版高考数学一轮复习精品学案92算法案例.docx
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版高考数学一轮复习精品学案92算法案例
2013版高考数学一轮复习精品学案：
第九章算法初步
第二节算法案例
【高考新动向】
一、考纲点击
1.了解几个古代算法案例，能利用辗转相除法及更相减损术求最大公约数；
2.用秦九韶算法求多项式的值;
3.了解进位制,会不同进位制间的相互转化.
二、热点提示
1.通过案例分析,加深对算法思想以及对程序框图三种基本逻辑结构的理解;
2.命题时会以简单的小题出现,考查典型案例所体现的算法原理,如求两数最大公约数的方法,进位制的转换等.
【考纲全景透析】
1.辗转相除法是用于求两个数的最大公约数
的一种方法,这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的,因而又叫欧几里得算法.ZXXK]
2.更相减损术的定义
任给两个正整数（若是偶数,先用2约简）,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数
减小数,直到所得的数相等为止,则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
注:
辗转相除法和更相减损术的区别和联系是:
更相减损术与辗转相除法算法不同,但二者的算法理论是相似的,主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,而更相减损术进行的是减法运算,实质都是一个递归的过程.
3.秦
九韶算法
秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数学书九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法。
注：
秦九韶算法的特点是：
（1）化高次多项式求值为一次多项式求值；
（2）减少了运算次数，提高了效率；（3）步骤重复执行，容易用计算机实现。
4.进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.
5.排序
排序的算法很多，课本主要介绍里两种排序方法：
直接插入排序和冒泡排序
（1）直接插入排序
在日常生活中，经常碰到这样一类排序问题：
把新的数据插入到已经排好顺序的数据列中。
例如：
一组从小到大排好顺序的数据列{1，3，5，7，9，11，13}，通常称之为有序列，我们用序号1，2，3，……表示数据的位置，欲把一个新的数据8插入到上述序列中。
完成这个工作要考虑两个问题：
（1）确定数据“8”在原有序列中应该占有的位置序号。
数据“8”所处的位置应满足小于或等于原有序列右边所有的数据，大于其左边位置上所有的数据。
（2）将这个位置空出来，将数据“8”插进去。
对于一列无序的数据列，例如：
{49，38，65，97，76，13，27，49}，如何使用这种方法进行排序呢？
基本思想很简单，即反复使用上述方法排序，由序列的长度不断增加，一直到完成整个无序列就有序了
首先，{49}是有序列，我们将38插入到有序列{49}中，得到两个数据的有序列：
{38，49}，ZXXK]Zxxk
然后，将第三个数据65插入到上述序列中，得到有序列：
{38，49，65}
…………
按照这种方法，直到将最后一个数据65插入到上述有序列中，得到
{13，27，38，49，49，65，76，97}
这样，就完成了整个数据列的排序工作。
注意到无序列“插入排序算法”成为了解决这类问题的平台
（2）冒泡法排序
所谓冒泡法排序，形象地说，就是将一组数据按照从小到大的顺序
排列时，小的数据视为质量轻的，大的数据视为质量沉的。
一个小的数据就好比水中的气泡，往上移动，一个较大的数据就好比石头，往下移动。
显然最终会沉到水底，最轻的会浮到顶，反复进行，直到数据列排成为有序列。
以上过程反映了这种排序方法的基本思路。
我们先对一组数据进行分析。
设待排序的数据为：
{49，38，65，97，76，13，27，49}
排序的具体操作步骤如下：
1．将第1个数与右边相邻的数38进行比较，因为38<49，49应下沉，即向右移动，所以交换他们的位置，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
2．将新数据列中的第2个数49与右边相邻的数65进行比较，因为65>49，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
3．将新数据列中的第3个数65与右边相邻的数97进行比较，因为97>65，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，97，76，13，27，49}
4．将新数据列中的第4个数97与右边相邻的数76进行比较，因为76<97，97应下沉，所以顺序不变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，97，13，27，49}
5．将新数据列中的第5个数97与右边相邻的数13进行比较，因为13<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，97，27，49}
6．将新数据列中的第6个数97与右边相邻的数27进行比较，因为27<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，97，27，49}
7．将新数据列中的第7个数97与右边相邻的数49进行比较，因为49<97，97应下沉，所以顺序改变，得到新的数据列：
{38，49，65，76，13，
97，49，27}
我们把上述过程称为一趟排序。
其基本特征是最大的数据沉到底，即排在最左边位置上的数据是数组中最大的数据。
反复执行上面的步骤，就能完成排序工作，排序过程不会超过7趟。
这种排序的方法称为冒泡排序。
上面的分析具有一般性，如果数据列有n个数据组成，至多经过n－1趟排序，就能完成整个排序过程
【热点难点全析】
（一）求两个数的最大公约数
※相关链接※
1.辗转相除法就是用大数除以小数,再用小数除以余数,直到较大的余数能被较小的余数整除为止,这个较小的余数就是所求的最大公约数.
2.更相减损术是大数减去小数,直到大数减小数的差等于小数时停止减法,较小的数就是最大公约数.
（1）更相减损术的算法步骤:
（以求a,b两整数的最大公约数为例）
第一步:
输入两个正整数a,b;
第二步:
若a不等于b,则执行第三步;否则执行第四步;
第三步:
若a>b,则a=a-b;否则b=b-a,返回第二步;
第四步:
输出a.
（2）程序框图如图所示:
注:
更相减损术的步骤较多,而辗转相除法的步骤较少,解题时应灵活运用.
※例题解析※
〖例〗
（1）用辗转相除法求840与1760的最大公约数;
（2）用更相减损术求440与556的最大公约数.
思路解析:
比较明确的用两种方法求最大公约数,严格按辗转相除法与更相减损术的操作步骤来求,计算时要仔细.
解答:
（1）利用辗转相除法
1764=840×2+84,840=84×10,所以840与1764的最大公约数为84.
（2）利用更相减损术
556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4,所以440与556的最大公约数为4.
（二）利用秦九韶算法求一元多项式的值
※相关链接※
1.秦九韶算法用程序框图和程序表示
（1）程序框图
（2）程序
注:
用秦九韶算法求n次多项式
当
（
是任意实数）时的值,需要n次乘法运算,n次加法运算.
2.利用秦九韶算法计算多项式的值,关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向处逐次计算,由于每步计算都是相关联的,因此计算一定要细心准确,更不能漏项.
※例题解析※
〖例〗用秦九韶算法求多项式
在
时的值.
思路解析:
（1）该多项式有七项,注意没有常数项;
（2）首先把多项式改写成含有多个一次多项式的格式.
解答:
（三）进位制的转换
〖例〗
（1）把十进制数168化为八进制数；
（2）把五进制数33（5）化为二进制数。
思路解析：
（1）由十进制数转化为八进制数除8取余数；
（2）把五进制转化为二进制数，先把五进制数转化为十进制数，再由十进制数转化为二进制数。
解答：
（1）
∴168=
（2）
∴18=
，∴
=
注：
（1）将
进制数化为十进制数的方法：
先把
进制数写成用各位上的数字与
的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算计算出结果。
（2）将十进制的数化为
进制的数的方法是，除
取余数，即用
连续去除十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数从下到上写出，就是相应的
进制的数。
（3）
进制之间的转化，先化成十进
制，再转化为
进制。
【高考零距离】
1．（2012·福建高考文科·Ｔ16）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。
例如：
在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。
【解题指南】七个点，要划出六条线，允许一对多，尽可能不选用花费大的路线，认真观察，选择，即可得到答案学_科_网Z_X_X_K]
【解析】最短路线为
，总费用为
答案:
16
2．（2011.天津高考理科.T3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为
（A）3（B）4（C）5（D）6
【思路点拨】逐次循环计算，验证输出。
【精讲精析】选B。
第一次循环：
第二次循环：
第三次循环：
第四次循环：
，跳出循环。
3．（2011·天津高考文科·Ｔ3）
阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入
的值为-4，则输出
的值为（）
（A）0.5（B）1（C）2（D）4
【思路点拨】逐次循环判断计算输出.
【精讲精析】选C.第一次循环结果x=7；同理第二次循环得x=4;第三次循环的结果x=1；第四次循环：
.
4．（2011·安徽高考理科·Ｔ11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________
【思路点拨】本题考查算法框图的识别，通过循环执行，求等差数列的前n项和.
【精讲精析】答案：
15.
由程序框图可知，
，若T=105,则k=14,继续执行循环体，这时k=15，T>105,所以输出的k值为15.
【考点精题精练】
1.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是（）
A．
B．
C．
D．
【解析】对于
，而对于
，则
，后面是
，不
符合条件时输出的
．
答案A
2.如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）
A．22B．46C．
D．190
答案C
3.程序框图上（右）（即算法流程图）如图所示，其输入结果是_______
【解析】根据流程图可得
的取值依次为1、3、7、15、31、63……
答案127
点评：
秦九韶算法适用一般的多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值问题。
直接法乘法运算的次数最多可到达
，加法最多n次。
秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次。
4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶
（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭
（10min）、听广播（8min）几个步骤.下列选项中最好的一种算法是（）
（A）洗脸刷牙、刷水壶、烧水、泡面、吃饭、听广播
（B）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、吃饭、听广播
（C）刷水壶、烧水同时洗脸刷牙、泡面、听广播、吃饭
（D）吃饭同时听广播、泡面、烧水同时洗脸刷牙、刷水壶
【解析】选B.根据日常经验及时间分配可知结果.
5.下列对算法特征的认识正确的是（）
（A）任何算法都能解决所有计算问题
（B）算法是一种计算的方法Z&xx&k
（C）任何算法都是可以重复使用的
（D）特殊算法可以没有确定结果
【解析】选C.因为算法具有普遍性，它可以解决某一类问题.
6.294与84的最大公因数为（）
（A）42（B）21（C）14（D）588
【解析】选A.294=42×7,84=42×2.
7.计算下列各式中的S值，能设计算法求解是（）
①S=
1+2+3+…+100；
②S=1+2+3+…+100+…；
③S=1+2+3+…+n（n≥1且n∈N）.
（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③
【解析】选B.由算法的有限性知.
8.与二进制数110
（2）对应的十进制数是（）
（A）110（B）4（C）5（D）6
【解析】选D.110
（2）=1×22+1×21+0=6.
9.三位七进制的数表示的最大的十进制的数是（）
（A）322（B）402（C）342（D）365
【解析】选C.三位七进制表示的最大数为666，则转化为十进制为666（7）=6×72+6×71+6×70
=294+42+6=342.
10.二进制数101110
（2）转化为八进制数为（）
（A）45（8）（B）56（8）（C）67（8）（D）78（8）
【解析】选B.先化成十进制，再化成八进制
101110
（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+1×2+0=46.
11.用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为（）
（A）4（B）3（C）5（D）6
【解析】选B.用辗转相除法：
120=72×1+48，72=48×1+24，48=24×2.
12.以下是利用秦九韶算法求当x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.
①第一步，x=23.
第二步，y=7x3+3x2-5x+11.
第三步,输出y.
②第一步，x=23.
第二步，y=（（7
x+3）x-5）x+11.
第三步，输出y.
③算6次乘法3次加法.
④算3次乘法3次加法.
以上正确描述为（）
（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④
【解析】选C.算
法①不是秦九韶算法；秦九韶算法要进行3次乘法运算和3次加法运算.
二、填空题
13.一个求解任意二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值的算法是：
1.计算m=
;
2.____________________________
3.____________________________
【解析】由于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最值与a的正负性有关，当a>0时y有最小值，当a<0时，y有最大值.
答案：
若a>0，输出最小值m
若a<0，输出最大值m
14.下面给出一个算法，第1步，输入i的值，
第2步，令m=2、n=3；
第3步，若i＞4则输出
的值，否则，输出
的值.
试问
（1）当输入的i的值为5时,结果为______.
（2）当输入的i的值为0时,结果为_____.
【解析】由题意得，当i＞4时，输出
，当i≤4时，输出
.
答案：
（1）
（2）
15.已知三个数12（16），25（7），33（4），将它们按由小到大的顺序排列为___________________________.
【解析】将三个数都化为十进制数.
12（16）=1×16+2=18,
25（7）=2×7+5=19,
33（4）
=3×4+3=15,
∴33（4）<12（16）<25（7）.
答案：
33（4）<12（16）<25（7）
16.用秦九韶算法计算f（x）=3x4+2x2+x+4当x=10时的值的过程中，v1的值为______.
【解析】根据秦九韶算法，原多项式改写为
f（x）=（（（3x+0）x+2）x+1）x+4
v0=3,v1=3×10+0=30.
答案：
30
三、解答题
17.已知多项式函数f（x）=2x5－5x4－
4x3+3
x2－6x+7，求当x=5时的函数的值。
解析：
把多项式变形为：
f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7
=（（（（2x－5）x－4）x+3）x－6）x+7
算法过程：
v0=2
v1=2×5－5=5
v2=5×5－4=21
v3=21×5+3=108
v4=108×5－6=534
v5=534×5+7=2677
∴当x=5时的函数的值为2677
点评：
如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算
18.试用两种排序方法将以下8个数：
7,1,3,12,8,4,9,10。
按照从大到小的顺序进行排序。
解析：
可以按照直接插入排序和冒泡排序这两种方法的要求，结合图形，分析写出。
直接插入法排序：
[7]131284910
[71]31284910
[731]1284910
[12731]84910
[128731]4910
[1287431]910
[12987
431]10
[1210987431]
冒泡排序
7
7
7
7
7
7
7
7
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
1
12
12
12
12
12
12
12
12
1
8
8
8
8
8
8
8
8
1
4
4
4学§科§网Z§X§X§K]
4
4
4
4
4
1
9
9
9
9
9
9
9
9学.科.网Z.X.X.K]
1
10
10
10
10
10
10
10
10
第一趟
7
7
12
12
12
12
3
12
8
8
9
10
12
8
7
9
10
9
8
4
9
10
8
8
4
9
10
7
7
7
9
10
4
4
4
4
10
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
第2趟第3趟第4趟第5趟第6趟学,科,网Z,X,X,K]
点评：
直接插入法和冒泡法排序是常见的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些.
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