高中物理 第十一章 机械振动 第3节 简谐运动的回复力和能量学案 新人教版选修34doc.docx

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第3节简谐运动的回复力和能量

简谐运动的回复力

[探新知·基础练]

1．简谐运动

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力

使振动物体回到平衡位置的力。

3．方向

总是指向平衡位置。

4．表达式

F＝－kx。

即回复力与物体的位移大小成正比，“－”表明回复力与位移方向始终相反，k是一个常数，由简谐运动系统决定。

[辨是非]（对的划“√”，错的划“×”）

1．简谐运动是匀变速运动。

（×）

2．简谐运动回复力总是指向平衡位置。

（√）

3．简谐运动的回复力可以是恒力。

（×）

[释疑难·对点练]

对回复力的理解

（1）回复力是指将振动物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。

（2）回复力可以由某一个力提供（如弹力、摩擦力等），也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，总之，回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。

（3）简谐运动的回复力：

①表达式F＝－kx；

②由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，其中k为比例系数，由振动系统自身决定；

③由表达式可以看出，回复力的方向与位移的方向始终相反，即回复力的方向总是指向平衡位置；

④据牛顿第二定律，a＝

＝－

x，表示弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

[特别提醒]　

（1）回复力F＝－kx和加速度a＝－

x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用来证明某个振动是否为简谐运动。

（2）对于在水平方向振动的弹簧振子来说，弹簧的弹力即为回复力，F＝－kx中的k为弹簧的劲度系数。

对于其他的弹簧振子，F＝－kx中的k不一定是弹簧的劲度系数。

[试身手]

1．能正确表示简谐运动的回复力与位移关系的图象是选项图中的（　　）

解析：

选C　由回复力和位移的关系式F＝－kx易知C选项正确。

简谐运动的能量

[探新知·基础练]

1．如果摩擦等阻力造成的损耗可以忽略，在弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即机械能守恒。

2．简谐运动是一种理想化的模型。

3．简谐运动的机械能由振幅决定

对同一振动系统来说，振幅越大，振动的能量越大。

如果没有能量损耗，振幅保持不变，它将永不停息地振动下去，因此简谐运动又称等幅振动。

[辨是非]（对的划“√”，错的划“×”）

1．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。

（√）

2．振幅等于振子运动轨迹的长度。

（×）

3．弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。

（√）

[释疑难·对点练]

1．简谐运动中各物理量的变化规律

如图所示，振子以O为平衡位置在AB之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：

运动过程

变化规律

物理量

A→O

O→B

B→O

O→A

位移

大小

减小

增大

减小

增大

方向

O→A

O→B

O→B

O→A

回复力加速度

大小

减小

增大

减小

增大

方向

A→O

B→O

B→O

A→O

速度

大小

增大

减小

增大

减小

方向

A→O

O→B

B→O

O→A

动能

增大

减小

增大

减小

势能

减小

增大

减小

增大

2．振动系统的状态与能量的关系

振动系统的能量一般指振动系统的机械能。

振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

（1）在最大位移处，势能最大，动能为零。

（2）在平衡位置处，动能最大，势能最小。

（3）在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，因此简谐运动是一种理想化的模型。

[试身手]

2．（多选）关于振幅，以下说法中正确的是（　　）

A．物体振动的振幅越大，振动越强烈

B．一个确定的振动系统，振幅越大，振动系统的能量越大

C．振幅越大，物体振动的位移越大

D．振幅越大，物体振动的加速度越大

解析：

选AB　物体的振动强烈程度表现为振幅的大小。

对一个确定的振动装置来讲，振幅越大，振动越强烈，振动能量也就越大故A、B项对；在物体振动过程中，振幅是最大位移的大小，而偏离平衡位置的位移是不断变化的，故C项错；物体的加速度也是不断变化的，故D项错。

对回复力的理解

[典例1]　如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．kx

C.

kxD.

kx

[思路点拨]　A、B相对静止，一起在弹簧作用下做简谐运动，当位移是x时，其回复力为kx，但kx并不是物体A的回复力，也不是物体B的回复力，是系统的。

物体A随B一起做简谐运动的回复力就是B对A的摩擦力，可知，静摩擦力也可以提供回复力。

物体A的加速度就是物体B的加速度，也是整体的加速度。

[解析]选D　当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力（即弹簧弹力）的大小为kx，以整体为研究对象，此时m与M具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝（m＋M）a，得a＝

。

以A为研究对象，使m产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝

kx。

故D正确。

分析物体做简谐运动的回复力时，要明确回复力是效果力，等于物体在振动方向上所受的合力。

简谐运动过程中各量的变化

[典例2]　（多选）如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图象，可以判定（　　）

A．从t1到t2时间内系统的动能不断增大，势能不断减小

B．从t2到t3时间内振幅不断增大

C．t3时刻振子处于平衡位置处，动能最大

D．t1、t4时刻振子的动能、速度都相同

[思路点拨]　解答本题时应注意以下三个方面：

（1）简谐运动的振幅不变。

（2）根据位移x的变化确定动能、势能的变化。

（3）振子经过同一位置的速度大小和方向的特点。

[解析]选AC　t1到t2时间内，x减小，弹力做正功，系统的动能不断增大，势能不断减小，A正确；振幅不随时间而改变，B错误；t3时刻振子位移为零，速度最大，动能最大，C正确；t1和t4时刻振子位移相同，即位于同一位置，其速度等大反向，但动能相同，D错误。

（1）要明确简谐运动的动能和势能的变化规律，就必须明确物体的实际振动情况。

结合路径草图或振动图象，确定物体所处的位置、状态及变化过程中的速度、位移的变化规律。

（2）做简谐运动的物体，在同一位置位移相同，回复力、加速度、动能、势能、速率也都相同，但速度方向可能相同也可能相反。

关于平衡位置对称的两点，动能、势能相同，加速度、回复力大小相等、方向相反；速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

[课堂对点巩固]

1．（多选）关于振子在振动过程中各量的情况，以下说法中正确的是（　　）

A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小

B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小

C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小

D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变

解析：

选ABD　振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，势能最大，所以B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，即动能与势能之和保持不变，D正确；在平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能最小，所以A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以C错误。

2．（多选）做简谐运动的弹簧振子除平衡位置外，在其他所有位置时，关于它的加速度方向，下列说法正确的是（　　）

A．总是与速度方向相反

B．总是与速度方向相同

C．总是指向平衡位置

D．总是与位移方向相反

解析：

选CD　回复力是指使物体回到平衡位置的力，对简谐运动而言，其大小必与位移大小成正比，其方向与位移方向相反；回复力是合力，故加速度的方向与回复力的方向相同，总是指向平衡位置，总是与位移的方向相反，故C、D正确。

3．（多选）关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，以下说法正确的是（　　）

A．k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度

B．k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移

C．对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的性质决定

D．因为k＝

，所以k与F成正比

解析：

选BC　k是回复力与位移的比例常数，对弹簧振子系统，k是弹簧的劲度系数，由弹簧的性质决定，x是弹簧形变的长度，也是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移，故B、C正确。

4．（多选）一质点做简谐运动的振动图象如图所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是（　　）

A．0～0.3s

B．0.3～0.6s

C．0.6～0.9s

D．0.9～1.2s

解析：

选BD　质点做简谐运动时加速度的方向与回复力的方向一致，回复力方向与位移方向相反，总是指向平衡位置，位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反。

易知B、D正确。

[课堂小结]

[课时跟踪检测三]

一、单项选择题

1．对简谐运动的回复力公式F＝－kx的理解，正确的是（　　）

A．k只表示弹簧的劲度系数

B．式中的负号表示回复力总是负值

C．位移x是相对平衡位置的位移

D．回复力只随位移变化，不随时间变化

解析：

选C　k是回复力跟位移的比例常数，由简谐运动的系统决定，A错误；位移x是相对平衡位置的位移，C正确；F＝－kx中的负号表示回复力总是与振动物体的位移方向相反，B错误；回复力随时间推移做周期性变化，D错误。

2．弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　）

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

解析：

选D　回复力与位移成正比，在振子向着平衡位置运动的过程中回复力减小，故A错误；振子的位移是指由平衡位置指向振动振子所在位置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，故B错误；振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大，故C错误；由牛顿第二定律a＝

可知，振子加速度逐渐减小，故D正确。

3．沿水平方向振动的弹簧振子如图所示，振子的受力情况是（　　）

A．重力、支持力和弹簧的弹力

B．重力、支持力、弹簧弹力和回复力

C．重力、支持力和回复力

D．重力、支持力、摩擦力和回复力

解析：

选A　回复力是按力的作用效果命名的，不是性质力，在对振子进行受力分析时是对性质力进行分析，因此不能添加上回复力，故选项B、C、D错误，A正确。

4．弹簧振子的质量是2kg，当它运动到平衡位置左侧2cm时，受到的回复力是4N，当它运动到平衡位置右侧4cm时，它的加速度是（　　）

A．2m/s2，向右B．2m/s2，向左

C．4m/s2，向右D．4m/s2，向左

解析：

选D　由F＝－kx知，在平衡位置左侧2cm处，回复力为4N，则在平衡位置右侧4cm处，回复力F＝－8N，负号表示方向向左，a＝

＝－4m/s2，负号表示方向向左，D项正确。

5．如图所示，图甲为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为该弹簧振子的振动图象，由图可知下列说法中正确的是（　　）

A．在t＝0.2s时，弹簧振子可能运动到B位置

B．在t＝0.1s与t＝0.3s两个时刻，弹簧振子的速度相同

C．从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子的动能持续增加

D．在t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，弹簧振子的加速度相同

解析：

选A　t＝0.2s时，振子的位移为正的最大，但由于没有规定正方向，所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点，A正确；t＝0.1s时速度为正，t＝0.3s时速度为负，两者方向相反，B错误；从t＝0到t＝0.2s的时间内，弹簧振子远离平衡位置，速度减小，动能减小，C错误；t＝0.2s与t＝0.6s两个时刻，位移大小相等，方向相反，故加速度大小相等，方向相反，D错误。

6．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为（　　）

A．2TB．TC.

D.

解析：

选C　简谐运动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，由简谐运动关于平衡位置的对称性可知C正确。

二、多项选择题

7．关于简谐运动，以下说法中正确的是（　　）

A．回复力总指向平衡位置

B．加速度、速度方向永远一致

C．在平衡位置加速度、速度均达到最大值

D．在平衡位置速度达到最大值，而加速度为零

解析：

选AD　回复力是使物体回到平衡位置的力，选项A正确；加速度方向始终指向平衡位置，速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，选项B错误；平衡位置位移为零，据a＝－

知此处加速度为零，势能最小，动能最大，速度最大，选项C错误，D正确。

8．某质点做简谐运动的图象如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．t1、t2时刻的速度相同

B．从t1到t2这段时间内，速度与加速度同向

C．从t2到t3这段时间内，速度变大，加速度变小

D．t1和t3时刻的加速度相同

解析：

选CD　t1时刻振子速度最大，t2时刻振子的速度为零，故A错误；从t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度背离平衡位置，而加速度指向平衡位置，所以二者方向相反，故B错误；从t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而加速度在减小，故C正确；t1和t3时刻振子在平衡位置，故加速度均为零，选项D正确。

9．（2016·浙江瑞安测试）一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象如图所示，已知弹簧的劲度系数为20N/cm,则（　　）

A．图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为5N，方向指向x轴的负方向

B．图中A点对应的时刻振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子做了1.75次全振动

D．在0～4s内振子通过的路程为3.5cm

解析：

选AB　由简谐运动的特点和弹簧弹力与伸长量的关系可知，题图中A点对应的时刻振子所受的回复力大小为F＝|kx|＝20×0.25N＝5N，方向指向x轴的负方向，振子正在远离O点向x轴的正方向运动，A、B正确；由题图可读出周期为2s,4s内振子做两次全振动，通过的路程是s＝2×4A＝2×4×0.5cm＝4cm，C、D错误。

10．当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（　　）

A．振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等

B．振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功

C．振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供

D．振子在运动过程中，系统的机械能守恒

解析：

选CD　振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回复力由弹簧振子所受合力提供，且运动过程中机械能守恒，故C、D对。

三、非选择题

11.

如图所示，在竖直悬挂的劲度系数为k的轻弹簧下端挂一个质量为m的小球，用一个竖直向下的力将小球竖直拉向下方，当小球静止时拉力的大小为F，若撤去拉力，小球便在竖直面内做简谐运动，求：

（1）小球在最低点受到弹簧对它的弹力的大小；

（2）小球经过平衡位置时弹簧的伸长量；

（3）小球在振动过程中通过最高点时的加速度的大小和方向。

解析：

（1）由于撤去F前小球静止，

故弹簧的弹力FT＝F＋mg。

（2）小球在平衡位置时弹力等于重力，

故弹簧的伸长量为Δx＝

。

（3）小球振动过程中在最高点和最低点的加速度大小相等，方向相反，而在最低点，其合外力为F，

故在最高点时，加速度a＝

，加速度方向竖直向下。

答案：

（1）F＋mg　

（2）

　（3）

　竖直向下