轴对称全章复习与测试.docx

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轴对称全章复习与测试

第10章轴对称全章复习与测试

一、解题规律方法技巧

1．利用等腰三角形的性质求角的度数

【例1】已知：

如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求：

∠BAC的度数．

分析本题是已知边，求角的问题，所以应选择“等边对等角”将边相等转化为角相等．

解析∵AP=AQ=PQ，

∴∠APQ=∠PAQ=∠AQP=60°．

∵∠AP=BP，AQ=QC，

∴∠ABP=∠BAP，∠QAC=∠ACQ．

又∠ABP+∠BAP=∠APQ，∠ACQ+∠QAC=∠AQP．

∴∠BAP=30°，∠QAC=30°．

∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=120°．

方法点拨分析几何问题的方法：

首先，通过已知条件联想学过的知识．其次，根据结论考虑需要的条件．在分析过程中，这两点交替进行，题目与图形结合使用，一般题目均可得以解决．

2．利用等腰三角形的轴对称证明角（线段）相等

【例2】如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，则∠ABE与∠ACE的大小关系是什么？

试说明理由．

分析等腰△ABC中，AD为BC边上的中线，即AD为它的高，所以AD所在的直线为它的对称轴．△ABE与△ACE关于直线AD对称，则∠ABE=∠ACE．

解析∵AB=AC，且AD为底BC的中线，

∴AD⊥BC，即AD所在的直线为△ABC的对称轴．

又∵E为AD上一点，

∴△ABE与△ACE关于AD所在的直线对称．

∴∠ABE=∠ACE．

方法点拨此题体现了轴对称的思想，在证明线段或角相等时，应注意联想轴对称的知识，有意识的用对称的知识解决这类问题．

3．运用轴对称性设计图案

【例3】金星村拟建造农民文化公园，将12个场馆排成6行，每行4个场馆，村委会将如图1的设计公布后，引起了一群初中生的好奇，他们纷纷设计也不少精美对称的图来，请你也设计一张符合条件的新图．

（1）

（2）

分析本题是一道图案设计题，设计时既要将12个场馆排成6行，且每行有4个场馆，又要设计出精美的对称图形，应灵活运用轴对称的性质设计．

解析本题答案不唯一，下列答案供参考，如图2．

方法点拨本题不仅考查学生的想像能力，同时还考查学生图案设计能力，本题称得上一道融知识、技能、技巧综合素质的创新试题．

4．观察、猜想、探求规律

【例4】如图①所示在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF．若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？

写出你的猜想并加以证明．

分析本题是一道阅读理解题，又是一道探索性试题，在图②中，作PE、CF后，显然有PD>CF．由图①的结论，可以猜想出PD、PE、CF之间的关系应为PD=PE+CF，欲证明这一结论，可以利用面积法，即S△ABP=S△ABC+S△ACP，可得到所猜想的结论．

解析如图②当P在BC延长线上时，猜想PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．

证明如图②所示，连接AP，则有面积关系

S△PAB=S△APC+S△CAB，

即

AB·PD=

AB·CF+

AC·PE．

∵AB=AC，∴PD=CF+PE．

方法点拨本题通过阅读题中提供的信息，获得探索解决问题的方法．考查了学生探索创新能力，另外本题采用等积法来解决问题，这种方法使问题化难为易，这在几何中是常用到的方法，在学习中应注意体会运用．若本题中的点P在CB的延长线上，你能猜想出PD、PE和CE之间有何关系吗？

又如何证明呢？

【例5】

（1）（2005·江西省）如图1，一轴对称图形画出它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半．

（1）

（2）

（2）（2005·吉林省课改区）下列图形中不是轴对称图形的是（）

分析

（1）找出关键的三个点，作它们的对称点．

（2）A、B、C、D中的图案都是组合图案，等边三角形有三条对称轴，经观察易知B、C、D各有一条对称轴，A中图案没有对称轴．

解析

（1）如图2所示．

（2）A

【例6】（2005．浙江金华）如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2，下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（）

（1）

（2）

A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°

C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC

分析A点不一定是BC的中点，否则一定有AB=AC，但已知条件中并不具有AB=AC，故选A．而DB=DA，EA=EC，知∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，故B、C一定成立．由三角形中位线定理知D一定成立．

第10章轴对称全章测试

（时间：

120分钟满分：

120分）

一、填空题（每小题4分，共40分）

1．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，关于AB对称的Rt△ABC′，则△ACC′是______三角形．

3．线段AB和线段A′B′相交于点P，若直线L均垂直平分AA′、BB′的连线，则直线L经过________．

4．图所示的图形中是轴对称图形的有______．（填序号）

5．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周长为40cm，AD=15cm，则△ABC的周长=_________．

6．等腰三角形的两条边分别为4和6，则其周长为_______．

7．等腰三角形有一个角为40°，则另外两个角分别为_______．

8．如图1，若△ACD周长为50cm，DE为AB的中垂线，则AC+BC=______．

（1）

（2）（3）

9．如图2，AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°，则∠CDE=_______．

10．如图3，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，那么图中所有的等腰三角形是_________．

二、选择题（每小题4分，共40分）

11．下列说法错误的是（）

A．平面上任意两点一定轴对称;

B．对称轴是轴对称图形中两对称点连线的中垂线;

C．成轴对称的两个图形一定能互相重合;

D．轴对称图形是指沿着任一条直线折叠，直线两旁的部分均能互相重合的图形

12．若某一个三角形有且只有一条对称轴，那么它是（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．非等边三角形的等腰三角形D．锐角三角形

13．下列命题中，正确的是（）

A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;

B．线段是轴对称图形，它只有一条对称轴;

C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;

D．圆的对称轴有无数条，是它的直径

14．已知等腰三角形的周长为40cm，以一腰为边作等边三角形，其周长为45cm，则等腰三角形的底边长为（）

A．5cmB．10cmC．15cmD．20cm

15．一个等腰三角形的一边长是6，一个外角是120°，则它的周长为（）

A．12B．15C．16D．18

16．如图4，△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A为（）

A．30°B．36°C．45°D．54°

（4）（5）（6）

17．如图5，△ABC中，AB=AC=BD，那么∠1与∠2之间的关系满足（）

A．∠1=2∠2B．2∠1+∠2=180°

C．∠1+3∠2=180°D．3∠1-∠2=180°

18．如图6，AC⊥BC，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥BC，则图中共有等腰三角形（）

A．1个B．2个C．5个D．4个

19．羊年活“羊”，羊字象征着美好和吉祥，下列图案都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

20．如图①，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得到图②，再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线剪去一个角，再打开后的形状为图中的（）

三、作图题（本题6分）

21．尺规作图：

把图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案．（不用写作法，保留作图痕迹）

四、解答题（共34分）

22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD、CF分别是BC，AB边上的高，且交于点P，∠ABC的平分线BE交AD、CF于点M、N，找出图中所有的等腰三角形，并简述理由．

23．（12分）如图，∠A=90°，E是BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．

24．（12分）如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AB=AC=BC，ED=EB，试证明：

CE=CD．

答案:

1．6（点拨：

仔细观察可知，本题图形分别由阿拉伯数字1和反1，2和反2等组成，以此类推横线处应填6和反6组成的轴对称图形）

2．等边（点拨：

由轴对称的性质AC′=AC，且∠C′AB=∠CAB=30°，所以∠CAC′=∠C′AB+∠CAB=60°，故△ACC′为等边三角形）

3．点P（点拨：

由题意线段AB和A′B′关于直线L对称，因P为AB为A′B′的交点，故P点必在L上）

4．①②⑤⑥（点拨：

联想轴对称图形的概念并展开想像）

5．50cm（点拨：

因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=DC，所以△ABC的周长=AB+BD+DC+AC=2（AB+BD），又AB+BD+AD=40，所以AB+BD=40-AD=40-15=25，所以△ABC的周长=2×25=50）

6．14或16（点拨：

按腰和底两种情况讨论）

7．40°、100°或70°、70°（点拨：

40°角分别按顶角和底角两种情况分类求解）

8．50cm（点拨：

因为DE为AB的中垂线，所以DB=DA；又因为DA+DC+AC=50，所以DB+DC+AC=50，即BC+AC=50）

9．20°（点拨：

因为AB=AC，所以∠B=∠C，同理∠ADE=∠AED，不妨设∠B=∠C=x，∠ADE=∠AED=y，则

把②代入①得，x+∠CDE=∠CDE=40°+x，所以∠CDE=20°）

10．△ABC，△AEF，△BOC，△BOE，△COF．

11．D（点拨：

根据轴对称图形的定义识别）

12．C（点拨：

根据等腰三角形的性质）

13．C

14．B（点拨：

设底边长为xcm，则腰长为

（40-x），于是3×

（40-x）=45，解得x=10）

15．D（点拨：

因一个外角为120°，故该等腰三角形有一个内角为60°，所以三角形为正三角形，所以周长=3×6=18）

16．C　（点拨：

设∠ABD=x，因为BE=DE，所以∠EDB=x，所以∠AED=2x，又因为AD=DE，所以∠A=∠AED=2x，所以∠BDC=∠A+∠ABD=2x+x=3x，因为BD=BC，所以∠C=∠BDC=3x，而AB=AC，所以∠ABC=∠C=3x，因∠A+∠B+∠C=180°，所以2x+3x+3x=180°，所以2x=45°，即∠A=45°）

17．D（点拨：

设∠B=x，因为AB=BD，所以∠1=

（180°-x）=90°-

x①，又AB=AC，所以△DEB、△DEC、△DCA、△DBC、△ACB均为等腰三角形）

19．B（点拨：

联想轴对称图形的定义并想像）

20．C（点拨：

联想轴对称图形的概念，并加以想像或动手操作）

21．作法如图：

22．等腰三角形为△PMN、△ADC、△NBC、△AMB、△ABE．

23．设∠C=x，因为B、C关于DE对称，

所以DB=DC，所以∠DBC=∠C=x，

因为A、E关于BD对称，所以∠ABD=∠DBC=x，

所以∠ABC=∠ABD+∠DBC=x+x=2x，

在Rt△ABC中，由∠ABC+∠C=90°，

所以2x+x=90°，所以x=30°．

故∠C=30°，∠ABC=60°．

24．因为AB=AC=BC，所以△ABC为正三角形，

所以∠ABC=∠ACB=60°，

又因为∠1=∠2，

所以∠2=

∠ABC=

×60°=30°，

又因为ED=EB，

所以∠D=∠2=30°，

因为∠ACB是△ECD的外角，

所以∠ACB=∠CED+∠D，

所以∠CED=60°-30°=30°，

所以∠CED=∠D，

所以CE=CD．