全等三角形知识点讲解经典例题含答案.docx

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全等三角形知识点讲解经典例题含答案

全等三角形

一、目标认知

学习目标：

　　1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

　　2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

重点：

　　1.使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式；

　　2.三角形全等的性质和条件。

难点：

　　1.掌握用综合法证明的格式；

　　2.选用合适的条件证明两个三角形全等

经典例题透析

类型一：

全等三角形性质的应用　

　1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

　　思路点拨:

AB=AC，AB和AC是对应边，∠A是公共角，∠A和∠A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.

　　解析：

AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是对应角.

　　总结升华：

已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.

　　已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.

　　举一反三：

　　【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？

为什么？

　　【答案】证明：

由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，

则AB-BE=DB-BC，即AE=CD。

　　【变式2】如右图，，。

　　　　　　求证：

AE∥CF

　　【答案】

　　　　　　∴AE∥CF

　　2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

　　思路点拨:

由全等三角形性质可知：

∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度数与BF的长即可。

　　解析：

在ΔABC中，

　　　　∠ACB=180°-∠A-∠B，

　　　　　又∠A=30°，∠B=50°，

　　　　　所以∠ACB=100°.

　　　　　又因为ΔABC≌ΔDEF，

　　　　　所以∠ACB=∠DFE，

　　　　　BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

　　　　　所以∠DFE=100°

　　　　　EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

　　总结升华：

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

　　举一反三：

　　【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.

　　　　　　求证：

（1）CD⊥AB；

（2）EF∥AC.

　　【答案】

（1）因为ΔACD≌ΔECD，

　　　　所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.

　　　　所以CD⊥AB.

（2）因为ΔCEF≌ΔBEF,

　　　　所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠CFE+∠BFE=180°，

　　　　所以∠CFE=∠BFE=90°.

　　　　因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE.

　　　　所以EF∥AC.

类型二：

全等三角形的证明

　　3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：

△ADF≌△BCE．

　　思路点拨:

欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC＝BD而得

　　解析：

∵AC＝BD（已知）

　　　　　∴AB-BD＝AB-AC（等式性质）

　　　　　即AD＝BC

　　　　　在△ADF与△BCE中

　　　　　∴△ADF≌△BCE（SAS）

　　总结升华：

利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：

（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，

（2）证明这两个三角形全等；

　　（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．

　　举一反三：

　　【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：

AD∥BC

　　【答案】∵AB∥CD

　　　　　　∴∠3＝∠4

　　　　　　在△ABD和△CDB中

　　　　　　∴△ABD≌△CDB（SAS）

　　　　　　∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）

　　　　　　∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）

　　【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．

　　　　　　求证AF＝DE．

　　【答案】∵EB⊥AD（已知）

　　　　　∴∠EBD＝90°（垂直定义）

　　　　　　同理可证∠FCA＝90°

　　　　　　∴∠EBD＝∠FCA

　　　　　　∵AB＝CD，BC＝BC

　　　　　　∴AC＝AB+BC

　　　　　　　　＝BC+CD

　　　　　　　　＝BD

　　　　　　在△ACF和△DBE中

　　　　　　∴△ACF≌△DBE（S．A．S）

　　　　　　∴AF＝DE（全等三角形对应边相等）

类型三：

综合应用

　　4、如图，AD为ΔABC的中线。

求证：

AB+AC>2AD.

　　思路点拨:

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。

由2AD想到构造一条线段等于2AD，即倍长中线。

　　解析：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE

　　　　　因为AD为ΔABC的中线，

　　　　　所以BD=CD.

　　　　　在ΔACD和ΔEBD中，

　　　　　所以ΔACD≌ΔEBD（SAS）.

　　　　　所以BE=CA.

　　　　　在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.

　　总结升华：

通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

　　举一反三：

　　【变式1】已知：

如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，

　　　　　　求证：

BD=2CE.

　　【答案】分别延长CE、BA交于F.

　　　　　　因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.

　　　　　　在ΔBEF和ΔBEC中，

　　　　　　所以ΔBEF≌ΔBEC（ASA）.

　　　　　　所以CE=FE=CF.

　　　　　　又因为∠BAC=90°,BE⊥CF.

　　　　　　所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.

　　　　　　所以∠BDA=∠BFC.

　　　　　　在ΔABD和ΔACF中，

　　　　　　所以ΔABD≌ΔACF（AAS）

　　　　　　所以BD=CF.所以BD=2CE.

　　5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，

　　　　　　求证：

（1）AE＝CF，

（2）AE∥CF，（3）∠AFE＝∠CEF

　　思路点拨:

（1）直接通过△ABE≌△CDF而得，

（2）先证明∠AEB＝∠CFD，（3）由

（1）

（2）可证明△AEF≌△CFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全等．

　　解析：

（1）在△ABE与△CDF中

　　　　∴△ABE≌△CDF（SAS）

　　　　∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）

（2）∵∠AEB＝∠CFD（全等三角形对应角相等）

　　　　∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）

　　（3）在△AEF与△CFE中

　　　∴△AEF≌△CFE（SAS）

　　　∴∠AFE＝∠CEF（全等三角形对应角相等）

　　总结升华：

在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．

　　举一反三：

　　【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证AF＝AG．

　　【答案】在△AGE与△BCE中

　　　　　　∴△AGE≌△BCE（SAS）

　　　　　　∴AG＝BC（全等三角形对应边相等）

　　　　　　在△AFD与△CBD中

　　　　　　∴△AFD≌△CBD（SAS）

　　　　　　∴AF＝CB（全等三角形对应边相等）

　　　　　　∴AF＝AG（等量代换）

　　6、如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．

　　　　　　求证：

AF平分∠BAC．

　　思路点拨:

若能证得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD=AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．

　　解析：

在Rt△ABD与Rt△ACE中

　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE（AAS）

　　　　　∴AD=AE（全等三角形对应边相等）

　　　　　在Rt△ADF与Rt△AEF中

　　　　　∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL）

　　　　　∴∠DAF=∠EAF（全等三角形对应角相等）

　　　　　∴AF平分∠BAC（角平分线的定义）

　总结升华：

条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

　举一反三：

　　【变式1】求证：

有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．

　　【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．

　　已知：

如图，在△ABC与△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′

　　求证：

△ABC≌△A′B′C′

　　证明：

在Rt△ABD与Rt△A′B′D′中

　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′（HL）

　　　　　∴∠B=∠B′（全等三角形对应角相等）

　　　　　在△ABC与△A′B′C′中

　　　　　∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）

　　【变式2】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求证：

OC=OD

　　【答案】∵∠C=∠D=90°

　　　　　　∴△ABD、△ACB为直角三角形

　　　　　　在Rt△ABD和Rt△ABC中

　　　　　　∴Rt△ABD≌Rt△ABC（HL）

　　　　　　∴AD=BC

　　　　　　在△AOD和△BOC中

　　　　　　∴△AOD≌△BOC（AAS）

　　　　　　∴OD=OC．

　　7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..

　　试判断：

猜测线段DE、DF、CG的数量有何关系？

并证明你的猜想。

　　思路点拨:

寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径

　　解析：

结论：

DE+DF=CG

　　方法一：

（截长法）板书此种方法（3分钟）

　　　　　　作DM⊥CG于M

　　　　　　∵DE⊥AB，CG⊥AB，DM⊥CG

　　　　　　∴四边形EDMG是矩形

　　　　　　DE=GM

　　　　　　DM//AB

　　　　　　∴∠MDC=∠B

　　　　　　∵AB=AC

　　　　　∴∠B=∠FCD

　　　　　　∴∠MDC=∠FCD

　　　　　　而DM⊥CG，DF⊥AC

　　　　　　∴∠DMC=∠CFD

　　　　　　在⊿MDC和⊿FCD中

　　　　　　∴⊿MDC≌⊿FCD（AAS）

　　　　　　MC=DF

　　　　　　∴DE+DF=GM+MC=CG

　　总结升华：

　　方法二（补短法）作CM⊥ED交ED的延长线于M（证明过程略）

　　总结：

截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

　　方法三（面积法）使用等积转化

　　引申：

如果将条件“D是底边BC上任意一点”改为“D是底边BC的延长线上任意一点”，此时图形如何？

DE、DF和CG会有怎样的关系？

画出图形，写出你的猜想并加以证明

　　举一反三：

　　【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

　　【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：

（1）截长法

（2）补短法（3）面积法