等腰梯形教学设计.docx

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等腰梯形教学设计

22.5等腰梯形

（1）教学设计说明

Ø内容和内容解析

1．内容

本节课的内容选自上海教育出版社出版，九年义务教育课本，数学八年级第二学期第二十二章四边形，第三节梯形中的等腰梯形第一课时．

2．内容解析

在学习研究了三角形后，第二十二章以四边形为研究对象，着重研究了平行四边形、矩形、菱形、正方形及等腰梯形这几类特殊的四边形．等腰梯形是本章研究的最后一类特殊的四边形，通过学习、研究等腰梯形的有关知识，进一步明确研究直线型图形的性质和方法．

本课为等腰梯形的第一课时，教学内容为等腰梯形的性质．教材注重建立等腰梯形与等腰三角形之间的联系，借助研究平行四边形性质的已有经验，得出等腰梯形的两条重要性质．本课教学内容的核心是，对于等腰梯形性质的探究及运用，都是将等腰梯形的问题转化为已经熟悉的三角形或平行四边形的问题，并加以解决．在探究性质和解决问题的过程中，渗透了类比、化归等数学思想．因此，本节课是前期知识的综合运用，同时也是后续学习等腰梯形判定定理等知识的基础．

基于以上分析，我确定本节课的教学重点：

探究、掌握等腰梯形的性质，并会初步运用等腰梯形的性质解决有关问题．

Ø教学目标和目标解析

1．教学目标

◆掌握等腰梯形的性质定理，能初步运用等腰梯形的性质定理进行计算和证明．

◆会通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题，从而解决等腰梯形的有关问题．

◆经历等腰梯形性质定理的探究、推导过程，体会类比、化归等数学思想，提高探索问题、分析问题和解决问题的能力；通过交流，促进理解，进而提高学习、研究数学的兴趣．

2．目标解析

能类比平行四边形性质的探究方法，从边、角、对角线、对称性四个方面探索、研究等腰梯形的性质，从而进一步明确研究直线型图形的性质和方法．会运用等腰梯形的性质定理解决一些简单的有关梯形的计算和证明问题．

能类比等腰三角形的性质，猜想等腰梯形在同一底上的两个内角相等的关系，并进行推理论证．能由等腰三角形的轴对称性质导出等腰梯形也是轴对称图形．

能通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等几何图形的问题来解决．

Ø教学问题诊断分析

1．对学生前期相关知识掌握不了解．

学生在此之前已经学过多边形的内角和、平行四边形及特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的性质和判定，知道了梯形的有关概念．但由于是外校借班上课，课前与学生没有任何接触，因此我不清楚学生前期知识的掌握情况，所以在教学过程中可能会遇到一些常规问题受阻的情况．

例如：

什么是等腰梯形？

又如，我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？

如果等腰梯形的概念不清楚，或探究平行四边形性质的基本方法不了解，那么学生就无法完整或正确地回答这些基础性问题．

2．概念的互相干扰．

由于本节课的学习是建立在等腰梯形与等腰三角形的相互联系上，因此学生会将等腰梯形在同一底上的两个内角相等，描述为等腰梯形的底角相等．由于梯形的四个内角都可以称为底角，因此必须指清是哪两个底角相等．

3．无法正确添加辅助线或选择添加适当的辅助线．

在研究、解决梯形的问题时，经常需要添加适当的辅助线．常见的辅助线有：

作高、平移一腰、延长两腰、平移对角线、作对角线等．虽有多种常规辅助线的添加方法，但如果不了解添加辅助线的目的，那么何时需要添加辅助线？

添加何种辅助线？

都会困扰部分学生．

例如，在证明等腰梯形同一底边上的两个内角相等时，添加“作高”或“平移一腰”是较为方便的方法，部分学生可能会想不到添加辅助线，从而无从着手．也有可能会有学生延长两腰交于一点构造等腰三角形，但由于目前学生还未学习平行线分线段成比例的有关知识，因此无法解决这个问题．

4．会添加辅助线，但不明白添加辅助线的意义和作用．

不少学生在解决问题的时候，只关注怎么做，而不知道为什么要这么做，表现为老师讲的都听得懂，自己独立解决问题时就有困难．“怎么做”是思维结果的呈现，而“为什么要这么做”是有一个正确的逻辑思维过程，显然后者比前者更具有研究的价值．

例如，在添加辅助线解决等腰梯形的问题时，为了让学生将隐性的思维过程显性化，在学生已经回答怎么做的前提下，我经常会追问：

你是怎么想到用这种方法解决这个问题的？

而在这个环节中，可能会有学生无法用语言正确表达自己的思维过程．

基于以上分析，我确定本节课的教学难点是：

添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等问题．

Ø教学支持条件分析

1．教学对象

由于本节课是我们浦东新区为了迎接本次“全国初中青年数学教师优秀课展示与培训活动”而进行的选拔比赛课，采用的形式是指定课题，外校借班上课（借本区某公办学校初二年级一个班），因此我对学生的学习基础、学习习惯等具体情况不是最了解，只能在上课时见机行事，适当调整，使学生能充分理解探究等腰梯形性质的过程和方法，掌握等腰梯形的性质．

学生前期已经学习了一些特殊四边形的有关概念，研究了平行四边形和特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形的性质和判定定理，具备了一定的推理证明的能力，知道了等腰梯形的概念．

初二的学生正处于独立思维发展的重要阶段，对数学的求知欲相当强，并且具有一定的好胜心，具备一定的逻辑推理能力，以及自主探究问题的学习能力．

2．教学设备

上课教室配备了上课所需要的电脑投影器、实物投影仪、移动黑板等硬件设施，可以进行多媒体辅助教学，提高教学的效率，促进学生理解有关数学知识．

Ø教学过程设计

1．复习引入

上一节课，学生已经知道，任意一个三角形，沿平行于一边的直线剪开，由此得到的四边形是梯形；那么，如果三角形是等腰三角形，沿平行于底边的一条直线剪开，由此得到的是什么图形呢？

接着复习等腰梯形的概念，引入本节课研究的主题，等腰梯形的性质．

【设计意图】上一节课已经建立了梯形与三角形之间的联系，以学生现有的知识经验为基础，本节课希望再次构建等腰梯形与等腰三角形之间的联系，进而为探究等腰梯形的性质作准备．

2．探究新知

这是本节课最重要的教学环节，主要围绕探究“等腰梯形具有怎样的性质？

”这个问题展开．

问题一：

我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？

【设计意图】学生已经学习了三角形、平行四边形和特殊平行四边形的性质定理，积累了一些探究直线型图形性质的经验，因此这样问的目的是：

进一步明确从哪些方面探究直线型图形的性质．

问题二：

从边、角、对角线、对称性几个维度看，你认为等腰梯形具有怎样的性质？

（1）从边的维度看，等腰梯形的对边平行，两腰相等；

这个结论可从定义中直接得到，不需要证明．

（2）从角的维度看，等腰梯形在同一底上的两个内角相等；

学生先由等腰三角形的两个底角相等，结合等腰梯形的图形，得到猜想，教师纠正学生“等腰梯形的两个底角相等”这样不严谨的表述．通过作出图形，给出已知求证，进行推理证明．

得到猜想后，引导学生证明猜想的正确性，通过学生交流不同的证法，得到研究梯形的常用方法，通过添加适当辅助线把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题．

（3）从对角线的维度看，等腰梯形的两条对角线相等；

这一性质定理，通过学生口述完成，既是对性质定理2的证明，也是对性质定理1的巩固运用．

（4）从对称性的维度看，等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线．

【设计意图】引导学生通过类比的方法对等腰梯形的性质进行探究，渗透类比、数学猜想等数学思想，提高学生探究问题的意识和能力；通过学生各抒己见的交流，提高学生数学交流的意识和能力，促进有关知识的理解，从而进一步提高学生学习数学的兴趣．

（5）性质归纳

最后归纳性质，并结合动画演示，促进学生对两条性质定理和轴对称性的理解．

【设计意图】此环节是对学生之前的探究活动作一个小结，目的是归纳等腰梯形的两条性质定理，以及等腰梯形的对称性，帮助学生理清等腰梯形的性质，起到提纲挈领的作用．

3．运用新知

第一题：

已知：

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．

（1）如果∠B=60°，你可以求出哪些角的度数？

【设计意图】本题是“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”的直接运用，达到初步运用性质定理1的目的．

（2）如果∠B=60°，AD=8，BC=16，求AB的长．

【设计意图】在前一题的基础上，本题侧重等腰梯形常见辅助线的添加方法．这一小题难度不大，但解法较多，给学生营造一个思维的空间．本题可以通过添加“平移一腰”、“作高”、“延长两腰”等不同的辅助线解决，本质上都是将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题．在解决问题的过程中，体会转化的方法，渗透化归的数学思想．

本题采用的形式是由学生上台为大家讲解，培养学生的数学交流意识和逻辑表达能力，感受成功的喜悦．

第二题：

已知：

如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE=AD，联结DE．求证：

DE=BD．

【设计意图】本题主要有两种不同的证明方法．方法一，利用△ABD≌△CDE，得到DE=BD，这种方法需要用到等腰梯形的性质定理1，即“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”；方法二，添加辅助线，联结AC，运用线段间的等量代换得到，这种方法需要用到等腰梯形的性质定理2，即“等腰梯形的两条对角线相等”．

通过这一道题目，期望达到巩固刚学的等腰梯形两条性质定理的目的，同时考虑到本节课的教学目标为初步运用等腰梯形的性质定理，所以未将难度稍高的平移对角线的问题作为本节课的教学内容，但在学生用方法一解决这个问题的时候，可以体会在这个图形中梯形ABCD的面积与等腰三角形BDE的面积相等，渗透等积变换的思想．

4．自主小结

（1）等腰梯形具有哪些性质？

（2）在解决等腰梯形的问题时，我们常用的辅助线有哪些？

作用分别是什么？

（3）通过本节课的学习，你有怎样的感受？

还有什么疑问？

【设计意图】从知识上总结本节课从边、角、对角线、对称性四个方面探究了等腰梯形的性质，从方法上归纳解决等腰梯形的问题时，经常需要通过添加适当的辅助线，达到将问题转化为三角形、平行四边形的问题加以解决，从思想上渗透类比、化归等数学思想．

结合学生的自主小结，教师适当补充，倾听学生疑问，使得小结起到梳理本节课所学的知识，巩固本节课所学的方法等目的．

5．作业布置

必做题

1．完成练习册22.5

（1）．

2．已知：

如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=5，求等腰梯形ABCD的面积．

【设计意图】作业1，完成练习册为基础作业，目的是巩固课堂上所学的等腰梯形的性质，能初步运用等腰梯形的性质进行几何计算和证明．作业2，要求稍作提高，利用平移对角线将等腰梯形的面积转化为等腰三角形的面积（也可利用等腰梯形的性质定理1，证得△AOD和△BOC都是等腰直角三角形，利用其有关性质解决问题），虽然课堂上并未出现这种辅助线的添加情况，但在运用新知第二题中，我已有意识地设计了一道练习题，渗透了等积变换的想法，因此学生在课后完成这道练习题虽有困难，但应该属于“跳一跳摘到桃子”的问题，而且解决问题的途径也较多．

选做题

把一个上底等于2cm，下底等于4cm的等腰梯形纸片截成面积相等的三块，你可以想出几种方案？

画画试一试（虚线表示裁剪线条）．

【设计意图】可供选择的分割方法可以有很多，在分割的过程中，体会等腰梯形的多种不同的分割方法，并且其中一些分割的线段就是今后解决梯形问题中常用的一些辅助线的添加方法，同时还想通过此题进一步培养学生探究问题的意识和能力，提高学习数学的兴趣．

本题可供参考的分割方法举例：

Ø目标检测设计

1．我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？

检测学生是否能通过类比平行四边形性质的探究方法，获取探究等腰梯形性质的方法．

2．从角的维度看，你认为等腰梯形具有怎样的性质？

检测学生是否能由等腰三角形的两个底角相等，类比联想到等腰梯形在同一底上的两个内角也相等．

3．定理证明：

等腰梯形在同一底上的两个内角相等．

通过一题多解，检测学生是否能够通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题，从而解决等腰梯形的问题．

4．定理证明：

等腰梯形的两条对角线相等．

学生已经通过探究得到“等腰梯形在同一底上的两个内角相等”，通过对这个命题的证明，检测学生对刚探究得到的性质定理1是否已经掌握，是否会初步运用这个定理．

5．运用新知共两大题．

第一题：

已知：

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．

（1）如果∠B=60°，你可以求出哪些角的度数？

（2）如果∠B=60°，AD=8，BC=16，求AB的长．

第

（1）小题检测学生对性质定理1是否已经掌握，是否会初步运用这个定理解决问题．第

（2）小题检测学生是否会通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题，从而解决等腰梯形的相关计算问题．

第二题：

已知：

如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE=AD，联结DE．求证：

DE=BD．

本题主要有两种证明方法，两种方法分别对应检测学生是否掌握了等腰梯形的性质定理1和性质定理2的运用情况．同时检测学生是否能够通过添加适当的辅助线，解决等腰梯形的相关证明问题．

6．自主小结

通过学生的自主小结，检测学生是否达到本节课的教学目标，是否掌握本节课所学的内容，并能用语言描述等腰梯形的2条重要性质定理，是否领会本节课中渗透的数学思想，以及还存在什么问题，以便及时弥补．

附教案22.5

（1）等腰梯形

执教：

上海市进才中学北校罗亚琴

教学目标

1．掌握等腰梯形的性质定理，能初步运用等腰梯形的性质定理进行计算和证明．

2．会通过添加适当的辅助线，将等腰梯形的问题转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题，从而解决等腰梯形的有关问题．

3．经历等腰梯形性质定理的探究、推导过程，体会类比、化归等数学思想，提高探索问题、分析问题和解决问题的能力；通过交流，促进理解，进而提高学习、研究数学的兴趣．

教学重点

探究、掌握等腰梯形的性质，并会初步运用等腰梯形的性质解决有关问题．

教学难点

添加适当的辅助线，将等腰梯形问题转化为三角形、平行四边形等问题．

教学过程

一、复习引入

1．复习等腰梯形与等腰三角形的联系．

任意一个三角形，沿平行于一边的直线剪开，由此得到的四边形是梯形；如果三角形是等腰三角形，沿平行于底边的一条直线剪开，由此得到的梯形是等腰梯形．

2．复习等腰梯形的概念．

两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

3．引入课题．

今天我们将进一步认识等腰梯形，学习等腰梯形的性质．

二、探究新知

问题一：

我们可以从哪些方面探究等腰梯形的性质？

1．探究等腰梯形的性质，即在已经知道四边形是等腰梯形的前提下，探究等腰梯形各要素所具有的特征．

2．类比平行四边形性质的探究过程，我们同样可以从边、角、对角线、对称性这四个方面探究等腰梯形的性质．

问题二：

分别从边、角、对角线、对称性四个维度看，你认为等腰梯形具有怎样的性质？

1．从边的维度看，等腰梯形的对边平行，两腰相等．

由等腰梯形的定义可以直接得到，不需要证明．

2．从角的维度看，等腰梯形在同一底上的两个内角相等．

（1）类比：

等腰三角形的两个底角相等，那么等腰梯形是否也具有类似的性质？

（2）猜想：

等腰梯形在同一底上的两个内角相等．

（3）证明：

作出图形，给出已知求证，学生进行推理论证．

（4）小结：

无论是平移一腰还是作高，无论是在形内分割，还是在形外补充，都是将等腰梯形的问题，转化为三角形、平行四边形等已经学习、研究过的问题．

3．从对角线的维度看，等腰梯形的两条对角线相等．

（1）猜想：

等腰梯形的两条对角线相等．

（2）证明：

作出图形，给出已知求证，学生口述证明过程．

4．从对称性的维度看，等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线．

（1）由观察、操作得到；

（2）由等腰三角形是轴对称图形，推导得到等腰梯形也是轴对称图形．

5．性质归纳：

（1）等腰梯形性质定理1：

等腰梯形在同一底上的两个内角相等．

（2）等腰梯形性质定理2：

等腰梯形的两条对角线相等．

（3）等腰梯形是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线．

三、运用新知

1．已知：

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．

（1）如果∠B=60°，你可以求出哪些角的度数？

（2）如果∠B=60°，AD=8，BC=16，求AB的长．

2．已知：

如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长BC到点E，使CE=AD，联结DE．求证：

DE=BD．

四、自主小结

1．等腰梯形具有哪些性质？

2．在解决等腰梯形的问题时，我们常用的辅助线有哪些？

作用分别是什么？

3．通过本节课的学习，你有怎样的感受？

还有什么疑问？

五、作业布置

必做题

1．完成练习册22.5

（1）．

2．已知：

如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=5，求等腰梯形ABCD的面积．

选做题

把一个上底等于2cm，下底等于4cm的等腰梯形纸片截成面积相等的三块，你可以想出几种方案？

画画试一试（虚线表示裁剪线条）．

等腰梯形

（1）点评

本节课从备课设计到上课实施，罗老师贯彻了数学教研的主题，“继续‘对话·理解’研究，深化‘学科育人’实践”。

我认为本节课有如下一些特点：

1．在知识传授的过程中，关注学生能力的培养

本节课是等腰梯形性质的新授课，罗老师不是简单地传授等腰梯形的有关性质，而是通过这些知识的获取作为载体，创设问题情境，引导学生通过类比、猜想、证明等腰梯形的有关性质，进一步梳理研究直线型图形性质的方法，提高学生探究问题的意识，并通过类比、化归、数学猜想等数学思想的有机渗透，培养学生的能力。

2．在学生解题的过程中，关注学生思维的呈现

不少学生在解决数学问题过程中有这样一种现象：

只关注怎么做，而不关心为什么这样做，表现为老师讲的都听得懂，自己独立解决问题时就有困难。

本节课中，罗老师在学生已经知道解决问题的方法后，经常会追问学生：

“你是怎么想到用这个方法解决这个问题的？

”把学生隐性的思维显性化，关注学生的思维过程，肯定好的做法，纠正不当之处，帮助学生正确理解有关知识和方法。

3．在学生交流的过程中，关注学生知识的理解

作为教学活动的组织者，教师的作用首先在于为学生营造和谐、宽松的学习环境。

在这样的环境中，学生才能尽情地展示各自的才华。

本节课，教师多次让学生对话交流，各抒己见，通过学生的口头表达，促进学生对知识的理解，增进师生、生生间的交流，提高学生的数学交流意识和能力，从而进一步提高学生学习数学的兴趣。