MATLAB符号计算.docx
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MATLAB符号计算
第3章MATLAB符号计算
符号计算则是可以对未赋值的符号对象（可以是常数、变量、表达式）进行运算和处理。
MATLAB具有符号数学工具箱（SymbolicMathToolbox），将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。
符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1符号表达式的建立
SymbolicMathToolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
sym（‘常量’）%创建符号常量
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
>>a=sym（'sin
（2）'）
a=
sin
（2）
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
语法：
sym（常量,参数）%把常量按某种格式转换为符号常量
说明：
参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
表3.1参数设置
参数
作用
d
返回最接近的十进制数值（默认位数为32位）
f
返回该符号值最接近的浮点表示
r
返回该符号值最接近的有理数型（为系统默认方式），可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt（p）形式之一
e
返回最接近的带有机器浮点误差的有理值
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym（'sin
（2）'）
a=
sin
（2）
例如，把常量转换为符号常量，按系统默认格式转换：
a=sym（sin
（2））
a=
8190223105242182*2^（-53）
【例3.1】创建数值常量和符号常量。
a1=2*sqrt（5）+pi%创建数值常量
a1=
7.6137
a2=sym（'2*sqrt（5）+pi'）%创建符号表达式
a2=
2*sqrt（5）+pi
a3=sym（2*sqrt（5）+pi）%按最接近的有理数型表示符号常量
a3=
8572296331135796*2^（-50）
a4=sym（2*sqrt（5）+pi,'d'）%按最接近的十进制浮点数表示符号常量
a4=
7.6137286085893727261009189533070
a31=a3-a1%数值常量和符号常量的计算
a31=
0
a5='2*sqrt（5）+pi'%字符串常量
a5=
2*sqrt（5）+pi
可以通过查看工作空间来查看各变量的数据类型和存储空间，工作空间如图3.1所示。
3.1.2创建符号变量和表达式
创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。
1.使用sym命令创建符号变量和表达式
语法：
sym（‘变量’,参数）%把变量定义为符号对象
说明：
参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为’positive’、’real’和’unreal’，’positive’表示为“正、实”符号变量，’real’表示为“实”符号变量，’unreal’表示为“非实”符号变量。
如果不限定则参数可省略。
【例3.2】创建符号变量，用参数设置其特性。
symsxyreal%创建实数符号变量
z=x+i*y;%创建z为复数符号变量
real（z）%复数z的实部是实数x
ans=
x
sym（'x','unreal'）;%清除符号变量的实数特性
real（z）%复数z的实部
ans=
1/2*x+1/2*conj（x）
程序分析：
设置x、y为实数型变量，可以确定z的实部和虚部。
语法：
sym（‘表达式’）%创建符号表达式
【例3.2续】创建符号表达式。
f1=sym（'a*x^2+b*x+c'）
f1=
a*x^2+b*x+c
2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式
语法：
syms（‘arg1’,‘arg2’,…,参数）%把字符变量定义为符号变量
symsarg1arg2…,参数 %把字符变量定义为符号变量的简洁形式
说明：
syms用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。
参数设置和前面的sym命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
【例3.2续】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
symsabcx%创建多个符号变量
f2=a*x^2+b*x+c%创建符号表达式
f2=
a*x^2+b*x+c
syms（'a','b','c','x'）
f3=a*x^2+b*x+c;%创建符号表达式
程序分析：
既创建了符号变量a、b、c、x，又创建了符号表达式，f2、f3和f1符号表达式相同。
3.1.3符号矩阵
用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
A=sym（'[a,b;c,d]'）
A=
[a,b]
[c,d]
例如，使用syms命令创建相同的符号矩阵：
symsabcd
A=[ab;cd]
A=
[a,b]
[c,d]
【例3.3】比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym（'[a,b;c,d]'）%创建符号矩阵
A=
[a,b]
[c,d]
B='[a,b;c,d]'%创建字符串矩阵
B=
[a,b;c,d]
C=[a,b;c,d]%创建数值矩阵
?
?
?
Undefinedfunctionorvariable'a'.
程序分析：
由于数值变量a、b、c、d未事先赋值，MATLAB给出错误信息。
C=sym（B）%转换为符号矩阵
C=
[a,b]
[c,d]
whos
NameSizeBytesClass
A2x2312symobject
B1x918chararray
C2x2312symobject
Grandtotalis25elementsusing642bytes
程序分析：
查看符号矩阵A，可以看到为2×2的符号矩阵，占用较多的字节。
3.2符号表达式的代数运算
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点：
▪传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。
符号运算不需要进行数值运算，不会出现截断误差，因此符号运算是非常准确的。
▪符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。
▪符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。
3.2.1符号表达式的代数运算
符号表达式的运算符和基本函数都与数值计算中的几乎完全相同。
1.符号运算中的运算符
（1）基本运算符
▪运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^”分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、求幂运算。
▪运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。
▪运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、非共轭转置。
（2）关系运算符
▪在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概念。
▪运算符“==”、“~=”分别对运算符两边的符号对象进行“相等”、“不等”的比较。
当为“真”时，比较结果用1表示；当为“假”时，比较结果则用0表示。
2.函数运算
（1）三角函数和双曲函数
三角函数包括sin、cos、tan；双曲函数包括sinh、cosh、tanh；三角反函数除了atan2函数仅能用于数值计算外，其余的asin、acos、atan函数在符号运算中与数值计算的使用方法相同。
（2）指数和对数函数
指数函数sqrt、exp、expm的使用方法与数值计算的完全相同；对数函数在符号计算中只有自然对数log（表示ln），而没有数值计算中的log2和log10。
（3）复数函数
复数的共轭conj、求实部real、求虚部imag和求模abs函数与数值计算中的使用方法相同。
但注意，在符号计算中，MATLAB没有提供求相角的命令。
（4）矩阵代数命令
MATLAB提供的常用矩阵代数命令有diag，triu，tril，inv，det，rank，poly，expm，eig等，它们的用法几乎与数值计算中的情况完全一样。
【例3.4】求矩阵
的行列式值、非共轭转置和特征值。
symsa11a12a21a22
A=[a11a12;a21a22]%创建符号矩阵
A=
[a11,a12]
[a21,a22]
det（A）%计算行列式
ans=
a11*a22-a12*a21
A.'%计算非共轭转置
ans=
[a11,a21]
[a12,a22]
eig（A）%计算特征值
ans=
[1/2*a11+1/2*a22+1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
[1/2*a11+1/2*a22-1/2*（a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21）^（1/2）]
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym（'2*x^2+3*x+4'）
f=
2*x^2+3*x+4
g=sym（'5*x+6'）
g=
5*x+6
f+g%符号表达式相加
ans=
2*x^2+8*x+10
f*g%符号表达式相乘
ans=
（2*x^2+3*x+4）*（5*x+6）
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1.SymbolicMathToolbox中的算术运算方式
在SymbolicMathToolbox中有三种不同的算术运算：
▪数值型：
MATLAB的浮点运算。
▪有理数型：
Maple的精确符号运算。
▪VPA型：
Maple的任意精度运算。
2.任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
digits（n）%设定默认的精度
说明：
n为所期望的有效位数。
digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。
当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。
命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
S=vpa（s,n）%将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：
s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。
vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式
进行任意精度控制的比较。
a=sym（'2*sqrt（5）+pi'）
a=
2*sqrt（5）+pi
digits%显示默认的有效位数
Digits=32
vpa（a）%用默认的位数计算并显示
ans=
7.6137286085893726312809907207421
vpa（a,20）%按指定的精度计算并显示
ans=
7.6137286085893726313
digits（15）%改变默认的有效位数
vpa（a）%按digits指定的精度计算并显示
ans=
7.61372860858937
3.SymbolicMathToolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1=2/3%数值型
a1=
0.6667
a2=sym（2/3）%有理数型
a2=
2/3
a3=vpa（'2/3',32）%VPA型
a3=
.66666666666666666666666666666667
程序分析：
▪三种运算方式中数值型运算的速度最快。
▪有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
▪VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
▪数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。
如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
formatlong
a1
a1=
0.66666666666667
3.2.3符号对象与数值对象的转换
1.将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。
2.将符号对象转换为数值对象
使用double、numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
N=double（S）%将符号变量S转换为数值变量N
N=numeric（S）%将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量
与数值变量进行转换。
clear
a1=sym（'2*sqrt（5）+pi'）
a1=
2*sqrt（5）+pi
b1=double（a1）%转换为数值变量
b1=
7.6137
a2=vpa（sym（'2*sqrt（5）+pi'）,32）
a2=
7.6137286085893726312809907207421
b2=numeric（a2）%转换为数值变量
b2=
7.6137
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval（a1）
b3=
7.6137
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos
NameSizeBytesClass
a11x1148symobject
a21x1190symobject
b11x18doublearray
b21x18doublearray
b31x18doublearray
Grandtotalis50elementsusing362bytes
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1.自由变量的确定原则
，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
▪小写字母i和j不能作为自由变量。
▪符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：
首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
▪大写字母比所有的小写字母都靠后。
2.findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
语法：
findsym（EXPR,n）%确定自由符号变量
说明：
EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
f=
a*x^2+b*x+c
findsym（f）%得出所有的符号变量
ans=
a,b,c,x
g=sym（'sin（z）+cos（v）'）
g=
sin（z）+cos（v）
findsym（g,1）%得出第一个符号变量
ans=
z
程序说明：
符号变量z和v距离x相同，以在x后面的z为自由符号变量。
3.3.2符号表达式的化简
同一个数学函数的符号表达式的可以表示成三种形式，例如以下的f（x）就可以分别表示为：
▪多项式形式的表达方式：
f（x）=x3+6x2+11x-6
▪因式形式的表达方式：
f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）
▪嵌套形式的表达方式：
f（x）=x（x（x-6）+11）-6
【例3.9】三种形式的符号表达式的表示。
f=sym（'x^3-6*x^2+11*x-6'）%多项式形式
f=
x^3-6*x^2+11*x-6
g=sym（'（x-1）*（x-2）*（x-3）'）%因式形式
g=
（x-1）*（x-2）*（x-3）
h=sym（'x*（x*（x-6）+11）-6'）%嵌套形式
h=
x*（x*（x-6）+11）-6
1.pretty函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
pretty（f）
32
x-6x+11x-6
2.collect函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
collect（g）
ans=
x^3-6*x^2+11*x-6
当有多个符号变量，可以指定按某个符号变量来合并同类项。
下面有x、y符号变量的表达式：
f1=sym（'x^3+2*x^2*y+4*x*y+6'）
f1=
x^3+2*x^2*y+4*x*y+6
collect（f1,'y'）%按y来合并同类项
ans=
（2*x^2+4*x）*y+x^3+6
3.expand函数
【例3.9续】给出相应的符号表达式形式。
expand（g）
ans=
x^3-6*x^2+11*x-6
4.horner函数
【例3.9续】给出符号表达式的嵌套形式。
horner（f）
ans=
x*（x*（x-6）+11）-6
5.factor函数
【例3.9续】给出符号表达式的因式形式。
factor（f）
ans=
（x-1）*（x-2）*（x-3）
6.simplify函数
【例3.9续】利用三角函数来简化符号表达式cos2x-sin2x。
y=sym（'cos（x）^2-sin（x）^2'）
y=
cos（x）^2-sin（x）^2
simplify（y）
ans=
2*cos（x）^2-1
7.simple函数
simple函数给出多种简化形式，给出除了pretty、collect、expand、factor、simplify简化形式之外的radsimp、combine、combine（trig）、convert形式，并寻求包含最少数目字符的表达式简化形式。
【例3.9续】利用simple简化符号表达式cos2x-sin2x。
simple（y）
simplify:
2*cos（x）^2-1
radsimp:
cos（x）^2-sin（x）^2
combine（trig）:
cos（2*x）
factor:
（cos（x）-sin（x））*（cos（x）+sin（x））
expand:
cos（x）^2-sin（x）^2
combine:
cos（2*x）
convert（exp）:
（1/2*exp（i*x）+1/2/exp（i*x））^2+1/4*（exp（i*x）-1/exp（i*x））^2
convert（sincos）:
cos（x）^2-sin（x）^2
convert（tan）:
（1-tan（1/2*x）^2）^2/（1+tan（1/2*x）^2）^2-4*tan（1/2*x）^2/（1+tan（1/2*x）^2）^2
collect（x）:
cos（x）^2-sin（x）^2
ans=
cos（2*x）
程序分析：
得出最简化的符号表达式为“cos（2*x）”。
3.3.3符号表达式的替换
1.subexpr函数
语法：
subexpr（s,s1）%用符号变量s1来置换s中的子表达式
subexpr函数对子表达式是自动寻找的，只有比较长的子表达式才被置换，比较短的子表达式，即使重复出现多次，也不被置换。
【例3.10】用subexpr函数使
的特征值表达式简洁。
symsabcdx
s=eig（[ab;cd]）%计算特征值
s=
[1/2*a+1/2*d+1/2*（a^2-2*a*d+d^2+4*b*c）^（1/2）]
[1/2*a+1/2*d-1/2*（a^2-2*a*d+d^2+4*b*c）^（1/2）]
subexpr（s,x）%用x替换子表达式
ans=
[1/2*a+1/2*d+1/2*（a^2-2*a*d+d^2+4*b*c）^（1/2）]
[1/2*a+1/2*d-1/2*（a^2-2*a*d+d^2+4*b*c）^（1/2）]
2.subs函数
subs函数可用来进行对符号表达式中符号变量的替换。
语法：
subs（s）%用给定值替换符号表达式s中的所有变量
subs（s,new）%用new替换符号表达式s中的自由变量
subs（s,old,new）%用new替换符号表达式s中的old变量
【例3.10续】用subs函数对符号表达式（x+y）2+3（x+y）+5进行替换。
f=sym（'（x+y）^2+3*（x+y）+5'）%创建符号表达式
f=
（x+y）^2+3*（x+y）+5
x=5;
f1=subs（f）%用工作空间的给定值替换x
f1=
（5+y）^2+20+3*y
f2=subs（f,'x+y','s'）%用s替换x+y
f2=
（（s））^2+3*（（s））+5
f3=subs（f,'x+y',5）%用常数5替换x+y
f3=
45
f4=subs（f,'x','z'）%用z替换x
f4=
（（z）+y）^2+3*（（z）+y）+5
3.3.4求反函数和复合函数
在MATLAB中finverse函数可以求得符号函数的反函数。
语法：
finverse（f,v）%对指定自变量v的函数f（v）求反函数
说明：
当v省略，则对默认的自由符号变量求反函数。
1.求反函数
【例3
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