Matlab符号运算.docx
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Matlab符号运算
实验五符号计算
一．实验目的
掌握符号运算基本用法，重点掌握使用符号解法求解带代数方程组，以及常微分方程解析解及数值解。
二．实验原理与方法
与一般的数值计算不同，符号计算是对字符串符号进行分析和运算，为了便于理解，大家可以将符号计算看作“由计算机实现的数学公式推导”。
进行符号计算时，MATLAB负责将计算请求提交给其内置的MAPLE组件并返回MAPLE的计算结果。
MATLAB的符号计算历经多次的改进和完善，其功能已经非常强大，尤其是在大规模的简单公式推导、逻辑推导等应用中有重要应用。
Matlab的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。
这些功能主要包括：
符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号函数画图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。
此外，工具箱还支持可变精度运算，既支持符号运算并以指定的精度返回结果。
符号对象的创建
MATLAB符号运算工具箱处理的对象主要是符号常量、符号变量【注：
符号变量即为由字母（除了i与j）与数字构成的、字母打头的字符串】以及符号表达式。
要实现符号运算，首先需要将处理对象定义为符号变量或符号表达式。
命令1：
sym
功能：
定义一个符号常量、符号变量或符号表达式。
格式
（1）：
s=sym（A）%如果输入参数A为一串，则生成的s为一符号常量或者符号变量；如果输入参数A为数值标量或者矩阵（包括符号矩阵），则所得s为所给数值标量或者矩阵的符号表达式；
格式
（2）：
x=sym（'x'）%创建以x命名的符号变量并保存为x
格式（3）：
x=sym（'x','real'）%创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为‘实’符号变量，也即conj（x）等于x。
格式（4）：
x=sym（'x','positive'）%创建以x命名的符号变量,并限定该符号变量为“正、实”符号变量。
格式（5）：
x=sym（'x','unreal'）%创建以x命名的一般的符号变量,并限定该符号变量为“非实”符号变量。
格式（6）：
S=sym（A,flag）%flag可为：
'r','d','e','f'
将数值标量或者矩阵A转换为符号形式，转换浮点数方法由可选参数flag指定，flag可取'f','r','e'or'd'
默认为'r'。
参数
作用
d
返回最接近的十进制数值（默认位数为32位）
f
返回该符号值最接近的浮点表示
r
返回该符号值最接近的有理数型（为系统默认方式），可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt（p）形式之一
e
返回最接近的带有机器浮点误差的有理值
例：
a=[122/3;45pi]
b=sym（[122/3;45pi]）
输出结果为：
a=
1.00002.00000.6667
4.00005.00003.1416
b=[1,2,2/3]
[4,5,pi]
例：
c=sqrt（sym
（2））
输出结果为：
c=2^（1/2）%注意sqrt
（2）得到的是浮点十进制小数
例：
d=sym
（2）/sym（5）
输出结果为：
d=2/5%注意2/5结果是0.4000
例：
e=sym
（2）/sym（5）+sym
（1）/sym（3）
输出结果为：
e=11/15
例：
f=sym（'sin
（2）'）
输出结果为：
f=sin
（2）
例：
g=sym（2*sqrt（5）+pi,'d'）
输出结果为：
7.6137286085893727261009189533070
例：
h=sym（'a*x^2+b*x+c'）
输出结果为：
h=a*x^2+b*x+c
例：
I=sym（'[a,b;c,d]'）
输出结果为：
I=[a,b]
[c,d]
命令2：
syms
功能：
创建多个符号对象
格式：
（1）symsarg1arg2...argN,
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’）
说明：
该用法与下面语句实现相同的功能
arg1=sym（'arg1'）；arg2=sym（'arg2'）;...argN=sym（'argN'）
（2）symsarg1arg2...,argn,real
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，real）
说明：
该用法与下面语句实现相同的功能
arg1=sym（'arg1','real'）;
arg2=sym（'arg2','real'）;...
argN=sym（'argN','real'）
（3）symsarg1arg2...argN,unreal
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，’unreal’）
（4）symsarg1arg2...argN,positive
或者syms（‘arg1’，‘arg2’，...，‘argN’，‘positive’）
例：
symsabxt%定义a,b,x,t均为符号变量
例：
比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
A=sym（'[a,b;c,d]'）；%A为符号矩阵
B='[a,b;c,d]'%B为字符串矩阵
结果为：
A=
[a,b]
[c,d]
B=
[a,b;c,d]
C=sym（B）%转换为符号矩阵
观察三个变量的区别：
NameSizeBytesClass
A2x2312symobject
B1x918chararray
C2x2312symobject
命令3r=findsym（S）
功能：
从一符号表达式中或符号矩阵中找出符号变量
格式：
r=findsym（S）%以字母表的顺序返回表达式S中的所有符号变量,若S中没有任何的符号变量，则findsym返回一空字符串。
r=findsym（S,n）%返回字母表中接近x的n个符号变量
例
symsaxyztalphabeta
S1=findsym（sin（pi*t*alpha+beta））
S2=findsym（x+i*y-j*z+eps-nan）
S3=findsym（a+y,pi）
计算结果为；
S1=alpha,beta,t
S2=NaN,x,y,z
S3=a,y
符号矩阵的算术运算
命令：
+、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能：
符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B：
符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B：
符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。
按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。
或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B：
符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。
A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。
即：
An*m.*Bn*m=（aij）n*m.*（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij*bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。
我们指出的是，A\B近似地等于inv（A）*B。
若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。
若A与B
为同型阵列时，An*m.\Bn*m=（aij）n*m.\（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，
则cij=aij\bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。
我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv（A）。
若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。
矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A./B数组的右除法。
A./B为按对应的分量进行相除。
若A与B为同型阵列时，An*m./Bn*m=（aij）n*m./（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A^B矩阵的方幂。
计算矩阵A的整数B次方幂。
若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。
若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。
A.^B数组的方幂。
A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。
若A与B为同型阵列时，An*m..^Bn*m=（aij）n*m..^（bij）n*m=Cn*m=（cij）n*m，则cij=aij^bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A'矩阵的Hermition转置。
若A为复数矩阵，则A'为复数矩阵的共轭转置。
即，若A=（aij）=（xij+i*yij），则
。
A.'数组转置。
A.'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。
symsabcdefgh;
A=[ab;cd];
B=[ef;gh];
C1=A.*B
C2=A.^B
C3=A*B/A
C4=A.*A-A^2
symsa11a12a21a22b1b2;
A=[a11a12;a21a22];
B=[b1b2];
X=B/A;%求解符号线性方程组X*A=B的解
x1=X
（1）
x2=X
（2）
计算结果为：
C1=
[a*e,b*f]
[c*g,d*h]
C2=
[a^e,b^f]
[c^g,d^h]
C3=
[-（a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g）/（a*d-b*c）,（a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e）/（a*d-b*c）]
[-（-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g）/（a*d-b*c）,（a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g）/（a*d-b*c）]
C4=
[-b*c,b^2-a*b-b*d]
[c^2-a*c-d*c,-b*c]
x1=
（-a22*b1+b2*a21）/（a12*a21-a11*a22）
x2=
-（-a12*b1+a11*b2）/（a12*a21-a11*a22）
符号对象的基本运算
函数1：
collect
功能：
合并同类项
格式：
（1）R=collect（S）%对于多项式S中的每一函数，collect（S）按缺省变量x的次数合并系数。
（2）R=collect（S,v）%对指定的变量v计算，操作同上。
例：
symsxy;
R1=collect（（exp（x）+x）*（x+2））
R2=collect（（x+y）*（x^2+y^2+1）,y）
R3=collect（[（x+1）*（y+1）,x+y]）
计算结果为：
R1=
x^2+（exp（x）+2）*x+2*exp（x）
R2=
y^3+x*y^2+（x^2+1）*y+x*（x^2+1）
R3=
[（y+1）*x+y+1,x+y]
函数2：
colspace
功能：
求列空间的基
格式：
B=colspace（A）%返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。
而size（colspace（A）,2）等于rank（A）。
即由A生成的空间维数等于A的秩。
例：
symsabc
A=sym（[1,a;2,b;3,c]）
B=colspace（A）
计算结果为：
A=
[1,a]
[2,b]
[3,c]
B=
[1,0]
[0,1]
[-（3*b-2*c）/（-b+2*a）,（-c+3*a）/（-b+2*a）]
函数3：
compose
功能：
复合函数计算
格式：
compose（f,g）%返回复合函数f[g（y）]，其中f=f（x），g=g（y）。
其中符号x为函数f中由命令findsym（f）确定的符号变量，符号y为函数g中由命令findsym（g）确定的符号变量。
compose（f,g,z）%返回复合函数f[g（z）]，其中f=f（x），g=g（y），符号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号变量。
compose（f,g,x,z）%返回复合函数f[g（z）]，变量x为函数f中的自变量f=f（x）。
令x=g（z），再将x=g（z）代入函数f中。
compose（f,g,x,y,z）%返回复合函数f[g（z）]。
变量x为函数f中的自变量f=f（x），变量y为函数g中的自变量g=g（y）。
令x=g（y），再将x=g（y）代入函数f=f（x）中，得f[g（y）]，最后用指定的变量z代替变量y，得f[g（z）]。
例：
symsxyztuv;
f=1/（1+x^2*y）;h=x^t;g=sin（y）;p=sqrt（-y/u）;
C1=compose（f,g）%令x=g=sin（y），再替换f中的变量%x=findsym（f）。
C2=compose（f,g,t）%令x=g=sin（t），再替换f中x=findsym（f）。
C3=compose（h,g,x,z）%令x=g=sin（z），再替换h中的变量x。
C4=compose（h,g,t,z）%令t=g=sin（z），再替换h中的变量t。
C5=compose（h,p,x,y,z）%令x=p（y）=sqrt（-y/u），替换h中的
%变量x，再将y换成z。
C6=compose（h,p,t,u,z）%令t=p（u）=sqrt（-y/u），替换h中的变量t，再将u换成z。
计算结果为：
C1=
1/（1+sin（y）^2*y）
C2=
1/（1+sin（t）^2*y）
C3=
sin（z）^t
C4=
x^sin（z）
C5=
（（-z/u）^（1/2））^t
C6=
x^（（-y/z）^（1/2））
函数4：
conj
功能：
符号复数的共轭
格式：
conj（X）%返回符号复数X的共轭复数
例：
X=real（X）+i*imag（X），则conj（X）=real（X）-i*imag（X）
函数5：
real
功能：
符号复数的实数部分
格式：
real（Z）%返回符号复数z的实数部分
函数6：
imag
功能：
符号复数的虚数部分
格式imag（Z）%返回符号复数z的虚数部分
函数7：
digits
功能：
设置变量的精度
格式：
（1）digits（d）%设置当前的可变算术精度的位数为整数d位
（2）d=digits%返回当前的可变算术精度位数给d
（3）digits%显示当前可变算术精度的位数
说明:
设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度（命令为：
vpa）计算的数字位数。
其缺省值为32位数字。
例:
z=1.0e-16%z为一很小的数
x=1.0e+2%x为较大的数
digits（14）
y1=vpa（x*z+1）%大数1“吃掉”小数x*y
digits（15）
y2=vpa（x*z+1）%防止“去掉”小数x*y
计算结果为：
z=
1.0000e-016
x=
100
y1=
1.0000000000000
y2=
1.00000000000001
函数8:
double
功能：
将符号转换为MATLAB的数值形式
格式：
R=double（S）%将符号对象S转换为数值对象R。
若S为符号常数或表达式常数，double返回S的双精度浮点数值表示形式；若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵，double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。
例：
gold_ratio=double（sym（'（sqrt（5）-1）/2'））%计算黄金分割率。
T=sym（hilb（4））
R=double（T）
计算结果为：
gold_ratio=
0.6180
T=
[1,1/2,1/3,1/4]
[1/2,1/3,1/4,1/5]
[1/3,1/4,1/5,1/6]
[1/4,1/5,1/6,1/7]
R=
1.00000.50000.33330.2500
0.50000.33330.25000.2000
0.33330.25000.20000.1667
0.25000.20000.16670.1429
函数9：
expand
功能：
符号表达式的展开
格式：
R=expand（S）%对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。
该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。
例：
symsxyabct
E1=expand（（x-2）*（x-4）*（y-t））
E2=expand（cos（x+y））
E3=expand（exp（（a+b）^3））
E4=expand（log（a*b/sqrt（c）））
E5=expand（[sin（2*t）,cos（2*t）]）
计算结果为：
E1=
x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2=
cos（x）*cos（y）-sin（x）*sin（y）
E3=
exp（a^3）*exp（a^2*b）^3*exp（a*b^2）^3*exp（b^3）
E4=
log（a*b/c^（1/2））
E5=
[2*sin（t）*cos（t）,2*cos（t）^2-1]
函数10：
factor
功能：
符号因式分解
格式：
factor（X）%参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。
若X为一正整数，则factor（X）返回X的质数分解式。
若x为多项式或整数矩阵，则factor（X）分解矩阵的每一元素。
若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。
例：
symsabxy
F1=factor（x^4-y^4）
F2=factor（[a^2-b^2,x^3+y^3]）
F3=factor（sym（'12345678901234567890'））
计算结果为：
F1=
（x-y）*（x+y）*（x^2+y^2）
F2=
[（a-b）*（a+b）,（x+y）*（x^2-x*y+y^2）]
F3=
（2）*（3）^2*（5）*（101）*（3803）*（3607）*（27961）*（3541）
函数11：
numden
功能：
符号表达式的分子与分母
格式[N,D]=numden（A）
说明：
将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分子与分母是相对互素的。
输出的参量N为分子的符号矩阵，输出的参量D为分母的符号矩阵。
例3-11
symsxyabcd;
[n1,d1]=numden（sym（sin（4/5）））
[n2,d2]=numden（x/y+y/x）
A=[a,1/b;1/cd];
[n3,d3]=numden（A）
计算结果为：
n1=
6461369247334093
d1=
9007199254740992
n2=
x^2+y^2
d2=
y*x
n3=
[a,1]
[1,d]
d3=
[1,b]
[c,1]
函数12：
simple
功能：
搜索符号表达式的最简形式
格式：
（1）r=simple（S）%该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。
若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。
若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个。
（2）[r,how]=simple（S）%没有显示中间的化简结果，但返回能找到的最短的一个。
输出参量r为一符号，how为一字符串，用于表示算法。
例：
symsx
R1=simple（cos（x）^4+sin（x）^4）
R2=simple（2*cos（x）^2-sin（x）^2）
R3=simple（cos（x）^2-sin（x）^2）
R4=simple（cos（x）+（-sin（x）^2）^（1/2））
R5=simple（cos（x）+i*sin（x））
R6=simple（（x+1）*x*（x-1））
R7=simple（x^3+3*x^2+3*x+1）
[R8,how]=simple（cos（3*acos（x）））
计算的结果为：
R1=
1/4*cos（4*x）+3/4
R2=
3*cos（x）^2-1
R3=
cos（2*x）
R4=
cos（x）+i*sin（x）
R5=
exp（i*x）
R6=
x^3-x
R7=
（x+1）^3
R8=
4*x^3-3*x
how=
expand
函数13：
simplify
功能：
符号表达式的化简
格式：
R=simplify（S）
说明：
使用Maple软件中的化简规则，将化简符号矩阵S中每一元素。
例：
symsxabc
R1=simplify（sin（x）^4+cos（x）^4）
R2=simplify（exp（c*log（sqrt（a+b））））
S=[（x^2+5*x+6）/（x+2）,sqrt（16）];
R3=simplify（S）
计算结果为：
R1=
2*cos（x）^4+1-2*cos（x）^2
R2=
（a+b）^（1/2*c）
R3=
[x+3,4]
函数14：
size
功能：
符号矩阵的维数
格式：
（1）d=size（A）%若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]。
（2）[m,n]=size（A）%分别返回矩阵A的行数于m，列数于n。
（3）d=size（A,n）%返回由标量n指定的A的方向的维数：
n=1为行方向，n=2为列方向。
例：
syms
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