电磁场与电磁波第4版教学指导书第3章静态电磁场及其边值问题的解.doc
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第3章静态电磁场及其边值问题的解
3.1基本内容概述
静态电磁场包括静电场、恒定电场和恒定磁场。
本章分别讨论了它们的基本方程和边界条件，位函数，能量和力，电容、电阻和电感，最后介绍静态场边值问题的几种解法（镜像法、分离变量法和有限差分法）。
3.1.1静电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式
基本方程的积分形式
边界条件
或（3.5）
或（3.6）
2.电位函数
（1）电位函数及其微分方程
根据电场的无旋性（），引入电位函数，使
（3.7）
电位函数与电场强度E的积分关系是
（3.8）
在均匀、线性和各向同性电介质中，已知电荷分布求解位函数
点电荷（3.9）
体密度分布电荷（3.10）
面密度分布电荷（3.11）
线密度分布电荷（3.12）
在均匀、线性和各向同性电介质中，电位函数满足泊松方程
（3.13）
或拉普拉斯方程（时）
（3.14）
（2）电位的边界条件
（3.15a）
（3.15b）
3.电场能量和电场力
（1）能量及能量密度
分布电荷的电场能量（3.16）
多导体系统电场能量（3.17）
能量密度为（3.18）
（2）电场力
用虚位移法求电场力
（3.19a）（3.19b）
4.电容及部分电容
在线性和各向同性电介质中，两导体间的电容为
多导体系统，每个导体的电位不仅与本身所带的带有关，还与其它导体所带电荷有关。
为表征这种关联性，引入部分电容的概念，分为自有部分电容和互有部分电容。
3.1.2恒定电场
1.基本方程和边界条件
基本方程的微分形式
基本方程的积分形式
边界条件：
或（3.22a）
或（3.22b）
用电位表示为
（3.23a）
（3.23b）
2.静电比拟法
均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部区域）与均匀电介质中的静电场（的区域）可以相互比拟。
根据这种可比拟性，可以利用已经得到的静电场的解来比拟地得到对应的恒定电场的解。
3.电导
导电媒质中两电极间的电导为
3.1.3恒定磁场
1.基本方程和边界条件
基本方程
微分形式
积分形式
边界条件
或（3.26a）
或（3.26b）
2.矢量磁位
（1）矢量磁位及其微分方程
根据恒定磁场的无源性（），引入矢量磁位A，使得
（3.27）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，已知电流求解矢量磁位
体分布电流（3.28）
面分布电流（3.29）
线电流（3.30）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，矢量磁位满足泊松方程
（3.31）
或拉普拉斯方程（时）
（3.32）
（2）矢量磁位的边界条件
（3.33a）
（3.33b）
3.标量磁位
在没有传导电流的区域（）由于，可引入标量磁位，使得
（3.34）
在均匀、线性和各向同性磁介质中，标量磁位满足拉普拉斯方程
（3.35）
在两种磁介质的分界面上，标量磁位的边界条件是
（3.36a）
（3.36b）
4.磁场能量和磁场力
（1）能量和能量密度
多个电流回路的能量（3.37）
分布电流的能量（3.38）
能量密度（3.39）
（2）磁场力
用虚位移法求磁场力
（3.40a）
（3.40b）
5.电感
回路的自感（3.41）
回路的互感，（3.42）
纽曼公式（3.43）
3.1.4边值问题及其解的惟一性
1.边值问题的类型
第一类边值问题：
已知位函数在场域边界上的值。
第二类边值问题：
已知位函数在场域边界上的法向导数。
第三类边值问题：
已知在部分场域边界上的位函数值和另一部分场域边界上的位函数法向导数。
2.惟一性定理
在场域V的边界面S上给定位函数或的值，则位函数的泊松方程或拉普拉斯
方程在场域V内有惟一解。
3.1.5镜像法
1.点电荷（或线电荷）对无限大接地导体平面的镜像法
，（3.44）
2.点电荷对导体球面的镜像法
（1）导体球接地
（3.45）
（2）导体球不接地
（3.46）
3.线电荷对接地导体圆柱面的镜像法
（3.47）
4.介质分界平面的镜像法
（1）点电荷对电介质分界平面的镜像
（场点在介质1内）（3.48a）
（场点在介质2内）（3.48b）
（2）线电流对磁介质分界平面的镜像
（3.49a）
（3.49b）
3.1.6分离变量法
1.直角坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
（3.50a）
或
（3.50b）
2.圆柱坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
（3.51）
3.球面坐标系中的分离变量法
位函数满足拉普拉斯方程
方程的通解
（3.52）
3.1.7有限差分法
有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布，用求解网格节点上离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似替代场域内的偏微分方程来求解。
采用正方形网格划分时，二维拉普拉斯方程的差分格式为
（3.53）
3.2教学基本要求及重点、难点讨论
3.2.1教学基本要求
掌握静电场的基本方程和边界条件，掌握静电场中的电位函数及其微分方程，掌握电位的边界条件；理解电场能量和能量密度的概念，会计算一些典型场的能量，会计算典型双导体的电容。
掌握恒定电场的基本方程和边界条件，了解静电比拟法，会计算典型导体的电阻。
掌握恒定磁场的基本方程和边界条件，理解矢量磁位及其微分方程，了解标量磁位的概念。
理解磁场能量和能量密度，会计算一些典型场的磁场能量，会计算典型回路的电感。
理解静电场的惟一性定理及其重要意义。
掌握镜像法的基本原理，会用镜像法求解一些典型问题。
了解分离变量法的基本思想和解题步骤，能够用分离变量法求解直角坐标系中的一些简单的二维问题。
3.2.2重点、难点讨论
1.静电场的基本方程
静电场的基本方程揭示了静电场的基本性质，是分析计算静电场问题的基础。
（1）静电场的基本方程有积分形式和微分形式两种表示。
积分形式的基本方程描述某个区域内静电场的整体性质，例如表示穿过任一闭合面S的电位移矢量D的通量等于该闭合面包围的自由电荷的总量，与束缚电荷无关。
微分形式的基本方程描述场中每一点的性质例如表明场中某点D的散度等于该点的自由体电荷密度。
（2）高斯定律及其微分形式表明静电场是有源场（有通量源），电荷是产生静电场的源；电力线从正电荷出发，终止于负电荷。
环路定理及其微分形式表明静电场是无旋场（无旋涡源），是保守场。
（3）在不同媒质的边界面上，场矢量E和D一般是不连续的，和失去意义。
所以，微分形式的基本方程在边界面上不再适用，而积分形式的基本方程仍然适用。
2.电位
电位是静电场中的一个重要概念。
在课程教学中，应注意以下几点：
（1）电位的定义虽然是从静电场的无旋性引入的，但它有明确的物理意义，它表示在电场中，将单位正电荷从P点移动到参考点Q时电场力所作的功。
表示为
（2）点电荷的电位计算公式为我们提供了对任何所要计算的场点r处电位的一种方法。
对于点电荷系，利用公式（3.9）求得所有点电荷在场点r处产生的电位，再由求得电场矢量E。
显然比直接计算各点电荷的电场矢量之和要容易些，这也是引入电位的优越性之一。
如果源电荷是连续分布的，则可以利用公式（3.10）、（3.11）和（3.12）来计算电位。
（3）计算电位的公式（3.9）～（3.12）中保留了一定程度的不确定性。
也就是说，电位总是包含有一个任意的附加常数，且可以对该常数任意赋值，而不会改变原问题的基本性质。
因为与有相同的结果。
（4）电位是一个相对量，在电场一定的情况下，空间各点的电位值，与参考点的选择密切相关。
如何选择电位参考点？
一般应考虑到以下几点：
首先，电位参考点的选择有一定的任意性。
因此可以选择适当的参考点，使电位表示式具有最简单的形式。
例如，点电荷的电位，若选无限远处为参考点，则得；若选距离点电荷处为参考点，表达式则为。
通常就是选择无限远处为电位参考点。
其次，电位参考点的选择不是完全不受限制的。
为了能应用电位来描述电场各点的特性，在选择参考点后，场中各点的电位应有确定的值。
具体来说有以下四种限制：
一是不能选择点电荷所在点为电位参考点，否则会使场中各点电位为无穷大，这是没有意义的。
二是只有当电荷分布在有限区域时，才可以选择无限远处为电位参考点。
三是对一些具有轴对称性的问题通常也不能选择无限远处为电位参考点，而是选择半径的圆柱面作为电位参考点。
例如，对于同轴线问题可选择外导体作为电位参考点。
四是同一问题只能选定一个电位参考点。
在实际的电位测量中，通常选择“地”作为电位参考点。
（5）在静电场中，电位相等的点组成的面称为等位面。
一旦求得电位函数，就可得出等位面，这样就可应用等位面族形象地描述静电场。
例如，点电荷产生的电场的等位面，是一个以点电荷所在点为中心的同心球面族。
（以无限远处为电位参考点）。
（6）利用公式（3.10）、（3.11）或（3.12）计算电位，有时是困难的。
我们可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程来得到电位解。
3.静电场能量
静电场的基本特性表现为它对静止电荷有作用力，说明静电场有能量。
对于常用的静电场能量的几种表示式应注意以下几点：
（1）表示点电荷系的互有能，式中的是除外的其余点电荷在处产生的电位，这个互有能也是该点电荷系的总静电能。
（2）表示连续分布电荷系统的静电能量计算公式，虽然只有电荷密度不为零的区域才对积分有贡献，但不能认为静电场能量只储存在有电荷区域。
此公式只能应用于静电场。
（3）表示静电场能量储存在整个电场区域中，所有的区域都对积分有贡献，称为电场能量密度。
公式既适用于静电场，也适用于时变电磁场。
4.静电场问题的求解
静电场问题可分为两大类：
分布型问题和边值型问题。
已知电荷分布，求场分布，或已知电场分布，求电荷分布，这属于分布型问题。
求解的方法有：
（1）直接利用电场强度的计算公式（2.11）～（2.14），由已知的电荷分布求出电场强度。
当然，只有对一些电荷分布较简单的情况，这种方法才易于进行。
（2）直接利用电位函数的计算公式（3.9）～（3.12），由已知的电荷分布求得电位，再由求得电场求得E。
（3）应用高斯定理求解对称分布的电场。
当电场分布具有某种空间对称性（譬如平面对称、轴对称、球对称等）时，就可找到一个高斯面，使该面上的电场等于常数，这样就很便捷地求得场分布。
对于一些非对称分布的场，有时可将其划分为若干个对称场分别利用高斯定理求解，然后再叠加。
a
b
图3.1
a
b
图3.2
当存在两种不同介质的分界面时，有两种情况也适合用高斯定律求解。
第一种是在介
质分界面上，电场强度E只有法向分量，这时电位移矢量D呈对称分布，就可直接利用求得D，再由求得E。
例如，图3.1所示的半径分别为a和b的同心球壳之间有两层介质，此时D具有球对称性，可直接利用据已知电荷分布求得D。
第二种是在介质分界面上，E只有切向分量。
根据电场边界条件应有，但，即E呈对称分布。
此时，利用，，，将变为即可求得E。
例如，图3.2所示的同心球壳之间，两种介质分别填充了一半的空间，此时有，即E呈球对称分布，应用上述转换即可求得E。
（4）已知电场或电位分布，求电荷分布，可利用或求得体电荷密度；利用求得极化电荷体密度。
利用边界条件求得导体表面的自由电荷面密度或介质表面的极化电荷面密度。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位，这就是边值问题。
求解边值型问题的方法有：
直接积分法——对于一维的拉普拉斯方程或泊松方程进行直接积分，根据已知边界条件确定积分常数。
分离变量法——求解二维、三维的的经典方法。
镜像法——一种间接求解法。
有限差分法、有限元法、矩量法、边界元法等——这一类属于数值法。
5.静电比拟
电荷的流动形成电流。
在多数情况下，电荷流动是由于空间存在电场，该电场对电荷的作用力引起电荷的宏观运动。
当电荷流动不随时间变化时，称为恒定电流，对应的电场称为恒定电场。
欲在导体中形成恒定电流，必须在导体两端施加恒定电源。
当我们将研究的范围限于电源外部的导体中时，恒定电场也是保守场，可用电位梯度来表示。
根据惟一性定理，均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部）与均匀电介质中的静电场（的区域）在满足一定条件时是可以相互比拟的。
有两方面的应用：
其一，恒定电场问题可转化为相应的静电场问题求解，或直接利用静电场问题的结果，比拟地得出对应的恒定电场的解。
其二，静电场问题可通过相应的恒定电流场模型来进行实验研究。
这是因为恒定电流场模型更易于建立和便于测量。
6.恒定磁场的基本方程
恒定磁场的基本方程揭示了恒定磁场的基本性质，是分析计算恒定磁场问题的基础。
（1）恒定磁场的基本方程有积分形式和微分形式两种表示。
磁通连续性原理及其微分形式表明恒定磁场是无源场（无通量源），磁感应线是无头无尾的闭合线。
安培环路定理及其微分形式表明恒定磁场是有旋场（有漩涡源），恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
（2）恒定磁场基本方程适用于任何磁介质。
对于线性和各向同性磁介质，有关系式。
7.矢量磁位
矢量磁位是为了简化恒定磁场分析而引入的一个辅助矢量，没有明确的物理意义。
其定义的依据是恒定磁场的无源性（）
矢量恒等式表明任何矢量场的旋度的散度恒等于零。
因此，我们选择
式中的A就称为矢量磁位，它自然满足磁感应强度B的散度等于零的基本方程，故A的定义具有普遍意义，即任何恒定磁场都可以用A矢量表示。
（1）只规定了A的旋度，为惟一地确定A还必须规定A的散度。
在恒定磁场分析中，规定，这样就将A的微分方程最大限度地简化为泊松方程。
（2）在直角坐标系中，矢量拉普拉斯运算可以展开为三个分量的标量拉普拉斯运算的矢量和，即
上式右边的是标量拉普拉斯算符。
但在其它坐标系中不存在这样比较简单的结果，在圆柱坐标系中仅只对z分量才有
（3）由电流源分布求矢量磁位的直接积分公式是（3.28）～（3.30），从这些公式可看出，电流元的矢量磁位都是与电流元平行的矢量。
显然，通过矢量磁位A来求磁感应强度B，比直接求B来得简单，特别是在适当选择的坐标系下，A只有一个分量，而B却不只一个分量。
（4）矢量磁位的微分方程与静电位的泊松方程在形式上是相似的,但求解方程要复杂得多。
对一些特殊的电流分布，则可将A满足的泊松方程化为标量方程。
例如，电流沿z轴方向流动，即，若求解场域的界面是与z轴平行的柱面，则A也只有z方向的分量，且与z变量无关，即，则方程化为标量泊松方程。
（5）磁通也可以通过矢量磁位A来计算。
即穿过曲面S的磁通量等于A沿次曲面的周界的闭合线积分。
通常，由A计算磁通量比由B计算要简单。
8.恒定磁场问题的求解
求解恒定磁场问题的思路与求解静电场问题有相同或相似之处。
（1）用直接积分法求解
对由已知的源电流分布，求磁场分布问题，可以利用公式（2.20）～（2.22）进行直接积分求得磁感应强度B，还可以利用公式（3.28）～（3.30）直接积分求得矢量磁位A，再由求得磁感应强度B。
（2）应用安培环路定律求解磁场
正像在静电场问题中应用高斯定律求解那样，如果问题具有足够的对称性，我们就可以利用安培环路定律来求得磁场分布。
关键的问题是选择合适的闭合积分路径，所寻求的积分路径应该是H在其上具有恒定大小的曲线，以及H平行于（或垂直于）积分路径的横切方向的切线。
例如，无限长直线电流的磁场、无限大平面电流层的磁场、均匀密绕环行线圈的磁场等，都可应用安培环路定律求磁场。
（3）求解A的泊松方程或拉普拉斯方程；或求解标量磁位满足的拉普拉斯方程。
（4）应用磁场的镜像法。
9.镜像法
镜像法是一种电场问题（也可用于磁场问题）的间接求解法。
（1）镜像法的基本思想是用位于场域边界外虚设的较为简单的镜像电荷来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将分界面移去，这样就把原来有分界面的非均匀媒质空间变换成无界的单一媒质空间来求解。
（2）镜像法的理论依据是静电场解的惟一性定理。
在保持导体形状、尺寸、带电状态，以及媒质特性不变的情况下，满足泊松方程（或拉普拉斯方程）和边界条件的解是惟一的。
镜像法巧妙地应用这一原理，针对多种典型的电磁场问题，把复杂问题简单化，形成了一套有效的解法。
（3）应用镜像法的两个要点：
一是正确找出镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小和符号，以满足边界条件不变为其准则。
二是注意保持待求解的场域（称为有效区）内的电荷分布不变，即镜像电荷必须置于有效区之外。
（4）用镜像法解题时的几个注意点：
●如果边界面不是单一的平面、球面或圆柱面，而是它们的组合边界面，此时设置一个镜像电荷就不可能满足边界条件而必须再设置镜像电荷的镜像。
譬如下面几个典型例子：
图3.3所示的在无限大接地导体平面上凸起一个半球面时的镜像法，应该有三个镜像电荷
，
，
d
q
x
z
a
图3.3（a）
d
q
z
x
a
图3.3（b）
，
q
图3.4（b）
图3.4所示的两无限大平行接地导体板之间有一点电荷q，用镜像法求解两板之间的场分布时，将构成一个连续镜像电荷系列。
由于镜像电荷距有效区越来越远，当所要求的解答精确度一定时，可以只取有限个数的镜像电荷（譬如3～4个镜像电荷）来得到近似解。
d
q
图3.4（a）
●两个半无限大导体平面相交构成的劈形区域，只有交角时，才能用镜像法求解，此时的镜像电荷数为（）个。
譬如，时，，故有个镜像电荷，如图3.5所示。
●若，则不能用镜像法求解。
因为此时为满足边界面上电位为零的边界条件，所设置的镜像电荷必将进入有效区，这是违背镜像法的基本原理的。
q
图3.5（b）
q
图3.5（a）
10.分离变量法
分离变量法是求解边值问题的一种经典法。
在应用分离变量法求解边值问题时，应注意以下几点：
（1）根据场域边界的几何特征，建立适合的坐标系。
通常使坐标与场域边界面相吻合，例如具有球面边界的问题，应选择球坐标系；具有圆柱面边界的问题，应选择圆柱坐标系。
另外，对一些具有对称性的问题，应结合对称性来确定坐标轴的取向，尽可能减少电位函数的自变量个数，从而降低方程的维数，以简化求解，例如，对于在均匀外电场放入一个导体球的问题，应以球心为坐标原点，极轴沿外场方向建立球坐标系。
又如，对于导体球附近有一个点电荷的问题，则应以球心为坐标原点，极轴沿球心和点电荷q的连线建立球坐标系。
（2）正确写出电位函数的通解。
当所求场域内存在不同媒质时，应将场域沿媒质分界面划分成几个区域，分别建立各个区域位函数的拉普拉斯方程，并分别写出其通解。
（3）正确写出边界条件。
这里的边界条件通常包括：
场域边界面上的已知条件、不同媒质分界面上的边界条件以及无界场域问题中的无限远处的边界条件。
3.3习题解答
题3.1图
3.1长度为的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为。
（1）计算线电荷平分面上任意点的电位；
（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场，并用核对。
解
（1）建立如题3.1图所示坐标系。
根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点的电位为
（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元在点的电场为
故长为的线电荷在点的电场为
由求，有
可见得到的结果相同。
3.2一个点电荷位于点，另一点电荷位于点，求空间的零电位面。
解两个点电荷和在空间产生的电位
令，则有
即
故得
此即零电位面方程，这是一个以点为球心、为半径的球面。
3.3电场中有一半径为的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为
（1）求圆柱内、外的电场强度；
（
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