一元二次方程根的判别式.docx
《一元二次方程根的判别式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程根的判别式.docx（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
（第1课时）
【目标导航】
通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式．在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件．
【预习引领】
解下列一元二次方程.
（1）x2－1=0
（2）x2 －2x=－1
（3）（x+1）2－24=0 （4）x2 +2x+2=0
问题：
（1）为什么会出现无解？
（2）回顾用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的过程.
【要点梳理】
１．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b2－4ac．
2．判别一元二次方程根的情况：
（1）当b2－4ac＞0时，________________;
（2）当b2－4ac＝0时，__________________;
（3）当b2－4ac＜0时，_______________．
例1 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x－4＝0；
（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2+1）－7x＝0．
【课堂操练】
不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x－2=0；
（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p－1）－3＝0；
（4）（x－2）2＋2（x－2）－8＝0；
（5）
例2求证：
关于x的方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
【课堂操练】
1．不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2－ax－1＝0（a≠0）
（2）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
（3）x2+
kx+k2=0
例3关于x的方程2x2－（4k+1）x+2k2－1=0当k取何值时，
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
【课堂操练】
1．若关于x的方程x2+（2k－1）x+k2－
=0
有两个相等的实数根，则k=．
2．一元一次方程中，有实数根的是（）
A．x2＋x＋1=0B．x2－2x＋3=0
C．x2＋x－1=0D．x2＋4=0
3．方程x2－3x＋1=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根
4．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k=0有实数根，则k的取值范围（）
A．k≤1B．k≥1C．k<1D．k>1
5．若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1=0有实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜1B．m＜1且m≠0
C．m≤1D．m≤1且m≠0
6．一元二次方程
有两个相等的实数根，那么
的值为（）
A．－4B．4C．
D．
7.（2011山东威海，9，3分）关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，则m的值是（）
A．
B．
C．
D．
或
8．试判别方程x2＋2mx＋m－1=0的根的情况；
9．关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．
10．当k取何值时，方程4x2－（k＋2）x＋k－1=0有两个相等的实数根？
求出这时方程的根．
【课后盘点】
1．不解方程，判别方程根的情况；
（1）2x2+3x－4=0
（2）16y2+9=24y
（3）5（x2+7）－x=0（4）0.2x2－5=
x
（5）3x2+4x－2=0（6）2y2+5=6y
（7）4p（p－1）－3=0（8）x2+5=2
x
2．一元二次方程x2+2x+4=0根的情况是
A．有一个实数根B．没有实数根（）
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
3．一元二次方程
若
与
异号，则方程（）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况无法判断．
4．若关于x的方程
没有实数根，则实数m的取值范围是（）
A．m-1C．m>lD．m<-1
5．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是A．有两个不相等的正根（）
B．有两个不相等的负根
C．没有实数根
D．有两个相等的实数根
6．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0
C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0
7．函数
图象经过第二、四象限，若
同时满足方程
，则此方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
8．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A．k>－1B．k>1
C．k≠0D．k>－1且k≠0
9．已知方程
有两个相等的实数根，则
．
10已知关于x的一元二次方程x2-（m-1）x+m+2=0．若方程有两个相等的实数根，求m的值是．
11．设关于x的方程
证明：
不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根
12．已知：
a、b、c是△ABC的三边，若方程
有两个等根，试判断△ABC的形状．
13．关于x的方程kx2+（k+1）x+
=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
14．已知：
m、n为整数，关于x的二次方程
x2+（7－m）x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+（4+m）x+n+6=0有两个相等的实数根，
x2－（m－4）x+n+1=0没有实数根，求m、n的值．
【课后拓展】
1．关于x的方程k2x2＋（2k－1）x＋1=0有实数根，则下列结论正确的是（）
A．当k=
时，方程两根互为相反数
B．当k=0时，方程的根是x=－1
C．当k=±1时，方程两根互为倒数
D．当k≤
时，方程有实数
2．求证：
方程
必有实根
3．（2011•厦门）已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
参考答案：
一元二次方程根的判别式
（第1课时）
【预习引领】
答案：
（1）x1=1，x2=-1
（2）x1=x2=1
（3）x1=
，x2=
（4）方程无解。
【要点梳理】
例1
（1）a=2，b=3，c=-4
因为b2－4ac=9-4×2×（-4）>0
所以原方程有两个不相等的实数根。
（2）16y2-24y+9=0
a=16，b=-24，c=9
因为b2－4ac=（-24）2-4×9×16=0
所以原方程有两个相等的实数根。
（3）5x2－7x+5=0．
a=5，b=-7，c=5
因为b2－4ac=72-4×5×5<0
所以原方程霰无实数根。
【课堂操练】
答案：
（1）有两个不相等的实数根
（2）无实数根
（3）有两个不相等的实数根
（4）有两个不相等的实数根
（5）无实数根
例2：
（1）a=1，b=2k+1，c=k-1
因为b2－4ac=（2k+1）2-4（k-1）
=4k2+5>0
所以原方程有两个不相等的实数根。
【课堂操练】
答案：
（1）有两个不相等的实数根
（2）无实数根
（3）有两个实数根
例3：
2x2－（4k+1）x+2k2－1=0
a=2，b=4k+1，c=2k2－1
b2－4ac=（4k+1）2-4×2×（2k2－1）
=8k+16
（1）∵方程有两个不相等的实数根；
∴8k+16>0
∴k>-2
（2）∵方程有两个相等的实数根；
∴8k+16=0
∴k=-2
（3）∵方程没有实数根；
∴8k+16<0
∴k<-2
【课堂操练】
1．
2．C
3．A
4．A
5．D
6．C
7.D
8．b2－4ac=（2m）2-4（m－1）
=4m2-4m2+4
=（2m-1）2+3
∵m无论为何数，（2m-1）2≥0。
∴（2m-1）2+3≥0。
∴b2－4ac≥0
∴原方程有两个实数根
9．b2－4ac=（3m-1）2-4m（2m－1）
=m2-2m+1
∵m2-2m+1=1
∴m1=1，m2=0
∵m≠0
∴m=2。
∴方程为：
2x2－5x＋3=0
∴x1=1，x2=
10．∵有两个相等的实数根
∴b2－4ac=0
∴（k+2）2-4×4（k－1）=0
∴k1=2,k2k1=10
当k=2时，x1=x2=
当k=10时，x1=x2=
【课后盘点】
1．
（1）两个不相等的实数根
（2）两个相等的实数根
（3）无实数根
（4）两个不相等的实数根
（5）两个不相等的实数根
（6）无实数根
（7）两个不相等的实数根
（8）两个相等的实数根
2．B
3．A
4．C
5．C
6．D
7．A
8．D
9．
10．7或—1
11．b2－4ac=（2m）2-4（-2m-4）
=4（m+1）2+12>0
所以：
不论m为何值，这个方程总有两个不相等的实数根
12．∵有两个相等的实数根
∴b2－4ac=0
∴4（b2+c2）-4a×2（b+c-a）=0
∴（b-a）2+（c-a）2=0
∴b=a=c
13．b2－4ac=2k+1
（1）2k+1=0，k=
（2）2k+1>0，k>
14．由题意得：
（7-m）2－4（3+n）>0
（1）
（4+m）2－4（n+6）=0
（2）
（m-4）2－4（n+1）<0（3）
由
（2）得：
4n=（4+m）2－24
代入
（1）（3）中解得：
因为m是整数所以m=2。
所以n=3
【课后拓展】
1．A
2．分类讨论
（1）当m=0时，方程是6x+3=0有实数根。
（2）当m≠0时，b2－4ac=（m+6）2-12m
=m2+36>0,所以方程总有两个不相等的实数根。
结合
（1）
（2）方程总有实数根。
3．
（1）∵于x的方程x2-2x-2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=-2、常数项c=-2n，
∴△=b2-4ac=4+8n＞0，
解得，n＞-12；
（2）由原方程，得
（x-1）2=2n+1，
∴x=1±2n+1；
∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，
∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，
∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，
解得，n=0，n=1.5或n=4．
（设计人：
仲晓梅）
一元二次方程根的判别式
（第2课时）
【目标导航】
1．让学生进一步掌握根的判别式．
2．学生通过观察、分析、讨论、相互交流，培养分析问题、解决问题的能力．
【预习引领】
1．不解方程判别下列一元二次方程根的情况；
（1）
（2）
（3）
（4）
2．关于x的一元二次方程2x2－（2m+1）x+m=0
的根的判别式是9，求m的值及方程的根．，
【要点梳理】
例1已知方程
没有实数根，求证方程
有两个不相等的实数根．
例2已知关于x的方程
（1）方程有两个相等的实数根，求k的值；
（2）方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围;
（3）方程没有实数根，求k的取值范围;
（4）方程有实数根，求k的取值范围．
例3已知关于x的方程
（1）求证：
无论k取何值，方程总有实数根;
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边 b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长．
例4关于x的方程
与
的根都是整数，求整数m的值．
【课堂操练】
1．一元二次方程
有两个相等的实数根，则b=．
2．当m时，关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
3．当a=时，已知关于x的方程
有两个相等的实数根．
4．已知a、b、c分别是三角形ABC的三边长，当m＞0时，关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，求证：
△ABC是直角三角形．
5．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．
（1）求证：
无论k取什么实数值，这个方程总有实根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．
【课后盘点】
1．若方程2x（kx－4）－x2+6=0无实数根，则k的最小整数值为 （）
A．2B．1C．－1D．不存在
2．下列方程中有两个不相等实数根的是
A．2x2+4x+35=0B．x2+1=2x（）
C．（x－1）2=－1 D．5x2+4x=1
3．若关于x的方程（m-2）x2－2x+1=0有实数根则m （）
A．m<3 B．m≤3
C．m<3且m≠2D．m≤3且m≠2
4．关于x的一元二次方程kx2+3x－1=0有实
数根，则k的取值范围是 （）
A．k≤
B．k≥－
C．k≥－
且k≠0D．k=－
5．（2011重庆江津，9，4分）已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是（）
A.a<2Ba>2C.a<2且a≠1D.a<－2·
6．关于x的一元二次方程k2x2－2（k+1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是．
7．若方程x2－2x－m=0有两个相等的实数根，则m=．
8．二次方程
，若m为任意实数，则解的情况是 ．
9．若方程2x2－2x+3a－4=0有两个不相等的实数根，则
＝．
10一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 ．
11．当m 时，方程（m+2）x2+2x－1=0有实数根．
12．（2005•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0．
求证：
不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
13．已知a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：
方程
无实数根．
14．已知关于x的方程（1－2k）x2－2
x－1=0有两个不相等的实数根，k为实数，求k的取值范围．
15若方程x2+2（1+m）x+（3m2+4mn+4n2+2）=0有实数根，求m、n的值．
16．若m是非负整数，且关于x一元二次方程（1－m2）x2+2（1－m）x－1=0有两个实数根．求m的值．
17．m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有两个不相等的正整数根．
18若m为有理数，当k是什么数时，方程
x2－4mx+4x+3m2－2m+4k=0的根为有理数．
【课后拓展】
1．如果方程组
只有一个实数解，那么m的值为（）
A．
B．
C．
D．
2．已知关于x方程
①
有两个相等的实数根．
（1）求证：
关于y的方程
②必有两个不相等的实数根;
（2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式
的值．
（设计人：
仲晓梅）
参考答案：
一元二次方程根的判别式
（第2课时）
【预习引领】
1．
（1）两个不相等的实数根
（2）无实数根
（3）两个不相等的实数根
（4）无实数根
2．b2－4ac=（2m+1）2-8m=9
∴m1=2，m2=-1
（1）m=2时：
2x2－5x+2=0，x1=
，x2=2
（2）m=-1时：
2x2+x-1=0，x1=
，x2=-1
【要点梳理】
例1∵方程
没有实数根，
∴b2－4ac=36-4（8-m）<0
∴m<-1
对于方程
来说：
b2－4ac=（m+2）2-4（2m+1）=m2-4m=m（m-4）
∵m<-1
∴m-4<-5
∴m（m-4）>0
∴方程
有两个不相等的实数根．
例2b2－4ac=（2k-3）2-4k2=-12k+9
（1）∵方程有两个相等的实数根；
∴-12k+9=0
∴k=
（2）∵方程有两个不相等的实数根；
∴-12k+9>0
∴k<
且k≠0
（3）∵方程没有实数根；
∴-12k+9<0
∴k>
（4）∵方程有实数根
∴-12k+9≥0
∴k≤
例3．
（1）b2－4ac=（3k+1）2-4（2k2+2k）=（k-1）2
∵无论k取何值，（k-1）2≥0
∴b2－4ac2≥0
（2）由题意得方程必有一根等于6，代入得：
36-6（3k+1）+k2+2k=0
∴k1=3，k2=5
（1）k=3时：
x2－10x+24=0，x1=6，x2=4
（2）k=5时：
x2-16x+60=0，x1=10，x2=6
例4。
b2－4ac=16-16m≥0
b2－4ac=16m2-4（4m24m-5）≥0
∴
∵m是整数
∴m=-1，0，1。
【课堂操练】
1．0或24
2．
3．
4．∵c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0
∴（b+c）x2-2max+cm-bm=0
∵有两个相等的实数根
∴（-2ma）2-4（b+c）（cm-bm）=0，m＞0
∴a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形．
5．
（1）证明：
方程化为一般形式为：
x2-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）2-4（4k-2）=（2k-3）2，
而（2k-3）2≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）解：
x2-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x1=2，x2=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=32，则三角形的三边长分别为：
2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
解得k=52，则三角形三边长分别为：
2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．
【课后盘点】
1．A
2．D
3．B
4．B
5．C
6．
7．-1
8．无实数根
9．-2
10．0
11．
12．△=（4m+1）2-4（2m-1）
=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
13．△=（b2+c2-a2）2-4b2c2
=（b2+c2-a2+2bc）（b2+c2-a2-2bc）
=[（b+c）2-a2][（b-c）2-a2]
=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a）
由三角形任意两边之和大于第三边得
b+c+a>0，b+c-a>0，b-c+a>0，b-c-a<0
∴△<0
∴无实数根
14．∵有两个不相等的实数根
∴二次项系数1-2k≠0
∴K≠
又△>0
∴4（k+1）+4（1-2k）>0
∴k<2
∴k<2且k≠
15．
b2－4ac2=4（1+m）2-4（3m2+4mn+4n2+2）
=-4［（m-1）2+（m-2n）2］≥0
∴m=1，n=
16．
∵方程是一元二次方程，且有两个实数根，
∴1－m2≠0且△=4（1－m）2+4（1－m2）≥0
∴m≠±1且m≤1
又∵m为非负整数，
∴m=0
把m=0代入原方程，原方程变为：
x2+2x－1=0
∴x=－1±
17．
∵m2-1≠0
∴m≠±1
∵△=36（m-3）2＞0
∴m≠3
原方程变形、因式分解为
（m+1）（m-1）x2-6（3m-1）x+72=0，
[（m+1）x-12][（m-1）x-6]=0，
x1=
，x2=
又∵x1，x2是正整数
∴m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，
解得m=2．这时x1=6，x2=4．
18．
方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0
△=16（1-m）2-4（3m2-4m+4k）=4m2-16m+16-16k，
∵方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根，
∴△为完全平方式，
∴4m2-16m+16-16k=4（m2-4m+4）-16k，
∴16k=0时，△是完全平方式，
解得k=0，
所以m为给定的有理数，k为0时，方程x2+4（1-m）x+3m2-2m+4k=0的根总为有理根．
【课后拓展】
1．A
2．
（1）证明：
由方程①得n-1≠0，m2-4×（n-1）=0．
∴m2=4（n-1）且m≠0，则n-1＞0．
方程②中△=4m2-4m2（-m2-2n2+3）=4m2（1+m2+2n2-3）=8m2（n+3）（n-1）．
∵n-1＞0．
∴△＞0．方程②必有两个不相等的实数根．
（2）解：
由m2=4（n-1），得n-1=
．代入第一个方程，得
x2+mx+1=0，解得x=
．
把x=
代入第二个方程，得
m2×（
）2-2m×
-m2-（
）2+3=0．
整理得2n2+4n=7．
∴m2n十12n=n（m2+12）=n（4n-4+12）
=4n2+8n=2（2n2+4n）
=14．
升级会员 