证明2教案.docx

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证明2教案

1.1你能证明它们吗

（1）

教学目标：

知识目标：

了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

技能目标：

能够证明等腰三角形的有关性质定理，能用等腰三角形的性质解决实际问题。

情感目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

培养学生的探索精神和合作意识，养成数学逻辑思维习惯。

教学重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

能够证明等腰三角形的有关性质定理，能用等腰三角形的性质解决实际问题。

教学方法：

观察法、讨论法、练习法。

教学过程：

一．复习：

回忆《证明

（一）》一章中所学公理，引出新知识。

本套教材选用如下命题作为公理:

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

二．新课讲解：

由公理5、3、4、6很容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

证明过程：

先让学生写成“已知……，求证……”的形式后再证明。

如图，已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求证：

△ABC≌△DEF

注意：

这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

三．议一议：

（1）什么是等腰三角形？

（2）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

（3）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

注意：

等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

这一定理可以简单叙述为：

等边对等角。

证明过程：

先让学生写成“已知……，求证……”的形式后再证明。

如图，已知在ABC中，AB＝AC。

求证：

∠B＝∠C

四．想一想：

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

注意：

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。

这一结合通常简述为“三线合一”。

五．巩固练习：

做教科书第4页随堂练习的第1，2题。

六．典型例题：

例1.如图，已知AB=AC，BD=CD，求证：

AC

BD.

例2.如图，在

中，

AD平分∠BAC,且AD=BD，求证：

.

六．课堂小结：

通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

探体会了反证法的含义。

七．作业布置：

习题1.1

《天府数学》相应练习

八．教学反思:

1.1你能证明它们吗

（2）

教学目标：

知识目标：

掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，掌握证明的基本步骤和书写格式，结合实例体会反证法的含义。

技能目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够证明等腰三角形的判定定理。

情感目标：

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

培养学生的探索精神和合作意识，养成数学逻辑思维习惯。

教学重点：

等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学难点：

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

教学方法：

观察法、讨论法、练习法。

教学过程：

一．等腰三角形性质的探索

1．回忆导入

让学生回忆上节课的教学内容，引导学生思考从等腰三角形中能找到哪些相等的线段。

导入例题

例1.证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

先让学生写成“已知……，求证……”的形式后再证明。

如图，已知△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB，求证:

BD=CE.

先让学生独立思考，再交流讨论，最后教师规范书写格式。

在上图中，若∠ABD=

∠ABC,∠ACE=

∠ACB,BD是否与CE相等。

引导学生探究、猜测当k为其他整数时，BD与CE的关系。

2.思考讨论：

引导学生探究，对于上述例题，当BD、CE变成两腰中线时，BD和CE的关系，当BD和CE变成两腰上的高时，BD和CE的关系。

通过对例题的引申，经历探究—猜测—证明的学习过程，培养学生的发散思维。

等腰三角形两腰上的高相等

等腰三角形两腰上的中线相等

二．等腰三角形的判定定理

1.提出问题

引导学生从“等角对等边”这个命题的反面思考问题，即思考它的逆命题是否成立。

适时地引导学生思考可以用哪些方法证明?

培养学生的推理能力。

归纳学生提出的各种证法，清楚地分析证明的思路，培养学生演绎证明的初步的推理能力。

如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证AB=AC,

只要能构造两个全等三角形，使AB、AC成为对应边就可以了。

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。

2.启发思考：

在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，这个结论是否成立?

如果成立，能否证明。

这实际上是“等边对等角”的逆否命题，通过这样的表述可以提高学生的思维能力。

总结这一证明方法，叙述并阐释反证法的含义，让学生了解。

三．典型例题

例1.用反证法证明：

中至少有两个角是锐角。

例2.如图，已知点C是线段AB上的点，△ACD、△BCE都是等边三角形，CD与AE交于点M，CE与BD相交与点N，求证：

（1）AE=BD;

（2）CM=CN.

例3.两个全等的含

、

的直角三角板ADE和ABC如图所示放置，点E、A、C在同一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC。

试判断△EMC的形状，并说明理由。

四．知识小结

小结这两个课时的内容。

五．作业布置

习题1.2

《天府数学》相应练习

六．教学反思

1.1你能证明它们吗（3）

教学目标

知识目标

了解等边三角形的判别方法和直角三角形的有关性质，掌握证明的基本步骤和书写格式。

技能目标

能够证明等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质定理。

情感目标

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，培养学生的探索精神和合作意识，并从中找到成功感，并从中找到学习数学的乐趣。

教学重点

等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。

教学难点

能够证明等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理，并能用此定理解决实际问题。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一．定理：

一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

1．引导学生回忆上节课的内容，让学生思考：

等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?

让学生对普遍联系和相互转化有一个感性的认识。

2．肯定学生的回答，并让学生进一步思考：

有一个角是60°的等腰三家形是等边三角形吗?

组织学生交流自己的想法。

渗透分类讨论的思维方法。

3．关注学生得出证明思路的过程，讲评。

讲解定理：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二．一种特殊直角三角形的性质

1．让学生拼摆事先准备好的三角尺，提问：

能拼成一个怎样的三角形?

能否拼出一个等边三角形?

并说明理由。

2．肯定学生的发现和解释，在此基础上进一步深入提问：

在直角三角形中，30°所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?

给予理论证明。

3．演示规范的证明步骤，同时引导学生意识到：

通过实际操作探索出的结论还需要证明。

4．让学生准备一张正方形纸片，，按要求动手折叠。

巩固练习：

课本第12页随堂练习

三．典型例题

例1.如图，等腰△ABC中，AB=AC=5，

求△ABC的面积。

（若AB=3，AC=2，

求△ABC的面积。

）

例2.如图，点O是线段AD的中点，分别以AO、DO为边在AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC、BD交于点E,连接BC，求∠AEB的大小。

（若△OAB位置和大小保持不变，△OCD大小不变，绕点O转动一定的角度，但不与△OAB重合，求∠AEB的大小。

）

例3.如图，

ABCD中，AE、AF是高，∠BAE=30°,BE=2,CF=1,DE交AF于G，

（1）求

ABCD的面积；

（2）求△ECD的面积；（3）求证：

△AEG为等边三角形。

四．课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

了解了什么证明方法？

提出注意的问题

五．作业布置：

习题1.3

《天府数学》相应练习

六．教学反思

1.2直角三角形

（1）

教学目标

知识目标

要求学生掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

技能目标

了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。

情感目标

进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

教学重点

直角三角形的性质和判定定理

教学难点

勾股定理逆定理的证明方法。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一．勾股定理

启发学生回忆以前用数方格和割补图形的方法得到的关于直角三角形三边关系的结论。

引导学生证明勾股定理的正确性。

讲解勾股定理，讲述有关的数学史，让学生对勾股定理的发现有所了解。

二．勾股定理的逆定理

1．提出问题：

你如何证明你找的就是直角三角形呢?

2．引导学生思考勾股定理的反面：

在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是不是直角三角形?

留足够的时间让学生回忆和思考，借此机会向学生说明命题的正确性一定要通过严格的逻辑证明来说明，不能凭直观猜测，在做题的过程中要注意监控自己的思路，做到步步有据，说理充分，培养学生的理性精神。

如图，已知△ABC中，

求证△ABC为直角三角形。

对这个比较有挑战性的问题，首先让“呼之欲出”的学生说说他们的思路；并让学生试着给出比较详细的说明。

表扬学生的积极发言，保护学生的积极性，并对他们的回答予以剖析，引导学生继续思考。

点评学生的证明，并作为和学生平等的一分子给出证明，不把自己的证明作为难一的权威和正确的答案，让学生可以继续寻找其他的证法。

3.思考：

比较勾股定理和勾股定理逆定理的表述方式有什么不同，让学生分析它们各自的条件和结论分别是什么，蕴含的因果关系分别是什么。

三．互逆命题、互逆定理

由刚刚讲过的勾股定理及其逆定理，引出互逆命题、互逆定理的含义，并进行分析，再让学生分析教材上的三组命题，加深学生对这一方面的认识。

结合分析向学生说明：

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

让学生体会命题变换的辩证关系。

四．典型例题

例1.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E是BC上的点，BC=4EC。

求证：

△AEF为直角三角形。

例2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上任意一点，求证：

BD2+CD2=2AD2

五．知识小结

小结所学定理，提醒学生书写规范。

六．作业布置

习题1.4

《天府数学》相应练习

七．教学反思

1.2直角三角形

（2）

教学目标

知识目标

掌握直角三角形全等的判定定理，

技能目标

能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

情感目标

进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。

教学重点

直角三角形HL全等判定定理。

教学难点

直角三角形HL全等判定定理。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一．直角三角形HL全等判定定理

回忆证明三角形全等的四个判定定理，用类比的方法引出“HL”定理。

分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理：

斜边和一条直角边对应相等的直角三角形全等，可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示。

二．做一做

让学生动手按照课本上的步骤作图，在此时训练学生熟练使用作图工具能力。

让学生首先观察所作出的射线是否是己知角的平分线，是的话，思考如何证明。

让学生把自己的证明过程到黑板上讲给同学听，注意纠正他的不规范表达和不严谨的地方，给全体学生做示范，加强推理能力的训练。

三．议一议

让学生分组讨论开放题，尽可能从多个角度、多个侧面展开讨论。

通过和同学交流想法，各小组获得各种不同的答案。

在这个思考和交流的过程中，要给予学生必要的提示和指导，为学生提供自主探索的时间和空间，培养学生的创造性思维和发散思维。

充分肯定学生的发现，让学生有一种成就感。

选取其中比较一般和比较新颖的有代表的证明方法进行讲评。

其他课下写出证明。

四．典型例题

例1.如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,AD为△ABC的角平分线，BE⊥AD,交AD的延长线于E，求证：

AD=2BE.

例2.如图，在

中，BD⊥AC，CE⊥AB，O是BD与CE的交点，BD=CE，求证：

BO=CO.

问题一:

如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G，试问：

你能确定∠AED和∠AGF的大小关系吗？

五．知识小结：

1、本节课学习了哪些知识？

2、还有那一些方面的收获？

六．作业布置：

习题1.5

《天府数学》相应练

七．教学反思

1.3、线段的垂直平分线

（1）

教学目标

知识目标

要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。

技能目标

能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

情感目标

通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力

教学重点

线段垂直平分线性质定理及其逆定理。

教学难点

线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一．线段垂直平分线性质定理

1．先让让学生用折纸的方法回忆性质，再引导学生证明。

给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。

学生可以讨论交流不同的方法。

提示学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。

2．针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。

让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：

命题中说线段垂直平分线上的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。

借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。

二．线段垂直平分线逆定理

1．引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生写出此定理的逆定理。

2．总结和完善学生的发言，运用转化归结的思想，让学生先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果…那么…”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理。

3．让学生类比原命题画出图形、写出已知和求证并证明逆定理，解释几何意义。

三．作线段的垂直平分线

1．一边讲解如何作图、一边示范，让学生同时在练习本上完成同样的工作。

2．说明：

类似于证明题要写出已知求证和证明，作图题要根据条件写出已知，求作和作法，让学生自己试着写出来。

3．在黑板上写出规范的已知求作和作法，给学生一个示范，以便使学生的语言简练、表达清楚。

让学生同桌俩人互相检查批改，在此过程中提高对已知求作和作法的认识，加深理解。

4．组织学生讨论：

为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线?

与同学交流。

四．典型例题

例1.在

中，

AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：

CM=2BM.

例2.如图，已知

中，AB=AC=40，DE垂直平分AB，且DE=15，求

的面积。

五．知识小结：

小结所学知识，总结长天辅助线的方法。

六．作业布置：

习题1.6

《天府数学》相应练习

七．教学反思

1.3线段的垂直平分线

（2）

教学目标

知识目标

要求学生进一步掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理。

技能目标

能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。

知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。

情感目标

通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力，培养学生的动手操作能力。

教学重点

作已知线段的垂直平分线。

教学难点

理解三线共点的证明方法。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一、线段垂直平分线的性质定理

1．教师示范，让学生折出三角形每条边的垂直平分线。

观察：

刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系?

让学生自己经历探究的过程，不要直接给出答案或很有指向性的提示。

2．让学生利用所学知识作出三角形三条边的垂直平分线。

要注意提醒个别学生作图的方法和步骤，强调作图的要求，培养学生的作图技能。

观察他们自己作出来的三条垂直平分线有什么性质，然后对照纸折的三条垂直平分线，看这个性质是不是它们共有的?

3．让已经得出猜想的学生说出他们的猜想，并说明他们是怎么得到这个猜想的。

肯定学生的发现；板书规范的表达；提问：

对于这个猜想，你能用学过的知识采证明它吗?

进一步渗透理性思考的意识，强调：

只有经过证明的猜想才能确定其是否正确。

启发学生思考：

大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，是不是只要证明第三条直线也通过这两条直线的交点即可?

也就是说，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。

4．巡视之后，让基本可以证明的学生口述其证明思路，其他同学看他的证明是否正确、严谨。

参照学生的思路，带学生把证明的思路再整理一遍，同时阐释三线共点的证明方法。

，加深学生的认识，为以后的学习和使用打下基础。

定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

二、作图的问题

1．已知底边和底边上的高，作三角形。

让学生分组讨论：

已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?

如果能，能作几个?

所作出的三角形都全等吗?

让学生在讨论的过程中，思考并发表自己的见解，让学生体验合作学习，培养学生用数学思考和表达的能力。

分组时考虑到学生的搭配。

以此调动学生地积极性，体现学生的主体地位，向学生渗透追求数学结果正确、简洁、和谐的美的意识。

赞赏地肯定所有同学的表现，表扬大家公认的作得好的组，让大家向他们学习，同时抓住其他小组的优点予以鼓励，保护他们对数学学习的热情。

综合学生的讨论结果，给出问题的解答。

2.已知底边及底边上的高，作等腰三角形。

引导学生思考、讨论另外几个问题：

已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用直尺和圆规作出等腰三角形吗?

能作几个?

它们之间有什么关系?

让学生动手画出符合要求的三角形，训练他们的作图技能，要注意提醒学生正确使用直尺和圆规，规范作图。

要求学生自己写出作法，同时能说明理由。

三．典型例题

例1.如图，若AE平分

DE垂直平分AB,求

※例2．如图，Rt△ABC中，

∠A的平分线AD与斜边BC的垂直平分线DM交于点D，求证：

MA＝MD。

四．知识小结

小结知识，总结作图方法，理解作图依据。

五．作业布置

习题1.7

《天府数学》相应练习

六．教学反思

1.4、角平分线

（1）

教学目标

知识目标

要求学生掌握角平分线的性质定理及其判定定理。

会用这两个定理解决一些简单问题。

技能目标

能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。

情感目标

培养学生的动手操作能力。

教学重点

角平分线性质定理及其逆定理。

教学难点

掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一、角平分线性质定理

1．折纸复习角平分线的性质定理。

让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。

可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。

2．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，让学生思考该如何证明。

给学生留出思考的时间和空间，不要代替学生思考，要给他们机会。

让学生画出图形（示意图）、写出已知和求证，然后证明。

提醒学生写已知、证明要规范，证明要严谨，要做到说理有据。

定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

二、角平分线判定定理

1．引导学生类比线段垂直平分线的知识：

它的判定定理和性质定理有什么关系?

在这里，角平分线的性质定理和要证明的命题是不是也有这个关系?

让学生类比线段垂直平分线性质定理的逆定理的构造方法，写出角平分线性质定理的逆定理，写完之后，让同桌俩人互相检查。

2．证明定理的正确性。

类比线段垂直平分线的性质定理和逆定理，不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。

知道对于角平分线，也有类似的结论。

定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三、用尺规作角的平分线

1．引导学生用角平分线的性质定理和逆定理，用直尺和圆规来画出已知角的平分线，这样有助于理解已经学习的知识。

让学生自己写出已知和求作，教师在黑板上演示过程，一边作图，一边口述作法。

让学生根据老师的口述、演示和自己的实际操作，并写出作法。

锻炼学生的数学表达能力。

让学生思考：

这样作角平分线的理由是什么?

为什么作出的射线就是角的平分线?

让学生对这个作法有一个很好的理解，而不只是机械的模仿。

要知其然，还要知其所以然。

三．典型例题

例1.．如图，在

中，AD是

的平分线，DE

AB于E，DF

AC于F，求证：

AD

EF.

例2如图，已知AD是△ABC的角平分线，AB＜AC,求证：

BD＜CD.

例3.如图、已知AD是△ABC的角平分线，P是AD上任意一点，AC＞AB,

求证：

PC－PB＜AC－AB

四．知识小结

总结角平分线的性质及常添辅助线的方法。

五．作业布置：

习题1.8

《天府数学》相应练习

六．教学反思

1.4角平分线

（2）

教学目标

要求学生掌握三角形三条角平分线的性质定理，会用这个定理解决一些简单问题。

教学重点

三角形三条角平分线的性质定理

教学难点

掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明。

教学方法

观察法、讨论法、练习法。

教学过程

一、三角形的三条角平分线性质定理

1．对比线段垂直平分线的研究方法来学习。

先让学生折出三个角的角平分线，然后观察三条角平分线有什么性质。

再让学生画出三条角平分线，观察这三条角平分线，观察有什么性质。

要注意提醒学生和三角形三条线段垂直平分线的性质类比思考。

2．让学生说出他们的猜想，并说出理由，体会类比的好处。

确认大部分学生已经找到证明的思路后，让两位学生到黑板上写出它们完整的证明过程，包括写出已知，求证和证明。

培养学生的数学语言表达能力和思维的批判性。

定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

二．典型例题

例1.如图，已知△ABC中，∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：

AE+CD=AC.

例2.如图，已知∠D