中考第二轮复习方案设计问题Word文档下载推荐.docx
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由题意，得3x＋（4－x）×
1＝9．解得x＝2.5．
∴4－x＝1.5（天）．故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，则利润为（2.5×
3×
1200＋1.5×
1×
2000）元＝12000元．
答：
按第三种方案组织生产能使该厂获利最大，最大利润是12000元．
评析：
运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．
题型二利用不等式进行方案设计
例2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量/个
100
60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
（1）可设购买甲种机器x台，然后用x表示出购买甲、乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过34万元”列不等式求解．
（2）分别算出
（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．
（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台，
则：
7x＋5（6－x）≤34，解得x≤2，
又x≥0，∴0≤x≤2，∴整数x＝0、1、2，
∴可得三种购买方案：
方案一：
购买乙种机器6台；
方案二：
购买甲种机器1台，乙种机器5台；
方案三：
购买甲种机器2台，乙种机器4台．
（2）列表如下：
日生产量/个
总购买资金/万元
方案一
360
30
方案二
400
32
方案三
440
34
由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；
方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．
①部分实际问题的解通常为整数；
②方案的各种情况可以用表格的形式表达；
③对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．
题型三利用函数进行方案设计
例3.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图
（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；
在下图
（2）的坐标系中画出该函数图象；
指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
（1）中注意图像中的圆圈表示不包括该点；
（2）中金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式分两部分，实际是两个函数图像．当240＜w≤300时，批发量m有两个值，可比较这两者的大小；
当w取其他值时，m只有一个值．（3）利用二次函数的最值求获得最大利润的进货和销售方案．
（1）图
（1）中①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；
②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．
（2）解：
由题意得：
w＝
，函数图象如图（4）所示．由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．
（3）解法一：
设当日零售价为x元，由图可得日最高销量m＝320－40x，
当m＞60时，x＜6.5，由题意，销售利润为：
y＝（x－4）（320－40x）＝40[－（x－6）2＋4]，
当x＝6时，y最大＝160，此时m＝80，
即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元．
解法二：
设日最高销售量为xkg（x＞60），
则由图（3）日零售价p满足：
x＝320－40p，于是p＝
，
销售利润y＝x（
－4）＝－
（x－80）2＋160，
当x＝80时，y最大＝160，此时p＝6，
图（4）
本题考查同学们的读图能力，解题关键是数形结合，弄清题目的数量关系．
题型四利用解直角三角形进行方案设计
例4.如图所示，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离AB．
要求：
（1）画出测量示意图．
（2）写出测量步骤．（测量数据用字母表示）
（3）根据
（2）中的数据计算AB．
本题是一道开放性问题，设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意测量所需数据可用a、b、c、d以及角度α、β来表示．最后还要注意直角三角形的模型．
（1）测量图（示意图）如图所示．
（2）测量步骤：
第一步：
在地面上选择点C安装测角仪，测得此时树尖A的仰角∠AHE＝α．
第二步：
沿CB前进到点D，用皮尺量出C、D之间的距离CD＝m．
第三步：
在点D安装测角仪，测得此时树尖A的仰角∠AFE＝β．
第四步：
用皮尺量出测角仪的高h．
（3）AB＝
＋h．
利用解直角三角形进行方案设计时一定要使用题目中所给的测量工具，而不能利用题目以外的测量工具．同时还要关注测量时是否有障碍物，是用具体的数值表示还是用字母表示等．本题的易错点在于同学们容易忽视测角仪的高度．设计测量方案时，结合我们平时在解直角三角形中已经建立的模型来考虑是一条捷径．
题型五利用统计和概率进行方案设计
例5.某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
方案1：
所有评委所给分的平均数．
方案2：
在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3：
所有评委所给分的中位数．
方案4：
所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．如图所示是这个同学的得分统计图．
（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．
（2）根据
（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．
对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可．
（1）方案1最后得分：
（3.2＋7.0＋7.8＋3×
8.0＋3×
8.4＋9.8）＝7.7．
方案2最后得分：
（7.0＋7.8＋3×
8.4）＝8．
方案3最后得分：
8．
方案4最后得分：
8或8.4．
（2）因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为统计最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数没有实际意义，所以方案4不适合作为统计最后得分的方案．
本题考查了统计中三个统计量的计算和意义的使用．
题型六实际应用图形方案设计
例6.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：
在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？
若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；
若不可行，请说明理由．
判断方案是否可行，可用反证法，假设方案可行，确定正方形的大小，与所给正方形进行比较得出结论．
（1）理由如下：
假设方案一可行．
∵扇形的弧长＝2π×
16×
＝8π，
圆锥底面周长＝2πr，则圆的半径为4cm．
由于所给正方形纸片的对角线长为16
cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋4
＝20＋4
cm，20＋4
＞16
．
∴假设不成立，故方案一不可行．
（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，
则（1＋
）r＋R＝16
——①．2πr＝
——②．
由①②，可得R＝
＝
r＝
故所求圆锥的母线长为
cm，底面圆的半径为
cm．
图形方案设计问题，关键要弄清楚设计要求，图形变化前后变化的量和不变的量．
【方法总结】
这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化，抽象成具体的数学问题．从方法上分两类进行概括：
（1）方案已知，要求选优；
（2）先求方案，再选最优．
【预习导学案】
（专题五：
开放探索性问题）
一.预习导学
1.如图所示，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再添加一个条件__________，使得∠ABC≌△DCB．
2.请同学们写出两个具有轴对称性的汉字__________．
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，下列结论：
①abc＞0；
②2a＋b＜0；
③4a－2b＋c＜0；
④a＋c＞0．其中正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二.反思
1.开放探索性问题有什么特征？
2.开放探索性问题的解题策略是什么？
【模拟试题】
（答题时间：
50分钟）
一.选择题
*1.一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）
A.4种B.3种C.2种D.1种
**2.北京奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查。
设某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加。
又设各安检人员的安检效率相同。
若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；
若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟。
现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排__________名工作人员进行安检。
（）
A.9B.10C.11D.12
二.填空题
1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：
（1）测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；
（2）查阅有关外地180名男生的身高统计资料；
（3）在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这几所学校有关年级的
（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？
选_______________；
理由______________________________．
*2.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．
三.解答题
1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a、b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
2.为迎接国庆60周年庆典，我省将举办以“红土地之歌”为主题的演讲比赛．某地区经过紧张的预赛，王锐、李红和张敏三人脱颖而出，他们的创作部分和演讲部分的成绩如下表所示，扇形统计图是当地的450名演讲爱好者对他们三人进行“我喜欢的选手”投票后的统计情况（没有弃权，并且每人只能推选1人）．
（1）请计算三位参赛选手的得票数各是多少？
（2）现要从王锐、李红和张敏三人中推选一人代表该地区参加全省的决赛，推选方案为：
①演讲爱好者投票，每票记1分；
②将创作、演讲、得票三项所得分按4∶5∶1的比例确定个人成绩．请计算三位选手的平均成绩，从他们的平均成绩看，谁将被推选参加全省的决赛？
*3.某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
（2）国家规定：
农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在
（1）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
4.小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．
*5.某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE＝MN．准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
品种
红色花草
黄色花草
紫色花草
价格（元/米2）
80
120
设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S＝__________；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．
**6.某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60cm×
30cm，B型板材规格是40cm×
30cm．现只能购得规格是150cm×
30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：
（如图是裁法一的裁剪示意图）
裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
B型板材块数
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m＝__________，n＝__________；
（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？
【试题答案】
1.C【设二人间、三人间分别为x间、y间，则四人间为（7－x－y）间，由题意可知：
2x＋3y＋4（7－x－y）＝20，得y＋2x＝8，则此方程的正整数解为
．因为
不合题意舍去，故有两种租房方案．】
2.C【假设开始时已有m人等候安检，设工作人员每分钟检测x人，观众每分钟增加y人，至少安排z名工作人员安检。
则
解得z≥11,所以至少要安排11名工作人员进行安检．】
1.（3）；
只有方案（3）获得的数据最具代表性和广泛性
2.4【设安排x人种甲种蔬菜，则3x×
0.5＋2（10－x）×
0.8≥15.6，解得x≤4，故最多只能安排4人种甲种蔬菜】
三.解答题
1.方法一解：
（1）如图所示：
（2）证明：
∵大正方形的面积表示为（a＋b）2，大正方形的面积也可表示为c2＋4×
ab，∴（a＋b）2＝c2＋4×
ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：
∵大正方形的面积表示为：
c2，又可以表示为：
ab×
4＋（b－a）2，∴c2＝
ab×
4＋（b－a）2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，∴c2＝a2＋b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.
（1）由题意，王锐的得票数：
30%×
450＝135（张）；
李红的得票数：
36%×
450＝162（张）；
张敏的得票数：
34%×
450＝153（张）．
（2）王锐的平均得分：
＝92.5（分），李红的平均得分：
＝94.7（分），张敏的平均得分：
＝95.5（分）∴张敏将被推选参加全省决赛．
3.
（1）设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为（15－2x）台，则
，解这个不等式组，得6≤x≤7，∵x为正整数，∴x＝6或7．方案1：
购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
（2）方案1需补贴：
（6×
2100＋6×
2500＋3×
1700）×
13%＝4251（元）；
方案2需补贴：
（7×
2100＋7×
2500＋1×
13%＝4407（元）；
∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元．
4.按照小明的测量方案，点B、F、D在同一直线上．过点D作DH⊥AB于H交EF于点G，则△DFG∽△DBH，所以
，即
，解得AB＝19.95≈20.0m．答：
楼高AB约为20.0米．
5.
（1）x2＋（4－x）2或2x2－8x＋16．
（2）W＝60×
4S△AEH＋80（S正方形EFGH－S正方形MNPQ）＋120S正方形MNPQ＝60×
4×
x（4－x）＋80（2x2－8x＋16－x2）＋120x2＝80x2－160x＋1280．配方，得W＝80（x－1）2＋1200，∴当x＝1时，W最小＝1200元．（3）设EM＝a米，则MH＝（a＋1）米．在Rt△EMH中，a2＋（a＋1）2＝12＋32，解得a＝
，∵a＞0，∴a＝
，∴EM的长为
米．【提示：
AH2＋AE2＝EH2＝S或S＝AB·
AD－4×
AE·
AH】
6.
（1）0，3．
（2）由题意，得x＋2y＝240，∴y＝120－
x．2x＋3z＝180，∴z＝60－
x．（3）由题意，得Q＝x＋y＋z＝x＋120－
x＋60－
x．整理，得Q＝180－
x．由题意，得
，解得x≤90．【注：
事实上，0≤x≤90且x是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x＝90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．
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