几何最值之瓜豆原理巩固练习.docx

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几何最值之瓜豆原理巩固练习

几何最值之瓜豆原理巩固练习（基础）

1.如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（）

A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙

【解答】B

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，

甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；

乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD；

丙行走的距离是AF＋FC＋CD，

∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，

∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，

∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．

2.如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．

【解答】1.5

【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．

∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：

由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是△BPO的中位线，∴AF＝2.5，

当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴AC＝2.5－1＝1.5.

3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝

，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．

【解答】π

【解析】当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，

，

设

分别为AC、BC的中点，连接

交CP于点O，如图所示：

∵

，

当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆，

∴点M的运动路径长为π.

4.如图，正方形ABCD中，

，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．

【解答】

【解析】法一、∵OE＝2，∴点E可以看成是在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA至点P，使得AP＝OC，连接PE，如图所示：

∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，

当O、E、P三点共线时，PE的值最小，

，

，

∴OF的最小值是

.

法二、E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO＝2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．

考虑DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．

直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．

5.△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．

【解答】

【解析】如图，以AO为直角边作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90º，则AO＝FO，

，

∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90º，

∵∠BOC＝∠AOF＝90º，∴∠AOB＝∠COF，∴△AOB≌△FOC，∴CF＝AB＝4，

若点A、C、F三点不共线时，AF＜AC＋CF，

若点A、C、F三点共线时，AF＝AC＋CF，

∴AF≤AC＋CF＝2＋4＝6，∴AF的最大值是6，

∵

，∴AO的最大值是

；

法二、考虑到AB、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定AB，将AC看成动线段，由此引发正方形BCED的变化，求得线段AO的最大值．

根据AC＝2，可得C点轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆．

接下来题目求AO的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△BOC是等腰直角三角形，锐角顶点C的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心．

连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O，此时AO最大，根据AB先求AM，再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A半径的比值，得到MO，相加即得AO．

6.如图，已知点A是第一象限内横坐标为

的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝－x于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．

【解答】

【分析】根据∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：

AP:

AB＝

，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为

，P点轨迹长ON为

，故B点轨迹长为

．

7.如图，在平面直角坐标系中，A（－3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．

【解答】

【解析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据△ABP是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．

取两特殊时刻：

（1）当点B与点O重合时，作出P点位置P1；

（2）当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．

根据∠ABP＝60°可知：

与y轴夹角为60°，作OP⊥

，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以

．

8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，求CG的最小值是多少？

【解答】

【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在

位置，最终G点在

位置（

不一定在CD边），

即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥

的时候取到，作CH⊥

于点H，CH即为所求的最小值．

根据模型可知：

与AB夹角为60°，故

⊥

．

过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝

＝1，

，

所以

，因此CG的最小值为

．