高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座人教版.docx
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高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座人教版
高三数学第一轮复习第一讲集合单元讲座
第一讲集合
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2020年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：
（1）题型是1个选择题或1个填空题；
（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲
1．集合：
某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA;若b不是集合A的元素，记作bA;
（2）集合中的元素必须满足：
确定性、互异性与无序性；
确定性：
设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性：
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合
中不应重复出现同一元素;
无序性：
集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关;
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内;描述法：
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N;
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z;
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
2•集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A）,记作A（或AB）;集合相等：
构成两个集合的元素完全一样。
若AB且BA，则称A等于B,记作A=B;若AB且A
工B,则称A是B的真子集，记作AB;日
（2）简单性质：
1）AA;2）A;3）若AB,BC,则AC;4）若集合A是n个元素的集
合，则集合A有2n个子集（其中2n-1个真子集）；
3•全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U;
（2）若S是一个集合，AS,则，CS={x|xS且xA}称S中子集A的补集；
（3）简单性质：
1）Cs（Cs）=A；2）CsS=，Cs=So
4•交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。
交集
AB{x|xA且xB}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
并集AB{x|xA或xB}o
Venn图
增强数形结合的思想方法。
注意：
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合或数轴进而用集合语言表达，
5
•集合的简单性质：
四•典例解析题型1：
集合的概念
A.xA
B.x
C.{x}A
D.
{x}A
1解:
由于丄k
2
选项为D;
点评：
该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不
属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。
1只能取到所有的奇数,
而918中18为偶数。
24
A,
例2.设集合F={nm—1的是（）
A.PWQB.QPC.P=QD.PAQ=Q
解：
Q={m€RmX+4mx—4v0对任意实数x恒成立=，对m分类：
1n=0时，—4v0恒成立；
2nv0时，需A=（4n）—4XnK（—4）v0，解得nv0。
综合①②知me0,
•••Q={mER|me0}。
答案为Ao
Q中含有参数m需要对参数进
点评：
该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。
集合行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2:
集合的性质
例3.（2000广东，1）已知集合A={1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是（）
A.15B.16C.3D.4
解：
根据子集的计算应有24—仁15（个）。
选项为A;
点评：
该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。
同时，A不是A的真子集。
变式题：
同时满足条件：
①M{1,2,3,4,5};②若aM,则6—aM，这样的集合M有多少个，举
出这些集合来。
答案：
这样的集合M有8个。
例4.已知全集S{1,3,x3x22x},A={1,2x1}如果CSA{0}，则这样的实数x是否存在？
若存在，求出x，若不存在，说明理由。
解：
•••CSA{0};
•0S且0A，即x3x22x=0,解得x-i0,x21,x32
当
fx0时，
2x
1
1,
为A中兀素；
当
fx1时，
2x1
3
S
当
fx2时，
2x
1
3
S
•这样的实数
x存在，
是
x1或x2
另法：
•-CsA{
0}
•0
S且0A,
3
A
•3
…x
x22x=0且
2x
1
3
•-x
1或x2
。
点评：
该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当x0时，2x11”不
变式题：
已知集合A{m,md,m2d},B{m,mq,mq2},其中m0,且AB,求q的值。
解：
由AB可知,
mdmq
（1）2，或
（2）
m2dmq
mdmq2m2dmq
解
（1）得q1,
1
解
（2）得q1,或q
2
又因为当q1时，mmqmq2与题意不符,
1
所以，q
2
题型3:
集合的运算
例5.（06全国n理，2）已知集合M={x|xv3},N={x|log2X>1},则MHN=（）
A.
B.{x|0vxv3}
C.{x|1vxv3}
D.
{x|2vxv3}
解：
由对数函数的性质，且2>1，显然由log2x1易得B
（2,）o
从而AB
（2,3）。
故选项为
a
点评：
该题考察了不等式和集合交运算。
例6.（06安徽理，1）设集合A等于（）
A.R
x||x2
2,x
y|y
x2,1x2
则CrAIB
B.xxR,x0
C.
D.
解：
A[0,2],B[4,0]，所以CRAI
Cr{0}
故选Bo
点评：
该题考察了集合的交、补运算。
题型4:
图解法解集合问题
例7.（2020上海春，5）已知集合A={x||x|w2,是o
解：
TA={x|—2wxw2},B={x|x>a}，又AB,如图所示，
点评：
例8.）
A.
C.
x€R},
B={x|x>a}，且乍B,则实数a的取值范围
因此有aw—2o
本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问
（1996全国理，1）已知全集I=N*,集合A={x|x=2n,n€
利用数
轴上覆盖关系:
题。
N},B={x|x=4n,n€N},则
I=AUB
B.I=（CI
A）UB
I=AU（CIB）
D.I=（CI
A）U（CiB）
解：
方法
C|A中元素是非2的倍数的自然数,
C|B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有
C选项正确.
方法二：
因
A={2,4,6,8・…},B={4,8,
12,16,…},所以CiB={
图
2,3,5,6,7,9…},所以I=AUCIB,故答案为C
方法三：
因医A,所以（G）転（CI）B,（CI）An（CIB）=CIA故I=AU（CIA）=AU（CIBo
方法四：
根据题意，我们画出Venn图来解，易知军A,如图：
可以清楚看到I=AU（CIB）是成立的。
点评：
本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5:
集合的应用
例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：
赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞
成的学生数的三分之一多1人。
问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
3
U
/A
■
B
X
30-X
V
33-X
X—+13
30+3=33,如上
体为集合A;赞成
不赞成的学生人
而不赞成A的人
解：
赞成A的人数为50X-=30,赞成B的人数为
5
图，记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全事件B的学生全体为集合Bo
设对事件AB都赞成的学生人数为X,则对AB都
数为X+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B3
X
数为33-X。
依题意（30—x）+（33—x）+x+（—+1）=50,解得x=21°所以对AB都赞成的同学有21人，都不3
赞成的有8人。
点评：
在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。
本题主要强化学生的这种能力。
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。
本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。
画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。
例10.求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
解：
如图先画出Venn图，不难看出不符合条件
5的倍数
的数共有（200-2）+（200-3）+（200-5）
2的倍数
3的倍数
—（200-10）—（200-6）—（200-15）
+（200-30）=146
所以，符合条件的数共有200—146=54（个）
点评：
分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。
题型7:
集合综合题
2x1
例11.（1999上海，17）设集合A={x||x—a|<2},B={x|<1}，若AB,求实数a的取值范围。
x2
解：
由|x—a|<2，得a—2亠2x1
□x
3<0，即—2由
<1，得
x2
x
2
a2
，于是0waw1o
3
因为AB,所以
a2
点评：
这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。
主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。
在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法•体现了数形结合的思想方法。
例12.已知{an}是等差数列，d为公差且不为0,ai和d均为实数，它的前n项和记作S,设集合A={（an,巴）|n€N},B={（x,y）|-x-y=i,x,y€R}。
n4
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）AnB至多有一个元素；
（3）当aiM0时，一定有AnBm。
1—
-（a1+an）,这表明点（an,n）的坐标适合方
2n
解：
（1）正确；在等差数列{an}中，S=n（aian）,则S
2n
1S11
程y—（x+a）,于是点（an,—^）均在直线y=—x+—a1上。
2
n22
（2）正确；设（x,y）€AnB,则（x,y）中的坐标x,y应是方程组
得：
2a1x+a12=-4（）,
当a1=0时，方程（*）无解，此时AnB=；
2a1
4a1
至多有一解。
•••Anb至多有一个元素。
”—-
（3）不正确；取a1=1,d=1，对一切的x€N，有an=a1+（n-1）d=n>0,n>0,这时集合A中的元素
n
作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1m0如果AnBm，那么据⑵的结论，Anb中至
多有一个元素（xo,yo）,而X0=4a12v0,『0=电3V0，这样的（Xo,yo）A产生矛盾，故
2a1524
a1=1,d=1时AnB=，所以a1m0时，一定有AnBm是不正确的。
点评：
该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。
变式题：
解答下述问题：
（I）设集合A{x|x22x2m40},B{x|x0},,若AB,求实数m的取值范围.
分析：
关键是准确理解AB蒸：
］的具体意义，首先要从数学意义上解释AB的意义，然后
才能提出解决问题的具体方法。
解：
题又等价于f（0）0m2,
注意，在解法三中，f（x）的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。
（n）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a。
，
B{a12,a22,a32,a42},其中aa?
a?
a°
若AB{a1,a4},且10,且AB的所有元素之和是124,求集合A、B.
分析：
命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
2222
1a1a2a3a4,a1a2a3a4,
AB{a1,a4},只可能有a1a12a11,
而a1a410,at9,a°a4,
（1）若a；a4,则a23,AB{1,383,9厶2,81},
2
a3a394124a35;
⑵若a32a4,则a33,同样可得a?
5a3,与条件矛盾，不合；
综上,A{1,3,5,9},B{1,9,25,81}.
（川）设集合A{（x,y）|y2x1},B{（x,y）|4x22x2y50},
C{（x,y）|ykxb}，问是否存在自然数k,b,使（AB）C瀏,
试证明你的结论.
分析：
正确理解（AB）C⑥:
],并转化为具体的数学问题.
要使（AB）C（AC）（BC）孕-,必须AC履1且BC呢],
2
.yx1.22
由'kx
ykxb
（2kb1）xb210,
当k=0时，方程有解x
b2
1,不合题意;
0时由1（2kb
1）2
22
4k（b1）0得b
又由
2
4x2x2y5b
ykx
4x22（1k）x
2b0,
4（1
k）2
16（5
2b）
由①、②得b
1
4k
•••b=2,代入①、②得k=1
旦一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体
1,而b
20
8
•••b为自然数，
点评：
这疋
的数学内容，才能由此寻求解决的方法。
题型6:
课标创新题
例13•七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：
设集合A=｛甲站在最左端的位置｝,
B=｛甲站在最右端的位置｝,
C=｛乙站在正中间的位置｝,
D=｛丙站在正中间的位置｝,则集合A、B、CD的关系如图所示，
不同的排法有A4A：
4A；2640种.
点评：
这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。
上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。
例14.A是由定义在［2,4］上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：
①对任意x［1,2］，都有
（2x）（1,2）;②存在常数L（0L
1），使得对任意的X1,X2［1,2］，都有
|（2xJ
（2X2）IL|X!
X2|
（1）设
（X）
納X,X
［2,4］，证明:
（2）设
（X）
A,如果存在X0（1,2）,
（3）设
（X）
A,任取Xl
（1,2）,令Xn
-k
1
成立不等式
|Xkl
.L
Xk|
|X2X1|。
使得X0
（x）
（2xo）,那么这样的X0是唯一的；
1（2xn）,n1,2,,证明：
给定正整数k,对任意的正整数p.
解:
对任意X[1,2],（2x）312x,x[1,2],33（2x）35,1-3352
（2xi）
312x12'「Cd3^_x；,
所以o<22
312x1312x11x231x2
312%2312%1x2
2=L,
所以（x）A
点评：
函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。
五•思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1•学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、三、=、
CsA、U,Q等等；
2•强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的
关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn
图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3•确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
1区别€与壬、丘与、a与｛a｝、©与｛$｝、｛（1,2）｝与｛1,2｝;
2AB时，A有两种情况：
A=$与Am"
3若集合A中有n（nN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n,所有真子集的个数是2n—
1,所有非空真子集的个数是2n2。
4区分集合中元素的形式：
如a{x|yX22x
1}；
B
2
{y|yx2x1}
；
c
2
{（x,y）|yx2
x1}
；
D
2
{x|xx2x1}；
E
2
{（x,y）|yx2x
1,x
Z,yZ}；
F
2
{（x,y'）|yx
2x
1}；
G
{z|yx22x
1,z
5空集是指不含任何元素的集合。
｛0｝、和｛｝的区别；0与三者间的关系。
空集是任何集合的子集,
是任何非空集合的真子集。
条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。
6符号“，”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“？
，
是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。
逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生
的推理技能，发展学生的思维能力。
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