具有相同Engel和Sylvester展式的点集合的Hausdorff维数.doc

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具有相同Engel和Sylvester展式的点集合的Hausdorff维数

本文主要介绍了数论中Engel展式、Sylvester展式的定义及其相关度量性质,并着重证明了具有相同Engel和Sylvester展式的集合及其推广集合的Hausdorff维数.第一部分绪论,主要介绍了问题研究的背景意义、研究现状以及本文的结构安排.与数的十进制展式类似,Engel展式和Sylvester展式是数的另外两种无穷级数表示.早在1971年,J.Galambos[1-3],P.Erd?

s[4]等人就对Engel和Sylvester展式做过系统地研究,并给出Engel和Sylvester级数的度量性质及其证明.C.M.Goldie[5],J.Wu[6-8],Y.Y.Liu[9,10],B.W.Wang[11-13]等讨论了与Engel、Sylvester展式有关的例外集的分形性质.一直以来,大量数学家都对具有相同Engel和Sylvester展式的集合E很感兴趣,集合E是有正的Lebesgue测度还是零测集呢?

若集合E的Lebesgue测度为零,那么它的Hausdorff维数又是多少呢?

J.Galambos[14-16]证明了集合E的Lebesgue测度为零,至于它的Hausdorff维数,他认为这还是一个尚待解决的问题.J.Wu[17]研究了此集合,并证明了集合E的Hausdorff维数是1?

2,本文则进一步将集合E进行推广,得到的更一般的集合M,并给出集合M的Hausdorff维数是1?

α的相关证明.第二部分预备知识,介绍了Engel展式和Sylvester展式的定义,与之相关的度量性质、和Hausdorff测度与维数,为第三章证明集合M的Hausdorff维数为1?

α做准备.第三部分则主要证明了具有相同Engel和Sylvester展式的集合的推广集合M的Hausdorff维数是1?

α.分为上界估计和下界估计两个部分.其中,通过构造自然覆盖给出集合M的Hausdorff维数上界为1?

α.巧妙构造集合M的子集G,利用质量分布原理这一有力工具,证明集合G的Hausdorff维数下界为1?

α.从而证明了集合M的Hausdorff维数为1?

α.