条相对棱的中点，则
ＥＦ的长为 ，ＭＮ的长为 。
1２。
已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积。
1.3圆柱、圆锥、圆台、球
知识结构
新知讲解
1．圆柱，圆锥，圆台：
圆柱，圆锥，圆台可以分别看作以________，__________，_________________为旋转轴,将,____,____分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体。
2.旋转轴叫做所围几何体的,在轴上的这条边叫做这个几何体的,垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做几何体的;不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的;无论旋转到什么位置,这条边都叫做。
3.圆柱,圆锥,圆台的轴截面分别是,,______。
4。
用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台，则截面都是。
5.圆柱,圆锥,圆台的侧面展开图分别是,,.
归纳总结
1．圆柱的定义：
母线 底面
轴
2．圆锥的定义：
3．圆台的定义：
4．球的定义：
5．旋转面的定义：
６．旋转体的定义：
７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。
例题讲解
例1：
给出下列命题：
甲：
圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线
乙：
圆台的任意两条母线必相交
丙：
球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线。
其中正确的命题的有 （）
A．0B.1C.2D.3
例2：
如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
。
A
B
C
D
例3：
指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？
。
甲乙
例4圆锥的底面半径为，母线长是半径的3倍，在底面圆周上有一点，求一个动点自 出发在侧面绕一周到点的最短路程。
例5已知圆锥的底面半径为，高为，正方体内接于圆锥，求这个正方体的棱长。
课堂训练
1.指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？
2.如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？
DC
AB
3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？
课后作业：
１。
判断正误.
（1）.用平行圆锥底面的平面截圆锥,截得的部分是圆台（）.
（2）.以直角梯形的一腰为母线,另一腰为旋转轴的旋转面是圆台的侧面（）.
２。
下面命题正确的是:
Ａ。
以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥。
Ｂ。
以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台。
Ｃ。
圆柱,圆锥,圆台的底面都是圆。
Ｄ。
圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在的圆的半径等于圆锥底面的半径。
３。
上、下底面积分别36和49，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（）。
A4BCD
４。
一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为（）。
A10B20C40D15
５。
一个圆锥的母线长为20，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为（）。
ABCD
６。
下列说法不正确的是（）。
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形。
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形。
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥。
D.圆台平行于底面的截面是圆面。
７。
轴截面是等边三角形的圆锥，它的侧面展开图的圆心角等于 。
８。
圆台的上、下两底面半径分别是和，母线长是，则它的轴截面的面积是____________
９。
一个圆台的母线长为,两底面面积分别为和，
求（１）圆台的高。
（２）截得此圆台的圆锥的母线长。
１０。
一个圆锥的底面半径为，高，在其中有一个高为的内接圆柱。
（１）用x表示圆柱的轴截面面积。
（２）当x为何值时，Ｓ最大？
三视图和直观图
【学习目标】
（1）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；
（2）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
【重难点】
（1）三视图是高考的热点和重点,几乎年年考,要引起我们的重视；
【学习过程】
一、知识梳理
1．柱、锥、台、球的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面，每相邻两个面的交线都．
棱锥
有一个面是，而其余各面都是有一个的三角形．
棱台
棱锥被平行于的平面所截，和之间的部分叫做棱台.
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
圆锥
圆台
球
2.空间几何体的三视图
个物体的三视图的排列规则是：
俯视图放在的下面，长度与一样，左视图放在的右面，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样，即“、、”或说“、、”，注意虚、实线的区别．
3.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；
（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。
平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。
4.平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。
注：
空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：
（1）观察角度：
三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；
（2）投影效果：
三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。
【热点典例】
热点一：
空间几何体的结构特征
例1、给出下列命题：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤若有过两个相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑥存在每个面都是直角三角形的四面体；⑦存在每个侧面都是直角三角形的四棱锥.其中正确命题的序号是.
【总结】几种常见的多面体的结构特征
（1）直棱柱：
侧棱垂直于底面的棱柱．特
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