数学物理方法答案第四版.docx
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数学物理方法答案第四版
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【篇二：
《高等数学》第四册（数学物理方法】
txt>1.计算
i）?
i
（1）?
i?
i?
?
2i;
1?
2i2?
i（1?
2i）（3?
4i）（2?
i）i?
5?
10i2i?
12
?
?
?
?
?
?
?
;?
2?
.
3?
4i5i（3?
4i）（3?
4i）?
59?
1655
5551
（3）.?
?
?
i;
（1?
i）（2?
i）（3?
i）（1?
3i）（3?
i）?
10i2（4）.（1?
i）4?
[（1?
i）2]2?
（?
2i）2?
?
4;
?
（a?
bi）?
12
12
124
）]
12
?
?
?
isin?
）]?
（a?
b）（cos
2
?
?
isin）;22
?
3.
设
解：
z1?
z1
z2?
i;试用三角形式表示z1z2及z2。
z1?
cos
?
4
?
isin
?
4
;z2?
1?
?
（cos?
isin）;266
1?
?
?
?
15?
5?
z1z2?
[cos（?
）?
isin（?
）]?
（cos?
isin）;
2464621212z1?
?
?
?
?
?
?
2[cos（?
）?
isin（?
）]?
2（cos?
isin）;z246461212
11.设z1,z2,z3三点适合条件z1?
z2?
z3?
0及z1?
z2?
z3?
1;试证明z1,z2,z3是一个内接于单位圆z=1的正三角形的顶点。
证明：
z1?
z2?
z3?
0;?
z1?
?
z2?
z3;z2?
?
z3?
z1;z3?
?
z1?
z2;
?
z1?
z2?
z2?
z3?
z3?
z1;?
z1,z2,z3所组成的三角形为正三角形。
?
z1?
z2?
z3?
1?
z1,z2,z3为以z为圆心，1为半径的圆上的三点。
即z1,z2,z3是内接于单位圆的正三角形。
.
17.证明：
三角形内角和等于
证明：
有复数的性质得：
。
z?
zz?
zz2?
z1
;?
?
arg32;?
?
arg13;3
?
?
?
?
?
?
?
arg（?
1）?
2k?
;
?
k?
0;?
?
?
?
?
?
?
?
;
?
?
arg
第一章复数和复变函数
（2）
44z?
a?
0?
a?
0?
。
7.试解方程
?
z?
?
?
?
?
1?
a?
0?
44
解:
由题意z?
?
a,所以有?
a?
;
?
?
2k?
i?
z?
zi?
?
e4（k?
0,1,2,3）?
?
?
cos?
?
isin?
?
e
?
a?
;所以a;
4
4
z1?
ae4;z2?
ae
i
?
i
3?
4
;z3?
ae
i
5?
4
;z4?
ae
i
7?
4
.
12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？
它是不是区域？
（1）.z?
z1?
z?
z2（z1?
z2）
解：
此图形表示一条直线，它不是区域。
（2）.z?
z?
4;
8x?
16;x?
2;此图形为x?
2的区域。
（3）.
z?
1?
1;z?
1
2222
z?
?
z?
；（x?
1）?
y?
（x?
1）?
y;?
2x?
2x;x?
0;此图形为x0的区域。
（4）.0?
arg（z?
1）?
?
4
且2?
re（z）?
3;
[0,]
[2,3]4的部分。
解：
此图形表示区间辐角在
?
（5）.z?
1且imz?
0;
解：
z?
1表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。
（6）.y1?
imz?
y2;
解：
它表示虚部大于y1小于等于y2的一个带形区域。
（7）.z?
2且z?
3?
1;
解：
此图形表示两圆的外部。
（8）.z?
i13i1?
且z?
?
;2222
11311x2?
（y?
）2?
x2?
（y?
）2?
22，22，它表示两相切圆半径为2的外部区域。
解：
（9）.imz?
1且z?
2;
解：
此图形表示半径为2的圆的内部，且imz?
1的部分，它是区域。
（10）.z?
2且0?
argz?
?
4）
;
?
?
?
?
?
解：
此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在?
4?
的部分，它是区域。
第二章分析函数
（1）
f?
z?
在区域d上分析，并满足下列的条件，证明f?
z?
必为常数.
f?
?
z?
?
0?
z?
d?
?
u?
v?
u?
v?
?
?
fz?
x。
证明：
因为?
?
在区域上分析，所以?
x?
y?
y
4.若函数
令
f?
z?
?
u?
x,y?
?
iv?
x,y?
，即
f?
?
z?
?
?
u?
v
?
i?
0?
x?
y。
?
u?
v?
u?
v?
?
0?
?
?
0
?
x由复数相等的定义得：
?
x?
y，?
y。
所以，u?
x,y?
?
c1（常数），v?
x,y?
?
c2（常数），即f?
z?
?
c1?
ic2为常数。
5.证明函数在z平面上分析，并求出其导数。
（1）e（xcosy?
ysiny）?
ie（ycosy?
xsiny）.
xx
fz?
ux,y?
ivx,y?
?
?
?
?
?
e（xcosy?
ysiny）?
ie（ycosy?
xsiny）.证明：
设=
xx
ux,y?
e（xcosy?
ysiny）vx,y?
e（ycosy?
xsiny）?
?
?
?
则，
x
x
?
v?
uxx?
excosy?
ysinyex?
xcosyex?
e（xcosy?
ysiny）?
ecosy
?
x；?
y
?
u?
v?
?
ex（xsiny?
siny?
ycosy）?
ex（ycosy?
xsiny?
siny）?
y；?
x
?
u?
v?
u?
v
?
;?
?
?
x。
满足?
x?
y?
y
即函数在z平面上?
x,y?
可微且满足c?
r条件，故函数在z平面上分析。
f?
（z）?
22
8．由已知条件求分析函数f?
z?
?
u?
iv，u?
x?
y?
xy，f（i）?
?
1?
i。
?
u?
v
?
i?
ex（xcosy?
ysiny?
cosy）?
iex（ycosy?
xsiny?
siny）?
x?
x
解：
ux?
2x?
y,uy?
?
2y?
x，uxx?
2,uyy?
?
2。
所以uxx?
uyy?
0即u是平面上调和函数。
由于函数分析，根据c?
r条件得
y2
ux?
vy?
2x?
y，于是，v?
2xy?
2?
?
（x）,其中?
（x）是x的待定函数，再由c—r条件的另一个方程得vx?
2y?
?
（x）=?
uy?
2y?
x，
x2y2x2
?
（x）?
?
?
cv?
2xy?
?
?
c
?
（x）?
?
x222所以，即。
于是
11v?
?
c?
1c?
22又因为f（i）?
?
1?
i，所以当x?
0,y?
1，时u?
1，得y2x21
f?
z?
?
x?
y?
xy?
i（2xy?
?
?
）
222。
所以
2
2
第二章分析函数
（2）
?
x?
y?
x?
y?
?
?
z?
x?
i）y?
u（?
?
u?
iv12.设?
是z的分析函数，证明?
u?
v，?
v。
?
u?
v?
u?
v?
?
?
x,y?
上处处可微，?
x，证明：
?
是z上的分析函数，所以，?
在?
即?
x?
y，?
y
?
u?
v?
y?
v?
u?
x?
x?
y?
?
?
x?
y?
v?
y?
x?
u所以，，所以?
u?
v，?
u?
v?
y?
v?
u?
x?
x?
y?
?
?
?
?
x?
x?
u，所以，?
v?
v同理，?
y?
y?
v
即得所证。
14.若z?
x?
iy，试证：
（1）sinz?
sinxchy?
icosxshy。
证：
sinz?
sin（x?
iy）?
sinxcosiy?
cosxsiniy
eiiy?
e?
i（iy）eiiy?
e?
iiy
sinx?
cosx
22i=ey?
e?
yei（iy）?
e?
y
sinx?
icosx
22=
?
sinxchy?
icosxshy
i?
lnz?
2。
18.解方程
i?
lnz?
lnz?
iargz?
0?
2，解：
?
z?
1,argz?
2，设z?
x?
iy即
?
argx?
iy?
?
?
?
1，2得x?
0,y?
1，即z?
i。
iii2?
i
（1?
i）,3,i,e20.试求及ln（1?
i）。
解：
i?
e
iilni
?
e
i（?
2k?
）i
2
?
?
e
?
?
2k?
2
?
k?
0,?
1,?
2,?
?
?
?
（1?
i）?
e
iiln（1?
i）
?
e
i（?
2k?
）
4
?
?
isine4e2k?
，
k?
0,?
1,?
2,?
?
?
ln（1?
i）?
ln（1?
i）?
i2k?
?
lnik?
0,?
1,?
2,?
?
?
?
4
?
i2k?
?
i（
?
4
?
2k?
）
3i?
eiln3?
ei（ln3?
2k?
）?
cosln3?
isinln3e2?
i?
e2?
ei?
e2（cos1?
isin1）
sinzlim?
1z?
0z22，求证
sinzsin（x?
iy）lim?
limz?
?
x,y?
?
zx?
iy证:
z?
x?
iy（x,y,均为实数），所以
siniyeiy?
e?
iylim?
?
1iy?
?
iyiyz当x?
0则极限趋近于z轴，有
sinxlim?
1x?
?
y?
0x当时，则极限趋于z轴，有，
sinzlim?
1z?
?
z故。
第三章柯西定理柯西积分
（1）
1.计算积分
?
1?
i
（x?
y?
ix2）dz,
积分路径是直线段。
解：
令z=（1+i）dz，dz=（1+i）dt，则：
3
1i?
1t1+i1?
（i?
1）tdt?
（i?
1）?
22
?
（x-y+ix）dz?
it（1?
i）dz0033。
?
0?
0
12
2.计算积分路径是
（1）直线段，
（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
【篇三：
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