5.4.2一元二次方程根的判别式.doc

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一元二次方程根的判别式

中考要求

知识点

A要求

B要求

Ｃ要求

一元二次方程

了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法

理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据

能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况

能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

知识点睛

一、一元二次方程根的判别式的定义

运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：

．

也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．

二、判别式与根的关系

在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．

设一元二次方程为，其根的判别式为：

则

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；

若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．

说明：

⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：

上述判定方法也可以反过来使用，当方程有

两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．

⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个

不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．

①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．

三、一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：

⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；

⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；

⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

例题精讲

一、一元二次方程实数根个数的判定

【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：

⑴；⑵（）

【例2】不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根

B．没有实数根

C．有两个相等的实数根

D．无法确定

【例3】已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程的根的情况（）．

A．有2个负根 B．有2个正根

C．有2个异号的实根 D．无实根

【例4】已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（）

A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根

C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根

【例5】若方程只有一个实数根，那么方程（）．

A．没有实数根 B．有2个不同的实数根

C．有2个相等的实数根 D．实数根的个数不能确定

【例6】已知：

方程没有实数根，且，求证：

有两个实数根．

【例7】对任意实数，求证：

关于的方程无实数根．

【例8】求证：

关于的一元二次方程有两个实数根．

【例9】设方程只有3个不相等的实数根，求的取值和相应的3个根．

【例10】已知实数、、、、满足，，求证：

一元二次方程必有实根．

【例11】已知关于的方程①有两个相等的实数根．

求证：

关于的一元二次方程②必有两个相等的实数根．

【例12】已知关于的二次方程与，求证：

当时，这两个方程中至少有一个方程有实数．

【例13】设、、为互不相等的非零实数，求证：

三个方程

，

，

，

不可能都有2个相等的实数根．

【例14】当为何值时，关于的方程有实根．

【例15】为何值时，方程有实数根．

【例16】当、为何值时，方程有实根？

【例17】已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明．

【例18】如果方程，只有一个实数根，那么方程（）．

A．没有实数根B．有个不同的实数根C．有个相等的实数根D．实数根的个数不能确定

【例19】若二次方程有实根，其中，为奇数，证明：

此方程的两个根都是无理数．

【例20】是否存在质数，使得关于的一元二次方程有有理数根？

二、一元二次方程中字母参数的确定

【例21】的何值时？

关于的一元二次方程：

⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．

【例22】为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？

【例23】已知方程有实数根，求的范围．

【例24】关于的方程有实数根，则整数的最大值是．

【例25】若方程有实数根，求：

正整数．

【例26】当为何值时，方程有实根？

【例27】为何值时，方程有实数根．

【例28】已知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________．

【例29】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【例30】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）

A．B．C．D．

【例31】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________．

【例32】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

【例33】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范是．

【例34】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是．

【例35】已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：

【例36】当在什么范围内取值，方程有且只有两相异实根？

【例37】已知一元二次方程有两个不相等的实数根．则的最大整数值为

【例38】已知关于的方程有两个不相等的实数根．

⑴求的取值范围；

⑵是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？

如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

【例39】已知关于的方程有两个不相等的实数根．

⑴求的取值范围；

⑵若为整数，且，是上述方程的一个根，求代数式的值．

【例40】使得关于的一元二次方程无实数根的最小整数（）

A．-1 B．2 C．3 D．4

【例41】已知：

、为整数，关于的二次方程有两个不相等的实数解，有两个相等的实数根，没有实数根，求、的值．

【例42】若关于的方程和都没有实数根（、是实数），⑴问式子是否总有意义，说明理由．⑵问是否可以是整数，若可以，当为整数时，求的值；若不可以为整数，说明理由．

【例43】已知是一元二次方程的一个实数根，则的取值范围为（　　）．

A． 　B． C． D．

三、一元二次方程与三角形三边关系的综合

【例44】三角形两边的长是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为．

【例45】方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为．

【例46】已知，是直角三角形的两边，第三边的长满足方程，则的值为．这样的直角三角形有个．

【例47】已知的三边满足：

，，试确定的形状．

【例48】如果一直角三角形的三边长分别为、、，，那么，关于的方程的根的情况是（）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法确定

【例49】已知、、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（）

A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

【例50】已知：

、、分别是的三边长，求证：

方程没有实数根．

【例51】在等腰中，、、的对边分别为、、，已知，和是关于的方程的两个实数根，求的周长．

【例52】已知：

、、分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：

是直角三角形．

【例53】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则以，，为三边的三角形的形状是______．

【例54】已知、、是的三边的长，且方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．

【例55】已知、、是的三边，其中，，且关于的方程有两个相等的实数根，试判断的形状．

【例56】如果关于的方程（其中，，均为正数）有两个相等的实数根．证明：

以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．

【例57】已知关于方程

⑴求证：

无论取何值，这个方程总有实数根；

⑵若等腰的一边长为，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．

【例58】已知关于的方程

⑴求证：

无论取任何实数值，方程总有实数根；

⑵若等腰三角形ABC的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．

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