七年级一元一次方程知识点.docx
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七年级一元一次方程知识点
七年级一元一次方程知识点
一、目录
1、从问题到方程
2、一元一次方程的解法
3、用一元一次方程解决实际问题
教学目标：
（a）了解一元一次方程的定义
（b）运用一元一次方程的解法
（c）掌握用一元一次方程解决实际问题
二、知识点结构梳理及例题
一元一次方程
1.方程：
含有未知数的等式叫做方程。
2.方程的解：
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
3.
次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。
可以化为ax+b=O（az0）的形式,分母中不能含有未知数。
4.求方程的解叫做解方程
定义类：
1、如果x3n-2-6=0是一元一次方程，则n=.
2、下面的等式中，是一元一次方程的为（）
12
A.3x+2y=0B.3+m=10C.2+=xD.a2=16
x
3、如果（n-3）xn-2+5=0是关于x的一元一次方程，求n的值.
4、如果关于x的方程（2m+5）x-3=2x，当a满足什么条件时该方程
是一元一次方程?
5、若2x-17的绝对值与18-3x的绝对值相等，则得到关于x的方程为
6、一个两位数，两个数位上的数字之和是7,把两个数位上的数字对调后得到新的两位数
比原来的两位数大25,求原来的两位数。
（设出未知数，列出方程）
练习:
（1）—元一次方程1-吕=丄□七成标准形式为,它的最简形式是
2
（2）已知方程2（2x+l）=3（x+2）-（x+6）去括号得。
（3）方程上—兰二1=竺兰_1,去分母后得到的方程是。
12208
r_51一2r
（4）把方程2.4-^—=二一的分母化为整数结果是o
0.40.05
（5）若3_r4n-7+5=0是一元一次方程，则呼。
等式的性质（解方程的依据）
1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。
如果a=b,那么a±
c=b±c。
2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。
如果a=b,那么ac=bc,-
c
=—（c丰0）
c
拓展：
①对称性：
如果a=b,那么b=a,即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；②传递性：
如果a=b,b=c,那么a=c（等量代换）练习：
1•等式的两边都加上（或减去）或,结果仍相等.
2•等式的两边都乘以_,或除以_的数，结果仍相等.
3.下列说法错误的是（
a•若竝二偽7则x二yb.若解二“，则一=一2雨
C.若.则：
—\D.若■；-'：
则_■—匚
4.下列等式变形错误的是（）
由a=b得——;
-9—9
由-3x=-3y得x=-y
A.由a=b得a+5=b+5;B.
C.由x+2=y+2得x=y;D.
5.运用等式性质进行的变形，正确的是（）
6.
7.如果方程2x+a=x-1的解是x=-4,求3a-2
7.已知2x=3y（xm0）,则下列比例式成立的是（）
A2
2"3
B2
Cx2
D爺3
2^7
3
2
4.
在下列式子中变形正确的是（
）
A.
如果a=b,那么
a+c=b-c
B.
如果a=b,那么且b
C.
如果寺4’那么a=2
D.
如果a-b+c=0,那么a=b+c
&下列说法正确的是（）
i
A.
如果ab=ac,那么b=c
B.
如果2x=2a-b,那么x=a-b
1
C.
如果a=b,那么丄―
1c2+lc2+l|
D.
等式'宀两边同时除以a,可得b=c
aa
9.下列叙述错误的是（）
A.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
B.等式两边乘以（或除以）同一个数（或式子），结果仍相等
C.锐角的补角一定是钝角
D.如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等
10.下列各式中，变形正确的是（）
A.若a=b,则a-c=b-cB.若2x=a,贝Ux=a-2
C.若6a=2b,则a=3bD.若a=b+2,则3a=3b+2
9.如果a=b,则下列等式不一定成立的是（）
Aa-c=b-c
Ba+c=b+c
C
ab
D
ac=bc
cc
11.下列等式变形错误的是（）
A.若一a+3=b-1,贝Ua+9=3b-3B.若2x-6=4y-2,贝Ux-3=2y-1
C.若x2-5=y2+1,则x2-y2=6D.若一--——,则2x=3y
32
12.下列方程变形正确的是（）
A.由方程：
'-,得3x-2x-2=6
23
B.由方程1,1I：
＜,得3（x-1）+2x=1
23
買—1
C.由方程—――..--m,得2x-1=3-6x+3
D.由方程
13.已知等式a=b成立,则下列等式不一定成立的是（）
A
a+m=b+m
B
-a=-b
C
-a+1=b-1
D
2仝（諾0）
14.下列说法正确的是（
三、解答题：
21.利用等式的性质解下列方程并检验
3x-1=4;
5
⑷8y=4y+1（5）7x-6=-5x（6）-
一元一次方程的解法
1.移项：
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项要变号。
2.解形如mx+p=nx+q的一元一次方程
（1）移项：
根据等式性质，将含未知数的项移到方程的一边（通常是等号左边），常数项移
到方程的另一边（通常是等号右边）mx-nx=q-p
（2）合并同类项：
化方程为ax=b（a,b为已知数,a丰0）的形式（m-n）x=q-p
（3）未知数系数化为1:
根据等式性质，将方程从ax=b的形式化为x=-的形式x=
am—n
（4）算出912的值，即为方程的解
m-n
2.解含有括号的方程：
（1）根据去括号法则去括号；
（2）移项；（3）化成标准形式ax=b;（4）系数化为1.
注意：
（1）去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；
（2）括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。
3.去分母解一兀一次方程
（1）去分母：
在方程两边同乘各分母的最小公倍数。
（2）去括号；（3）移项；（4）合并同
类项；（5）系数化为1
练习：
1、若x=2是关于x的方程2x•3m-1二0的解，则m的值为（A）
1
A-1B0C1D—
3
2、已知x=-3是方程k（x+4）—2k—x=5的解，则k的值是（A）
A—2B2C3D5
3、若方程2m•x二4与3x-1=2x•1的解相同，则m的值是（B）
A-1B1C-2D2
4、若8x-7与6-2x的值互为相反数，则x的值为（D）
13
10
A.由7x=4x—3移项得7x—4x=3
B.由么！
=1口去分母得2（2x-1）=13（x-3）
32
C.由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x—2-3x-9=1
D.由2（x1^x7移项、合并同类项得x=5
6、已知（m—3）xlm'=18是关于的一元一次方程，则（B）
Am=2Bm=—3Cm=
±3
Dm=1
7、下列变形中，正确的是（B）
A、若ac=bc,那么a=b。
B
、若a
=b,那么a=b
c
c
C
a=b,那么a=b。
D
、若
a2=b2那么a=b
1_X
8、方程X1去分母正确的是（C）.
4
Ax—1—x=—1B4x—1—x=—4C4x—1x=—4D4x—1x=—1
9、关于x的方程
ax+3=4x+1
的解为正整数，
则整数a的值为
（
D）
A2
B3
C1
或2
D
2或3
、十X+1
02x—1
10、把万程
二1中分母化整数
其结果应为（
B
）
0.4
0.7
3-2x
5
Co
47
、填空题：
1、若关于x的方程3x-7=2x•a的解与方程4x•3=7的解相同，则a的值为-6
2x1—x
2、方程T=1—二一去分母后得4x=6-1+x
36
xx115
3、方程2x-k的解是x=3,那么k2的值等于35
64k_6
4、已知三个数的比是5：
7：
9,若这三个数的和是252,则这三个数依次是_60、84、108_5、.已知2x5^3,用含x的代数式表示y,则y=
6、有一个两位数，十位数字为x,个位数字比十位数字大1,且个位数字与十位数字之和是这
1
个两位数的1,由题意列出的方程为45
5
7、关于x的方程（k+2）x2+4kx—5k=0是一元一次方程，则k=__-2
8、关于x的方程9x-2=kx，7的解是自然数，则整数k的值为8、6、
0
9、若方程3x3^n—1=0是关于x的一元一次方程，则n=__-1
.12a
10、如果x=-2是方程a（x+3）=—a+x的解，则a一一+1=19
22
三、解答题：
1、解下列方程
解:
x+k2_x
2、若方程3（x-1）^2x3与方程鼻上=分仝的解相同，求k的值。
53
解：
k二兰
3
一元一次方程模型的应用（难点）
1.一般步骤：
（1）审题；
（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。
弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。
解方程模型应用的几种类型
一元一次方程应用题的解题关键就是：
先找出等量关系，根据基本量设未知数。
一般是
问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。
解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
找等量关系：
①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量
关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。
主要的应用模型有以下几类：
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身
隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
（一）行程问题
行程问题中有三个基本量：
路程、时间、速度。
等量关系为：
①路程=速度X时间；
2速度=路程/时间；
3时间=路程/速度
1.航行问题
1顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
2逆水（风）速度=静水（无风）速度—水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
+水流速度（风速）=静水（无风）
顺水（风）速度-水流速度（风速）=逆水（风）速度
速度。
2.相遇问题
A走的路程+B走的路程=两地之间的距离
3.追击问题
同时不同地出发：
A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（AB出发时相距的距离）
4.环形问题
（1）同向行驶,如果A速度较快,则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行驶,A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（二）工程问题
1.工程问题的基本量有：
工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：
工作量=工作效率x工
作时间；
工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。
2.工程问题中,在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1,如果完成全部工
作的时间为t,则工作效率为1/t。
3.常见的相等关系有两种：
1如果以工作量作相等关系,A工作量+B工作量=总工作量。
2如果以时间作相等关系，对于同一工作：
A工作时间-B工作时间=时间差
一般情况下,合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
（三）销售计费问题
销售类问题主要体现为三大类：
①销售利润问题、②存贷问题。
这三类问题的基本量各不相同,在寻找相等关系时,一定要联系实际生活情景去思考,才能更好地理解问题的本质,正确列出方程。
（1）价格费用问题
费用问题中的基本量：
费用（总价）、单价、数量
基本关系式有
费用（总价）=单价X数量
分段计费：
总费用=第一阶段单价X数量+第二阶段单价X数量+……
（2）销售利润问题
利润问题中有四个基本量：
成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：
利润=销售价（收入）-成本（进价）；
成本（进价）=销售价（收入）-利润；
利润
利润率一我「i讥T；
利润=成本（进价）X利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价X折扣率。
打折问题中常以进价不变作相等关系。
打折：
n折即表示标价的n/10,如7折为70%
（3）存贷问题（利息、禾U润问题）
存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其关系式有：
1利息=本金X利率X期数；
2本息和（本利）=本金+利息
（四）溶液配比问题
溶液配比问题中有四个基本量：
溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含
量）。
其关系式为：
溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）;
溶质溶质
纯净物纯净物
纯度（含量）=；」二'X100%=+上頂X100%
由①②可得到：
溶质=浓度X溶液=浓度X（溶质+溶剂）。
（五）数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关
系：
任何数=E（数位上的数字X位权）（54=5X10+4）
如两位数ab=10a+b；三位数abc=100a+10b+c
练习：
行程问题：
1、甲、乙两人分别同时从相距300米的A、B两地相向而行，甲每分钟走15米，乙每分钟走
13米，问几分钟后，两个相距20米？
2、矿山爆破为了确保安全,点燃引火线后人要在爆破前转移到3000米以外的安全地带,引火
线燃烧的速度是0.8厘米/秒,人离开的速度是5米/秒,问引火线至少需要多少厘米？
3、一列车车身长200米,它经过一个隧道时,车速为每小时60千米,从车头进入隧道到车尾离开隧道共2分钟,求隧道长。
4、一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地,原路返回需要11小时才能到达甲地,已知水流速度为2千米/时,求轮船在静水中的速度。
5、一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离？
配套问题：
1.某车间100个工人,每人平均每天可加工甲零件18个或乙零件24个,要使每天加工的甲、乙零件配套（4个甲零件配3个乙零件）,应如何分配工人加工甲零件和乙零件？
2、机械厂加工车间有85名工人,平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个,已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
3、某厂生产一批西装,每2米布可以裁上衣3件,或裁裤子4条,现有花呢240米,为了使上衣
和裤子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米？
数字问题：
1、三个连续奇数的和是387,求这三个奇数。
2、三个连续偶数的和是18,求它们的积
3、在日历上任意画一个含有9个数字的方框（3X3），然后把方框中的
等于90,试求出这9个数字正中间的那个数。
9个数字加起来，结果
4、有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后
求原数。
，所得的数比原数小36，
5、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
1，若将此数个位与百
打折问题：
1、某商店从某公司批发部购100件A钟商品，80件B种商品,共花去2800元,在商店零售时
每件A种商品加价15%,每件B种商品加价10%，这样全部售出后共收入3140元，问A、B两种
商品的买入价各为多少元？
2、一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,
这种服装每件的进价是多少？
3、某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售,将赔25元,而按定价的九折出售
将赚20元,这种商品的定价为多少元？
工程问题：
1、一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程？
2、某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需16天,乙队单独完成需12天。
如先由甲队做
4天,然后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五？
3、已知某水池有进水管与出水管一根,进水管工作15小时可以将空水池放满,出水管工作
24小时可以将满池的水放完；
（1）如果单独打开进水管,每小时可以注入的水占水池的几分之几？
（2）如果单独打开出水管,每小时可以放出的水占水池的几分之几？
（3）如果将两管同时打开,每小时的效果如何？
如何列式？
（4）对于空的水池,如果进水管先打开2小时,再同时打开两管,问注满水池还需要多少时间？
4.有一个水池,用两个水管注水。
如果单开甲管,2小时30分注满水池,如果单开乙管,5小时注满水池。
①如果甲、乙两管先同时注水20分钟,然后由乙单独注水。
问还需要多少时间才能把水池注满？
②假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管3小时可以把一满池水放完。
如果三管同时开放,多少小时才能把一空池注满水？
年龄问题：
1、某中学初一学生小刚今年13岁,属羊,非常巧合的是,小刚的爷爷也是属羊的,而且两个人的年龄的和是86,你能算出小刚爷爷的年龄吗？
2、甲比乙大15岁,5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是.
3、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁,8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁,求小
华现在的年龄
等积变形问题：
1、用一根长40cm的铁丝围成一个平面图形,
（1）若围成一个正方形,则边长为,
面积为,此时长、宽之差为．
⑵若围成一个长方形，长为12cm,则宽为,面积为，此时长、宽之差为.
（3）若围成一个长方形,宽为5cm,则长为,面积为,此时长、宽之差为．
（4）若围成一个圆，则圆的半径为,面积为（n取3.14,结果保留一位小数）.
（5）猜想：
①在周长不变时，如果围成的图形是长方形，那么当长宽之差越来越小时，长方形的
面积越来越（填大”或小”②在周长不变时，所围成的各种平面图形中，的面积
最大.
2、将棱长为20cm的正方体铁块没入盛水量筒中，已知量筒底面积为12cm，问量筒中水面升高了多少cm？
古典数学：
1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。
2.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
溶液问题：
1、现有浓度为20％的盐水300克和浓度为30％的盐水200克，需配制成浓度为60％的盐水，问两种溶液全部混合后，还需加盐多少克？
2、要把浓度为90％的酒精溶液500克，稀释成浓度为75％的酒精溶液，需加水多少克.
方案问题：
1、某学校组织学生春游，如果租用若干辆45座的客车，则有15个人没有座位，如果租用同数量的60座的客车，则多出1辆，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250
元,60座的客车日租金为300元,问租用哪种客车更合算,租几辆车？
2、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机,已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别是：
甲种电视机每台1500元,乙种电视机每台2100元,丙种电视机每台2500元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的
进货方案,
（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元,销售一台乙种电视机可获利200元,销售一
台丙种电视机可获利250元．在同时购进两种不同型号电视机的方案中,为使销售进获利最多,你会选择哪种进货方案？
（3）若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台,请你设计进货方案．
其它：
1、一批宿舍,若每间住1人,有10人无处住,若每间住3人,则有10间无人住,那么这批宿舍有多少间,人有多少个？
2、一运输队运输一批货物,每辆车装8吨,最后一辆车只装6吨,如果每辆车装7.5吨,则有
3吨装不完。
运输队共有多少辆车？
这批货物共有多少吨？
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