换元积分法第二类换元法精选.docx
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换元积分法第二类换元法精选
§4.2换元积分法（第二类）
Ⅰ授课题目（章节）：
§4.2换元积分法（第二类换元积分法）
Ⅱ教学目的与要求：
1.了解第二类换元法的基本思想
2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法
Ⅲ教学重点与难点：
重点：
第二换元法中的三角代换及根式代换难点：
积分后的结果进行反代换
Ⅳ讲授内容：
第一类换元积分法的思想是：
在求积分g（x）dx时如果函数g（x）可以化为f[（x）]（x）的形
式那么
g（x）dxf[（x）]（x）dxf[（x）]d（x）u（x）f（u）du
F（u）CF[（x）]C
所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如f[（x）]（x）函数来.对于某些
函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要
学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x（t）将无理函数f（x）的积分f（x）dx化为有理式f[（t）]（t）的积分f[（t）]（t）dt。
即
f（x）dxf[（t）]（t）dt
（t）C
若上面的等式右端的被积函数f[（t）]（t）有原函数（t），则f[（t）]（t）dt
然后再把（t）中的t还原成1（x），所以需要一开始的变量代换x（t）有反函数。
定理2设x（t）是单调、可导的函数，且（t）0，又设f[（t）]（t）有原函数（t），则
1
f（x）dxf[（t）]（t）dt（t）C[1（x）]C
分析要证明f（x）dx[1（x）]C，只要证明[1（x）]的导数为f（x），
d1ddt
[（x）]dxdtdx
证明x（t）单调、可导，
dt?
dx
x（t）存在反函数t
（x），且dx
1
dx
dt
1
（t）
d
dx
1
[1（x）]
ddt
dtdx
f[（t）]
（t）1
（t）
f（x）
11[1（x）]是f（x）是一个原函数f（x）dx[1（x）]C.
第二换元法，常用于如下基本类型
类型1：
被积函数中含有a2x2（a0）,可令xasint（并约定t（,））则22
22a2x2acost，dxacostdx，可将原积分化作三角有理函数的积分.
例1求a2x2dx
（a0）
22
解令xasint，t（,），则a2x2
acostdxacostdt
a2x2dx
acostacostdt
2a
2a
t
sin2tC
2
4
a2（11cos2t）dt
22
2
a
t
2
2
a
sintcost
2
2
axx22
arcsinaxC.
2a2
借助下面的辅助三角形把sint，cost用x表示.
x2
例2求dx
4x2
解令x2sint，t
（,），则4x2
22
2cost，dx2costdt
2
4sin2t
2cost
2costdt=41cos2tdt
2
（22cos2t）dt2t
sin2tC
2t
2sintcostC
2arcsinx
2
类型
2：
被积函数中含有
2x2（a0）可令xatant并约定t（2,2），则
22ax
asect；
2
dxasectdt
；可将原积分化为三角有理函数的积分
dx
x2a2
（a0）
解令xatant，t
），则x2a2asect，dxasec2tdt
22
dxsectdt
22
xa
lnsecttantC
C
ln
a
a
4
解令x
2tant
则
（
1
22
2sec2t
dxx24
x2a2x
x22sect，
例4求
dx
x24x2
2dt
4tan2t2sect
sec2tdt
tan2t
2
dx2sectdt
1cos2tdtsin2tcos2t
1cost
2dt
4sin2t
12dsintsin2t
4sint
4x
4x2C
dx
例5求（x2dx9）2
分母是二次质因式的平方
22
解令x3tant，则x299sec2t，dx
2
3sec2tdt
练习：
1
求212dx（第二换元积分法分）
（x22x5）2
解（x22x5）2
[22（x1）2]2，令x12tant
t（2,2）则
dx
22（x22x5）2
2
2sect
44
24sec4t
dt
1（1cos2t）dtt
1616
sintcostC
16
dx
3sec2
t
dt
1
cos2tdt
（x2
281sec4
9）
t
27
1
（1
cos2t）dt
t
1
t1
cos2tdtcos2td2t
54
54
54
54254
t
1sin2t
t
1
sintcostC
54
2
54
54
54
1
x1
3x
C
arctan
2
54
354x
29
1
x11x1
arctan2
C
16
28x22x
5
类型
3被积分函数中含有
x2a2（a0），当
x
a时，可令xasect，并约定
t（0,），则x2a2atant，dxasecttantdt，当xa时，可令ux，则ua，可将原积分化为三角有理函数的积分。
dx
（a0）
解被积函数的定义域为（
a）（a,），
当x（a,）时，令xasect，t（0,），
2
则x2a2atant，dxasecttantdt有
dx
x2a2
asecttantdtatant
sectdt
xln（secttant）Cln（
a
ln（x
a2）C1.
当x（
a）时，
令x
u
dx
du
x2
2a
22ua
ln
1
C1
ln
x
x2
2a
（
lnx
x2
2a
C1
ln（
2
a
ln（x
x2
a2）
C2
x（
a）
（a,
）时，
例7求
dx
x2x2
1
x
x
解x（1,）时，令
，则u（a,
ln（uu
xsect,t
dt
）有
22
2a2）C1
22xxa
x2a2）（
（C1
ln（
x2a2）
lna2）
x2a2）C1
C1
x2dxa2ln
xa
22xa
（0,）则x2
2
tant,dxsecttantdt，有
dx
则u
secttant
costdtsint
（1,）有
x21C，
uu21
u21C
2
x1
C
x
无论x
1或x1均有
dx
x
注意：
（1）以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分
（2）在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为x的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”
（3）在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁.
dx
（a0）
例8求dx
22
xxa
解法一（用第一换元法）
dx
xa时xx2
xx
dx
d（ax）
x
x2
2
a
2x
（ax）2
x
1aarccosa
C，x
xa时，令u
x则
dxxx2
du
（u）u2
1
arccos
u
1arccos
a
两式合并
dx
22
xxa
1
arccos
a
解法
第二换元法）
1）当xa时，
asect,t（0,2）则x2
atant,dxasecttantdt
dx
xx2
a2
asecttant
dt
asectatant
11dttaa
1arccosaC.ax
2）当x
a时，
dx
du
du
xx2
uu2
uu2
1arccosau
1arccosax
由
（1）
（2）两种情况可得
dx
xx2
1arccos
a
Ⅴ归纳总结
1、第二类换元积分法的思想
若f（x）dx中的被积函数f（x）为无理函数，可以选择适当的变量代换x（t），将无理函数
f（x）的积分
f（x）dx化为有理式的积分
f[
（t）]
（t）dt.
f（x）dxx
（t）f[（t）]（t）dt
（t）
C
[1（x）]C
2、第二类换元积分法适用的被积函数类型
类型1：
被积函数中含有a2x2
（a
0）
可令xasint（并约定t（,））则
22
a2x2acost；dxacostdx可将原积分化作三角有理函数的积分
类型2：
被积函数中含有a2x2（a0）可令xatant并约定t（,），则
22
a2x2asect；dxasec2tdt；可将原积分化为三角有理函数的积分.
类型3
被积分函数中含有
x2
2a
（a0），
当x
a时，
可令x
asect，
并约定
t（0,），则x2a2atant
，dx
asecttantdt，
当x
a时，
可令u
x，则u
a，可
将原积分化为三角有理函数的积分。
Ⅵ课堂练习：
P208习题4-22
（37）
Ⅶ课外作业：
P208习题4-22
（36）
（37）
（38）（40）（
42）
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