数值积分方法.docx

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数值积分方法

Gauss求积公式一、Gauss积分问题的提法积分公式的一般形式：

In（f=åAkf（xkk=0nØ前述的求积公式中求积节点是取等距节点，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；Ø为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:

①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选取，求积公式的代数精度最高能达到多少？

②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？

定理形如òbaf（xdx»åAkf（xkk=0n的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。

例考虑两点插值型求积公式ò1-1f（x»A0f（x0+A1f（x1dx2其中A0、x0、A1、x1为四个待定常数。

由上述定理知，求积公式代数精度为3.再由代数精度的概念知，分别取f（x=1、x、x、x3,令积分值与数值积分值相等，可得方程组如下ìA0+A1=2ïAx+Ax=011ï00ï　　　　　　　　　2í22ïA0x0+A1x1=3ïA0x03+A1x13=0ïî

这样由方程组的4个方程就能求出4个未知数，得1１１ò-1f（xdx»f（-３+A1f（３根据定理知三点插值型求积公式的代数精度为5，同理可以去验证三点高斯求积公式５158５15ò-1f（xdx»９f（-５+９f（0+９f（５1二、Gauss求积公式的应用积分见书上的P75.