复合函数专题解析.doc

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数学备课组必修Ⅰ第二章：

函数

复合函数专题解析

一、求解析式

1.代入法

例1、，求

2.换元法

例2、，求解析式

3.待定系数法

例3、已知一次函数满足，求解析式

例4、二次函数满足，且的两实根平方和为10，图像过点，求解析式

4.配凑法

例5、，求解析式

5.消元法（构造方程组法，赋值法）

例6、2，求解析式

6.利用函数的性质求解析式

例7、已知函数是定义在区间上的偶函数，且时，求解析式

例8、已知函数是定义在R上的周期函数，周期，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值，最小值为-5：

（1）证明：

（2）试求，的解析式

（3）试求在上的解析式

二、定义域、值域

1、复合函数求定义域：

例9、

（1）

（2）

例10、已知函数的定义域为，求函数的定义域。

例11、已知函数的定义域为，求函数的定义域。

例12、已知函数的定义域为，求函数的定义域。

2、复合函数求值域：

例13、

（1）

（2）

（3）（4）

三、复合函数的性质

1、复合函数在区间上的单调性：

增减性相同时,为增函数,

增减性相反时,为减函数.

求复合函数单调区间的步骤是：

（1）求函数的定义域；

（2）用换元法把复合函数分解成常见函数；

（3）求各常见函数的单调区间；

（4）把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；

（5）按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间．

例14、求的单调性

例15、求函数的最小值

2、复合函数的奇偶性

若函数的定义域都是关于原点对称的,那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是：

函数

奇偶性

奇函数

奇函数

偶函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

偶函数

偶函数

即当且仅当和都是奇函数时,复合函数是奇函数。

注：

与函数奇偶性的加减乘除不一样，不要混淆。

习题

1、若函数定义域为，则函数的定义域为

2、已知函数定义域为R，则实数的取值范围是

3、已知，则=

4、已知，则=

5、设是定义在R上的函数，且满足，当时，，求时的解析式

6、的定义域为R,则求的取值范围

7、若函数时的最小值为，求函数当[-3,-2]时的最值。

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