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数学建模课程论文
安徽工程大学数学建模（选修课）课程论文
题目：
关于房价问题的数学模型
队员1：
徐伟（装备112、3110107232）
队员2：
魏浩（装备112、3110107243）
队员3：
韩艳林（装备111、3110107144）
指导老师：
周金明
成绩：
完成日期：
2012.4.23
目录
摘要3
一、问题重述4
二、问题的假设5
三、符号的约定6
3．1模型一符号的约定5
3．2模型二符号的约定6
四、模型分析与求解13
4．1模型一的分析9
4．2模型一的求解10
4．3模型二的建立及求解13
五、模型评价与改进13
5.1模型的优点13
5.2模型的缺点13
5.3模型的改进13
参考文献14
附录一18
附录二19
摘要
房地产业，作为“国民经济的睛雨表，宏观经济的风向标”，其运行状态不仅影响着我国国民经济的发展速度和水平，更关系到居民的生活质量以及社会治安的稳定，因此，房价问题无疑是人们维持生计的头等大事。
同时。
房价也是房地产市场的最重要和最直接的反映，由于房价的变化是非常复杂的经济问题，并且经济、自然和社会等因素对房地产开发具有后效性影响，使得房价与影响其变化的经济变量之间的定量关系无法精确表达。
针对上述问题，我们对此运用线性回归模型进行分析，并据此给出理论解释。
通过分析我们知道，在众多因素的影响之下，我们找出主要影响房价上涨的因素:
居民收入、供需比例、建筑成本以及国家政策等，我们据此提出一些建设性建议。
政府可以通过加大宏观调控，如：
提高利率，增大二套房的购买难度，并帮助消费者改善心理预期，防止投机者继续投机获利干预市场，通过这些措施来抑制房价非正常上涨。
通过线性回归模型与蛛网模型对房价进行预测，未来房价走势仍会持续上涨，但上涨幅度会有所下降。
关键词：
房价波动线性回归模型蛛网模型房价预测
一、问题重述
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，至今尚未形成统一的认识。
现在就以下几个方面的问题进行讨论：
1通过对影响房价的因素的分析并建立一个城市房价的数学模型，对房价的合理性进行定量分析。
2根据分析结果，预测我国房价的未来走势。
3通过对模型的了解和求解，进一步探讨使得房价合理的具体措施。
4我国房价将对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
二、问题假设
引起房地产市场波动的因素有很多，居民收入、供求比例、空置率、货币政策、建设成本、国家政策和人口结构及变化趋势等众多因素。
我们从中提取重要因素对次要因素作出如下假设：
1城市消费状况用人均收入来代替。
2忽略消费成本如交通费用、物业费用、停车费用等对住房价格的影响。
3政府宏观调控政策，仅考虑税收政策、货币政策、土地政策的影响。
忽略其他政策的影响。
4在同一地区房价为销售均价，没有街道区域差异，房型对房价没有影响。
6根据经济发展状况分别对部分城市来概括全国城市的房屋均价，排除特殊情况。
三、符号的约定
3．1模型一符号的约定
本文遇到的符号说明
符号
符号表示的意义
符号
符号表示的意义
X1
第一个影响房价的自变量,
表示居民收入
Q1
自变量X1的系数参数
X2
第二个影响房价的自变量,
表示供求比例
Q2
自变量X2的系数参数
X3
第三个影响房价的自变量,
表示建筑成本
Q3
自变量X3的系数参数
X4
第四个影响房价的自变量,
表示政府调控
Q4
自变量X4的系数参数
3．2模型二符号的约定
：
房地产商期望
：
消费者需求
：
宏观经济政策
：
房价利润
：
建安成本
：
投机行为
：
人均可支配收入
：
人口因素
：
个人偏好
：
货币政策
：
税收政策
：
土地政策
A：
准则层对目标两两判断矩阵
（i=1，2，3）：
方案层对准则层两两判断矩阵
四、模型分析与求解
4．1模型一的分析
假设房价与居民收入、供需比例、开发成本与政府调控（主要考虑利率对房价的影响）呈线性关系，则它们的线性的组合仍为线性，故我们选用多元线性方程来建立此模型。
用最小二乘法对房价和影响房价的各个因素进行线性拟合，得到结果如下：
（1）房价（y）与居民收入中的人均可支配的收入（x）之间的关系
回归方程:
y=0.217768930943126x+560.281739835455
相关系数:
r=0.985976555753154正相关很强.
相关指数:
R^2=0.972149768494852回归效果很好.
残差平方和:
106958.444446995
（2）房价（y）与开发成本中的建筑成本（x）之间的关系
回归方程:
y=1.187********472x+196.667792349022
相关系数:
r=0.985976555753154正相关很强.
相关指数:
R^2=0.972149768494852回归效果很好.
残差平方和:
106958.444446995
（3）房价（y）与供求比例（X）之间的关系
回归方程：
y=2.3651x+365.1029
相关系数：
r=0.982635正相关很强
相关指数：
R2=0.956743回归效果很好
（4）房价（y）与国家政策中的利率调控（x）之间的关系
回归方程：
y=1.6704x+618.0642
相关系数：
r=0.9602正相关很强
相关指数：
R2=0.9420回归效果很好
2，由以上四个方程组合在一起，我们建立如下线性回归模型，其表达式为：
Y=Q1X1+Q2*X2+Q3*X3+Q4*X4+w
利用各年数据，对线性方程组进行求解，确定自变量的系数，即求出Q1、Q2、Q3、Q4的值。
4．2模型一的求解
全国平均房价与各量的数据如下表所示
年份
X1
X2
X3
X4
Y
2001
6907.1
0.15
1128
4.59
2068
2002
7702.8
0.2
1184
4.05
2130
2003
8472.2
0.33
1273
4.05
2212
2004
9500.5
0.37
1402
4.23
2549
2005
10493.6
0.41
1451
4.41
2796
2006
11769.5
0.53
1564
4.59
3132
2007
13785.8
0.65
1657
4.72
3665
2008
17067.78
0.6
1795
3.87
3655
2009
18858.09
1.6
2021
4.3
4475
将以上数据代入公式利用matlab求解如图所示：
Q1
0.4275
[-1.45612.3111]
Q2
1.0005
[-0.76332.7644]
Q3
1.5256
[0.10622.9450]
Q4
-1.0803
[-2.76290.6022]
W
685.9108
[537.1339834.6877]
得方程式：
y=0.4275*x1+1.005*x2+1.5256*x3-1.0803*x4+685.9108
4.3模型二的建立及求解
（1）通过对问题一的分析，可以建立层次结构模型如图4.1.1：
目标层O
准则层C
方案层P
（图4.1.1）
（2）构造两两判断比较矩阵并对所列矩阵进行一致性检验
依据表4.1.1（见附录）标度及图1的结构模型，可以构造目标层、准则层及方案层的两两判断比较矩阵，并用MATLAB计算出准则层各因素对目标的权重及方案层各因素对准则层各因素的权重：
综上可知，矩阵A及
（i=1,2,3）均通过一致性检验。
（3）层次总排序及一致性检验
准则
房地产商期望
总排序权值
消费者需求
总排序权值
宏观经济政策
总排序权值
准则层权值
0.1515
0.6301
0.2184
方案层单排序权值
0.6267
0.0949
0.6000
0.3781
0.1852
0.0404
0.0936
0.0142
0.2000
0.1260
0.1562
0.0341
0.2797
0.0424
0.2000
0.1260
0.6586
0.1438
CI
0.0429
2.2204e-016
0.0145
RI
0.58
0.58
0.58
CR
0.0930
3.8284e-016
0.0251
（注：
层次总排序权值算法见附录表4.1.2）
对层次总排序进行一致性检验，得
所以满足一致性。
五、模型评价与改进
5.1模型的优点：
1、模型一依赖于线性方程构建的想法，模型建立之后进行了修正得到的结果比较符合实际。
方案简洁明了，易于操作；
2、模型二采用图标相结合的方式，是数据更加清晰明朗，便于分析。
5.2模型的缺点：
1、模型一只采用线性关系式，方法单一，易于造成较大误差
2、模型二建立过程中忽略了众多因素对房价的影响，导致模型的结果与真实值之间存在一定误差；
5.3模型的改进：
1、模型一建立过程中考虑各个因素与房价呈线性关系，但实际上线性关系不一定是最好的选择，还可以考虑2次、多次等关系，所建立的模型会更加复杂。
2、模型二建立过程中，适当在加入一些参数可能会使模型更加精细，更符合实际情况。
参考文献：
【1】姜启源、谢金星、叶俊《数学模型（第三版）》高等教育出版社
【2】中国统计年鉴
【3】中国经济信息网
附录一
>>y=[206821302212254927963132366536554475]';
>>[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x）
Warning:
R-squareandtheFstatisticarenotwell-definedunlessXhasacolumnofones.
Type"helpregress"formoreinformation.
>Inregressat162
b=
685.9108
bint=
537.1339834.6877
r=
1.0e+003*
-1.0803
-0.6479
-0.5659
-0.3524
-0.2289
-0.0163
0.4275
1.0005
1.5256
rint=
1.0e+003*
-2.76290.6022
-2.52321.2273
-2.46131.3294
-2.27691.5721
-2.15731.6995
-1.94441.9117
-1.45612.3111
-0.76332.7644
0.10622.9450
stats=
1.0e+005*
-0.0000NaNNaN6.9941
>>685.910
>>x=[4.594.72]';
>>y=[20683665]';
>>[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,x）
Warning:
R-squareandtheFstatisticarenotwell-definedunlessXhasacolumnofones.
Type"helpregress"formoreinformation.
>Inregressat162
b=
618.0642
bint=
1.0e+003*
-1.45182.6880
r=
-768.9147
747.7370
rint=
1.0e+004*
-1.05390.9001
-0.87531.0249
stats=
1.0e+006*
0.0000NaNNaN1.1503
附录二
%--2011-8-1910:
16--%
a=[1,1/3,1/2;3,1,;2,1/4,1]
a=[1,1/3,1/2;3,1,4;2,1/4,1]
[x,y]=eig（a）
eigenvaul=diag（y）
lamda=eigenvaul
（1）
ci1=（lamda-3）/2
cr1=ci1/0.58
w1=x（:
1）/sum（x（:
1））
a=[1,5,3;1/5,1,1/4;1/3,4,1]
[x,y]=eig（a）
eigenvaul=diag（y）
lamda=eigenvaul
（1）
ci21=（lamda-3）/2
cr21=ci21/0.58
w21=x（:
1）/sum（x（:
1））
a=[1,3,3;1/3,1,1;1/3,1,1]
[x,y]=eig（a）
eigenvaul=diag（y）
lamda=eigenvaul
（1）
ci22=（lamda-3）/2
cr22=ci22/0.58
w22=x（:
1）/sum（x（:
1））
a=[1,1,1/3;1,1,1/5;3,5,1]
[x,y]=eig（a）
eigenvaul=diag（y）
lamda=eigenvaul
（1）
ci23=（lamda-3）/2
cr23=ci23/0.58
w23=x（:
1）/sum（x（:
1））
end
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