第9讲 与线段有关的计算 尖子班.docx

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第9讲与线段有关的计算尖子班

第9讲与线段有关的计算

知识点1：

直线、射线和线段的概念

1.直线的两方都没有端点，可以向两方无限延伸；直线一般用它上面的两个点表示，也可以用一个小写字母表示。

2.直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线；射线用它的端点和射线上的另外一点来表示，也可以用一个小写字母表示；可以向一方无限延伸。

3.线段有两个端点，不可延伸。

两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

线段用表示它两个端点的字母A、B或一个小写字母表示，记作线段AB或线段BA，或线段a。

表示线段的字母也可以表示线段长度，如AB=6。

【典例】

1.已知如图，则下列叙述不正确的是（　　）

A.点O不在直线AC上B.射线AB与射线BC指的是同一条射线

C.图中共有5条线段D.直线AB与直线CA指的是同一条直线

【解析】解：

A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；

B、射线AB与射线BC的端点不同，不是同一条射线，故B错误，符合题意；

C、图中的线段有AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故C说法正确，不符合题意；

D、点A、B、C在同一条直线上，根据直线的表示方法可知，直线AB与直线CA指的是同一条直线，故D正确，不符合题意．

【方法总结】

确定射线需要两个要素：

（1）端点；

（2）方向。

确定不同字母表示的直线是否是同一条直线只需要确定所有的字母是否在同一直线上。

2.由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：

盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有______种

【解析】解：

每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他5个城市有5种车票，但是已知中是由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：

盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，没有返程车票，都是单程车票，每个城市出发的火车都被重复计算了，所以要为这次列车制作的火车票有

×5×6=15种，

【方法总结】

求在某一条包含若干点的线段上存在的线段条数，有如下两种方法：

1.简单图形直接数线段的条数；

2.数量比较多的情况下，只需要数从一个点出发有多少条线段，再与数出点的个数相乘。

由于每条线段都被重复计算一次，所以最终结果是其一半。

【随堂练习】

1．（2017秋•薛城区期末）汽车车灯发出的光线可以看成是（　　）

A．线段B．射线C．直线D．弧线

【解答】解：

根据直线、射线、线段的定义可知，汽车车灯发出的光线可以看成是射线．

故选：

B．

2．（2017秋•苍溪县期末）如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论①图中共有5条线段；②射线BD和射线DB是同一条射线；③直线BC和直线BD是同一条直线；④射线AB，AC，AD的端点相同，其中正确的结论是（　　）

A．②④B．③④C．②③D．①③

【解答】解：

①图中共有6条线段，错误；

②射线BD和射线DB不是同一条射线，错误；

③直线BC和直线BD是同一条直线，正确；

④射线AB，AC，AD的端点相同，正确，

故选：

B．

3．（2016秋•嵊州市期末）如图，把一条绳子折成3折，用剪刀从中剪断，得到几条绳子？

（　　）

A．3B．4C．5D．6

【解答】解：

由图可知，剪断公共可以得到4条绳子．

故选：

B．

4．（2017秋•延边州期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D，根据下列语句画图：

（1）画线段AC、BD交于E点；

（2）作射线BC；

（3）取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上．

【解答】解：

（1）如图所示：

；

（2）如图所示，

（3）如图所示，

．

知识点2：

直线的性质——两点确定一条直线

两点确定一条直线在生活当中的应用很广泛，例如我们排队时，队头站好两个人，后面的人只需要看着自己前面的一个人，一个个的排下来就可以排成一支整齐的队伍；打靶的时候士兵的眼睛通过枪上的准星瞄准靶心，只要保证眼睛、准星、靶心在同一直线上，就可以确定命中了。

【典例】

1.在开会前，工作人员进行会场布置，在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是（　　）

A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线

C．两点之间，直线最短D．过一点可以作无数条直线

【解析】解：

由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”为基准摆放茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，

【方法总结】

生活中需要沿直线进行操作的工作，开始之前一般都先找好两个点，因为两点就能确定一条直线。

2.已知平面内有A，B，C，D四点，过其中的两点画一条直线，一共可以画_______直线．

【解析】解：

分三种情况：

①四点在同一直线上时，只可画1条；

②当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；

③当没有三点共线时，可画6条；

【方法总结】

通过点的数量来确定直线的数量时，先观察是否有任意三点或者更多的点共线。

当没有出现三点共线时，直线的数量直接带入公式

（n≥2）即可；当出现三点或者更多点共线时，则需要单独讨论。

【随堂练习】

1．（2017秋•商河县期末）植树时，为了使同一行树坑在一条直线上，只需定出两个树坑的位置，其中的数学道理是（　　）

A．两点之间线段最短B．两点之间直线最短

C．两点确定一条射线D．两点确定一条直线

【解答】解：

只要定出两个树坑的位置，这条直线就确定了，即两点确定一条直线．

故选：

D．

2．（2015秋•崇川区校级期末）观察图①，由点A和点B可确定___条直线；

观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定____条直线；

（1）动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作____条直线；

（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定___条直线、n个点（n≥2）最多能确定_______条直线．

【解答】解：

①由点A和点B可确定1条直线；

②由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定3条直线；

经过A、B、C、D四点最多能确定6条直线；

直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、

根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出n个点（n≥2）时最多能确定：

条直线．

故答案为：

1；3，6，10，

．

知识点3：

线段的性质——两点之间线段最短

【典例】

1.2017年12月6日西成高铁全线开通运营，西安至成都的运行时间由11个小时缩短为4小时．这条经关中、汉中平原及穿越秦岭、巴山山脉的高速铁路用部分高难度的桥梁、隧洞等方式缩短了路程，这样做的主要依据是（　　）

A.两点确定一条直线B.两点之间，线段最短

C.直线比曲线短D.两条直线相交于一点

【解析】解：

铁路改造主要的工作就是将之前弯曲的铁路改造成桥梁、隧洞等直线方案，这样做的主要依据是两点之间，线段最短，

【方法总结】

该题中不同方案的路线体现的是直线和曲线的差别。

两点确定以后，两点之间的曲线要比线段长。

【随堂练习】

1．（2017秋•河西区期末）下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象是（　　）

A．用两个钉子就可以把木条固定在墙上

B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程

C．利用圆规可以比较两条线段的大小关系

D．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线

【解答】解：

A、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误；

B、把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项正确；

C、利用圆规可以比较两条线段的大小关系，是线段的大小比较，故本选项错误；

D、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”，故本选项错误．

故选：

B．

知识点4：

两点之间的距离

两点之间的线段长度就叫做这两点之间的距离。

【典例】

1.如图，线段CD在线段AB上，且CD=2，若线段AB的长度是一个正整数，则图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（　　）

A.28B.29C.30D.31

【解析】解：

由题意可得，

图中以A，B，C，D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：

AC+CD+DB+AD+CB+AB

=（AC+CD+DB）+（AD+CB）+AB

=AB+AB+CD+AB

=3AB+CD，

∵CD=2，线段AB的长度是一个正整数，AB＞CD，

∴当AB=8时，3AB+CD=3×8+2=26，

当AB=9时，3AB+CD=3×9+2=29，

当AB=10时，3AB+CD=3×10+2=32．

故选B

【方法总结】

解答该题首先数清楚一共有多少条线段，其次将各线段组合找出与线段AB的关系，列出线段长度之和与线段AB、CD的关系式，最后假设线段AB的长找出正确答案。

2.如图，点A，B在线段EF上，点M，N分别是线段EA，BF的中点，EA：

AB：

BF=1：

2：

3，若MN=8cm，则线段EF的长______

【解析】解：

∵EA：

AB：

BF=1：

2：

3，

可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，

而M、N分别为EA、BF的中点，

∴MA=

EA，NB=

BF，

∴MN=MA+AB+BN=

x+2x+

x=4x

∵MN=8cm，

∴4x=8，

∴x=2，

∴EF=EA+AB+BF=6x=12，

∴EF的长为12cm，

【方法总结】

题中所给线段MN跟已知线段EA、AB、BF没有直接的数量关系，只能够将线段分解成MA、AB和BN，然后根据已知条件，将MA和BN用已知线段EA和BF表示出来。

通过设未知数列方程，先求出EA的长，再根据比例关系求出EF的长。

【随堂练习】

1．（2017秋•山亭区期末）如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=

AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．

【解答】解：

∵AC=15cm，CB=

AC．

∴CB=10cm，AB=15+10=25cm．

又∵E是AB的中点，D是AC的中点．

∴AE=

AB=12.5cm．

AD=

AC=7.5cm

∴DE=AE﹣AD=12.5﹣7.5=5cm

2．（2018春•肇源县期末）如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC：

CD：

DB=1：

2：

3，MN分别是AC，BD的中点，且AB=36cm，求线段MN的长．

【解答】解：

∵AC：

CD：

DB=1：

2：

3，

∴设AC=xcm，则CD=2xcm，DB=3xcm，

∵AB=36cm，

∴x+2x+3x=36，

解得x=6，

∵M、N分别是AC、BD的中点，

∴CM=

AC=

x，DN=

BD=

x，

∴MN=CM+CD+DN=

x+2x+

x=4x=4×6=24（cm）．

3．（2017秋•利辛县期末）如图，A，B，C，D是直线l上的四个点，M，N分别是AB，CD的中点．

（1）如果MB=2cm，NC=1.5cm，BC=4cm，则AD的长为_____　cm；

（2）如果MN=6cm，BC=3cm，则AD的长为_____cm；

（3）如果MN=m，BC=n，求AD的长，并说明理由．

【解答】解：

（1）∵MB=2cm，NC=1.5cm，

∴MB+NC=3.5，

∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴AB=2BM，CD=2CN，

∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）=7，

∴AD=AB+CD+BC=7+4=11（cm），

故答案为：

11；　　

（2）∵MN=6cm，BC=3cm，

∴BM+CN=MN﹣BC=6﹣3=3，

∵∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴AB=2BM，CD=2CN，

∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）=6，

∴AD=AB+CD+BC=6+3=9（cm），

故答案为：

9；

（3）∵MN=m，BC=n，

∴BM+CN=m﹣n

∵M，N分别是AB，CD的中点，

∴AB=2BM，CD=2CN，

∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN），

∴AB+CD=2（m﹣n），

∵AD=AB+CD+BC，

∴AD=2（m﹣n）+n=2m﹣n．

综合集训

1.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是____________________．

【解析】解：

∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路，只有AC是直线段，

∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：

两点之间，线段最短．

故答案为：

两点之间，线段最短．

2.如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段_________条．

【解析】解：

构成五角星的边（两个顶点之间的线段）共有5条，即线段AC，BE，CE，BD，AD；每条边上各有另两个点，即每条边上有6条线段；所以共有6×5=30条线段．

3.平面上任意三点不共线，过其中任意两个已知点画一条直线，共画了45条直线，则此平面上共有个________已知点．

【解析】解：

∵平面内不同的两点确定1条直线，可表示为：

=1；

平面内不同的三点最多确定3条直线，可表示为：

=3；

平面内不同的四点确定6条直线，可表示为：

=6；

以此类推，可得：

=45，

所以n=10．

3.点C在射线AB上，若AB=3，BC=2，则AC为___________．

【解析】解：

当C在线段AB上时，

AC=AB﹣BC=3﹣2=1，

当C在线段AB的延长线时，

AC=AB+BC=3+2=5，

即AC=1或5，

故答案为：

1或5．

4.如图，AB=10cm，O为线段AB上的任意一点，C为AO的中点，D为OB的中点，则线段CD长为_________．

【解析】解：

∵C为AO的中点，D为OB的中点，

∴CO=

AO，OD=

OB

∴CD=CO+OD=

•AO+

•OB=

（AO+OB）=

•AB=

×10=5（cm）．

故答案为：

5cm．

5.已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC=2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA=2AB，那么线段AC：

DB=_________．

【解析】解：

如下图所示：

∵AC=AB+BC=2BC，

∴AB=BC，

∴DA=2AB=2BC，

∴DB=DA+AB=3AB=3BC，

∴AC：

DB=2BC：

3BC=2：

3，

故答案为：

2：

3．