证明3教案.docx

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证明3教案

3.1平行四边形

（1）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步熟悉平行四边形的性质定理。

技能目标

能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，进一步发展推理论证的能力。

情感目标

体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。

教学重点

掌握平行四边形的性质定理。

教学难点

探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一.回忆旧知导入新课

问题提出：

1.平行四边形有哪些性质？

2.平行四边形有哪些判定条件？

3.如何运用公理和已有的定理证明它们？

定理：

平行四边形的对边平行且相等。

学生证明。

拓展：

由上面的证明过程，你还能得到什么结论？

定理：

平行四边形对角相等。

定理：

平行四边形对角线互相平分。

二、典型例题

例1证明：

等腰梯形在同一底上的两个角相等。

如有图，让学生先将命题写成“已知……，求证……”的形式，再解答。

拓展：

这个命题的逆命题成立吗？

如果成立，请你证明它。

学生证明。

定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

例2

.如图，平行四边形ABCD的周长为36，DF⊥AB于E，DF⊥BC于F，且DE=4，DF=5，求平行四边形ABCD的面积。

例3.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？

为什么？

三、随堂练习

课本随堂练习1、2

学生独立练习。

四、课堂总结

平行四边形的主要性质有：

对边相等、对角相等，对边平行，对角线互相平分。

五、布置作业

课本习题3.11、2

3.1平行四边形

（2）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步熟悉平行四边形的判别方法。

技能目标

能证明平行四边形的判定定理。

进一步发展推理论证的能力。

情感目标

感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点

掌握证明平行四边形的方法。

教学难点

运用综合法证明问题的思路。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一、回顾交流

提问：

1.请观察右图的平行四边形，说一说它有哪些性质？

2.你能写出

（1）中的逆命题吗？

3.如何证明判别一个四边形是平行四边形的方法？

与同伴交流。

二、小组合作、推理论证

根据学生写出的逆命题，让学生思考并证明。

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

学生先独立思考并证明，再与同桌交流，上讲台演示。

判定定理

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

做一做

证明：

如图中的四边形ABCD是平行四边形。

学生先独立证明，再与同桌交流，上讲台演示。

三．典型例题

例1.如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。

（1）、求征：

四边形AECG是平行四边形。

（2）、若AB=4㎝，BC=3㎝，求线段EF的长。

四、随堂练习

课本随堂练习1、2、3

学生独立练习。

五、课堂总结

涉及到平行四边形判定的问题，应注意灵活选择不同的判定方法。

从边看：

有三种判定方法：

两组对边分别相等；两组对边分别平行；一组对边平行且相等。

从角看：

两组对角分别相等。

从对角线看：

对角线互相平分。

六、布置作业

课本习题3.21、2

3.1平行四边形（3）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步熟悉有关定理。

技能目标

能证明有关定理的结论，进一步发展推理论证的能力。

情感目标

理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法。

教学重点

掌握和运用三角形中位线定理。

教学难点

三角形中位线定理的证明。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一、创设情境

实验：

请同学们思考：

将任意一个三角形分成四个全等的三角形。

你是如何切割的？

活动：

将学生分成四人小组，将准备好的三角形模型进行拼摆。

并互相交流。

定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

想一想

三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

能证明你的猜想吗？

学生根据提示证明猜想。

定理三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。

拓展：

利用这一定理，你能证明出分割出来的四个小三角形全等吗？

学生口述理由。

二、合作交流、拓展延伸

做一做

如图，任意作一个四边形，并将其四边的

中点依次连接起来，得到一个新的四边形，

这个新的四边形的形状有什么特征？

请证

明你的结论，并与同伴交流。

学生书写证明过程。

三．典型例题

例1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。

求证：

MD⊥MC。

例2．如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

问题．E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝

，问：

ABCD为什么四边形？

请说明理由。

四、随堂练习

课本随堂练习1

学生独立练习。

五、课堂总结

学生自己小结

六、布置作业

课本习题3.31、2、3、4

3.2特殊平行四边形

（1）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步熟悉矩形的性质定理和判定定理。

技能目标

能证明矩形性质定理和判定定理，进一步发展推理论证的能力。

情感目标

体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

教学重点

掌握矩形的性质和判定以及证明方法。

教学难点

运用综合法证明矩形性质和判定。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一、回顾交流

1.你了解哪些特殊的平行四边形？

2.这些特殊的平行四边形与平行四边形有哪些关系？

3.能用一张图来表示它们之间的关系吗？

学生回忆，回答。

平行四边形与矩形、菱形、正方形的关系。

二、小组活动

提问：

矩形有哪些性质？

学生回忆，回答。

定理矩形的四个角都是直角。

定理矩形的对角线相等。

学生先独立证明上述两个定理，再进行交流。

议一议

如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，

那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

为什么？

学生分四人小组进行合作交流，相互补充。

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、典型例题

例1，如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

拓展：

例1还可以怎么证？

与同伴交流。

例2、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。

请回答下列问题（不要求证明）：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

例3、如图，P是矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，求PB的长.

四、随堂练习

课本随堂练习1、2

五、课堂总结

矩形具有平行四边形的所有性质，还具有自己独有的性质：

四个角都是直角，对角线相等。

六、布置作业

课本习题3.41、2、3

3.2特殊平行四边形

（2）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

技能目标

能运用综合法证明菱形的性质定理和判定定理。

情感目标

体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

教学重点

掌握菱形的性质和判定以及证明方法。

教学难点

运用综合法证明菱形性质和判定。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一、回顾交流

提问：

菱形有哪些性质？

你能证明吗？

学生回顾交流，分析证明。

定理菱形的四条边都相等。

定理菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

二、典型例题

例1，如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求

1.对角线AC的长度。

2.菱形ABCD的面积。

想一想

怎样判别一个平行四边形是菱形？

请证明你的结论。

学生小组合作探索，上讲台演示自己的思维。

定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

学生先独立证明，再合作交流，上台演示。

例2、如图，正方形ABCD中，E是FC上的一点，四边形BEFD是菱形，求∠F的度数。

例3、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：

AE＝AF．

三、随堂练习

课本随堂练习1、2

四、课堂总结

菱形具有平行四边形的所有性质，菱形的四边相等；对角线互相垂直；并且每条对角线平分一组对角。

判定一个四边形是菱形的方法有4种。

五、布置作业

课本习题3.51、2、3

3.2特殊平行四边形（3）

教学目标

知识目标

经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。

技能目标

能运用综合法证明正方形的性质定理和判定定理以及其他相关结论。

情感目标

体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法。

教学重点

掌握正方形的性质和判定以及证明方法。

教学难点

运用综合法证明。

教学方法

讲练结合法

教学过程

一、回顾交流

提问：

1.正方形有哪些性质？

2.判定一个四边形是正方形有哪些方法？

学生回忆与交流，知识迁移。

二、小组合作

猜一猜

依次连接任意四边形各边的中点可以得到

一个平行四边形，那么，依次连接正方形各边

的中点能够得到一个怎样的图形呢？

你能证明

所得出的结论吗？

学生分四人小组合作探究。

拓展：

这个问题还有其他不同的证法吗？

三、合作交流

议一议

1.依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？

先猜一猜，再证明。

2.依次连接平行四边形四边中点呢？

3.依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关系？

有怎样的关系？

学生分四人小组先各自进行猜测，再进行交流，最后独立证明，上台演示。

做一做

在图中，ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B，C表示两个大市镇，已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺设两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即∠BXC）是多少度？

学生进行推理，发表自己的观点。

四.典型例题

例1、已知：

如图，正方形ABCD中，M是CD中点，E是CD上一点，且

．求证：

AE＝BC＋CE．

例2、已知：

如图4-73，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，CE、DF交于M．求证：

．

例3、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

求证：

CE＝CF．

四、随堂练习

课本随堂练习1

五、课堂总结

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。

四边形→平行四边形→矩形→正方形

四边形→平行四边形→菱形→正方形