二次函数综合动点问题相似三角形存在问题培优教案横版.docx

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二次函数综合动点问题相似三角形存在问题培优教案横版

二次函数综合（动点）问题——相似三角形存在问题

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

2、相似三角形的性质

3、相似三角形模型探究与解题技巧

教学目标

一、知识与技能

1、掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质；

2、掌握相似三角形的性质；

3、会对相似三角形模型进行探究，分类讨论不同对应边的情况，掌握解题技巧。

二、过程与方法

1、首先要掌握二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质，因为相似三角形存在问题是在二次函数的前提下进行的；

2、掌握相似三角形的性质，先脱离二次函数，再回到二次函数的情景中研究；

3、先从简单入手探究相似三角形的具体模型，引导学生归纳总结出解决此类问题的方法技巧，然后回到二次函数前提下的相似三角形的存在问题；

4、根据不同学生的实际情况，要求不同学生掌握简单、巩固、拔高各种层次的题型；

5、充分运用数形结合、转化、方程、分类讨论等数学思想来帮助解题。

三、情感、态度与价值观

1、培养学生的处理图像综合运用的能力；

2、让学生养成从特殊到一般，从简单到复杂的学习方法；

3、形成对图形的处理能力，形成解题技巧，树立对解决此类问题的信心；

4、培养学生数形结合、转化、方程、分类讨论等数学思想，形成特定的数学思维。

教学重点

是否存在一点使得两个三角形相似，如果存在求出点的坐标

教学难点

是否存在一点使得两个三角形相似，如果存在求出点的坐标

教学过程

一、课堂导入

如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．

问题：

这是三角形相似在平面直角坐标系中的一种运用，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线（直线、坐标轴等）上求作一点，使得未知三角形与已知三角形相似并求出该点坐标时,又该如何解答呢？

如果是存在两个动点（一个动点是由另一个动点引起的）又该如何解答？

二、复习预习

（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：

a＞0

a＜0

图象

开口

对称轴

顶点坐标

最值

当x＝　时，y有最　值是

当x＝时，y有最值是

增减性

在对称轴左侧

y随x的增大而　

y随x的增大而　

在对称轴右侧

y随x的增大而　

y随x的增大而　

（二）梯形的性质：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；

直角梯形的性质：

有两个角是直角的梯形；

等腰梯形：

两底角相等，两顶角相等，两腰相等，对角线相等的梯形。

（三）梯形模型探究：

1.已知三个定点，一个动点的情况

如图：

A、B两点坐标分别为（8，0）和（4，3），P点在y轴上且以O、A、B、P为顶点的四边形为梯形，则P点坐标为___________________。

如图：

分别以AB、AO、AP为梯形的平行边作平行线与y轴交于、，则、为满足题意的点P的坐标。

2.已知两个定点，两个动点的情况

①两个动点之间也存在因果关系，一个点的存在往往是因为另一个点的运动引起的，所以一般首先要根据题意通过一个动点表示出另一个动点；如果是抛物线上有一个动点，直线上有一个动点，一般要根据题意表示或求出两点的坐标，这类题型相对来说难度有些大；

②如果是梯形则用一组对边平行去求解待定参数，如果是直角梯形则分四个内角分别为直角去分类求解，如果是等腰梯形则用两腰相等去求解。

三、知识讲解

考点/易错点1

二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：

a＞0

a＜0

图象

开口

对称轴

顶点坐标

最值

当x＝　时，y有最　值是

当x＝时，y有最值是

增减性

在对称轴左侧

y随x的增大而　

y随x的增大而　

在对称轴右侧

y随x的增大而　

y随x的增大而　

考点/易错点2

相似三角形的性质：

（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（4）相似三角形的周长比等于相似比。

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

考点/易错点3

相似三角形模型探究与解题技巧：

1、课堂导入题解

如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．

解：

∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，

①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；

②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．

故答案可以是：

（-1，0）；（1，0）．

解析：

分类讨论：

①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；

如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。

2、几种常见的相似三角形模型

①直角三角形相似的几种常见模型

②非直角三角形相似的几种常见模型

3、解题技巧

函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形可能对应边成比例进行分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程。

四、例题精析

【例题1】

【题干】（宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与△AOC相似？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）y=x2-2x+3；

（2）P（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）.

【解析】解：

（1）可设y=a（x-4）2-1，

∵交y轴于点C（0，3），

∴3=16a-1，

∴a=，

∴抛物线的解析式为y=（x-4）2-1，

即∴y=x2-2x+3．

（2）存在．

当y=0，则（x-4）2-1=0，

∴x1=2，x2=6，

∴A（2，0），B（6，0），

设P（0，m），则OP=|m|在△AOC与△BOP中，

①若∠OCA=∠OBP，则△BOP∽△COA，

∴=，OP==4，

∴m=±4；

②若∠OCA=∠OPB，则△BOP∽△AOC，

∴=，OP==9，

∴m=±9，

∴存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，-4）、（0，9）或（0，-9）．

【例题2】

【题干】（巴中）如图所示，已知抛物线y=x2-4x+3与x轴交于A，B两点，C为抛物线的顶点，过点A作AP∥BC交抛物线于点P．

（1）求A，B，C三点坐标；

（2）求四边形ACBP的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，过点M作ME⊥x轴于点E，使A，M，E三点为顶点的三角形与△PCA相似？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）A（1，0），（3，0），C（2，-l）；

（2）4；（3）M1（0，3），M2（，），M3（6，15）.

【解析】解：

（1）①y=x2-4x+3令y=0，则x2-4x+3=0，

即x1=1，x2=3，

故点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），

∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，

∴抛物线的顶点C的坐标为（2，-l）； 

（2）∵过B，C两点的直线为y=x-3，AP∥BC，

∴设直线AP为y=x+b，

又∵点A的坐标为（1，0），

∴直线AP为y=x-1，②

由①②可知点P的坐标为（4，3），

所以，S四边形ACBP=S△ABP+S△ACB=×2×3+×2×1＝4；

（3）存在，点M的坐标为M1（0，3），M2（，），M3（6，15）．

由

（1）

（2）易知AP=3，AC=，PC=2，

∴AP2+AC2=PC2，

∴△PAC为Rt△，且∠PAC=90°，

∵ME⊥x轴，

∴以A，M，E三点为顶点的三角形也是Rt△，且∠MEA=90°，

假设点M是在x轴上方的抛物线上，设M为（a，a2-4a+3）且（a＜1或a＞3），

要使Rt△PAC和Rt△MEA相似，则有 

①Rt△PAC∽Rt△AEM，得＝，

②Rt△PAC∽Rt△MEA，得＝，

而AE=|1-a|，ME=a2-4a+3，由①得|1-a|=3（a2-4a+3），

解之a1＝ （舍去），a2=1（舍去），a3＝，a4=1（舍去），

再由②得3|1-a|=3（a2-4a+3），

解之，a5=0，a6=1（舍去），a7=6，a8=1（舍去），

综上所述：

存在点M的坐标，即为M1（0，3），M2（，），M3（6，15）．

【例题3】

【题干】（临沂）如图，已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）y=x2+2x；

（2）D1（1，3），D2（-3，3），D3（-1，-1）；（3）P（，）或（3，15）.

【解析】解：

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），且过A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得

，

解得.

故抛物线的解析式为y=x2+2x；

（2）①当AO为边时，

∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，

∴DE=AO=2，

则D在x轴下方不可能，

∴D在x轴上方且DE=2，

则D1（1，3），D2（-3，3）；

②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，

∵点E在对称轴上，对称轴为直线x=-1，

由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D3（-1，-1）

故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（-3，3），D3（-1，-1）；

（3）存在，如图：

∵B（-3，3），C（-1，-1），根据勾股定理得：

BO2=18，CO2=2，BC2=20，

∴BO2+CO2=BC2．

∴△BOC是直角三角形．

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，

设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

①若△AMP∽△BOC，则=，

即x+2=3（x2+2x）

得：

x1=，x2=-2（舍去）．

当x=时，y=，即P（，）．

②若△PMA∽△BOC，则=，

即：

x2+2x=3（x+2）

得：

x1=3，x2=-2（舍去）

当x=3时，y=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．

五、课堂运用

【基础】

1.（红河州）如图，抛物线y=-x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．

（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；

（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；

（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4），y=-2x+4；

（2）1，E（1，2）；（3）P1（-1,2），P2 （，）.

【解析】解：

（1）在y=-x2+4中，当y=0时，即-x2+4=0，解得x=±2．

当x=0时，即y=0+4，解得y=4．

所以点A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．

设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，解得.

所以直线BC的解析式为y=-2x+4．

（2）∵点E在直线BC上，

∴设点E的坐标为（x，-2x+4），

则△ODE的面积S可表示为：

S＝x（−2x+4）＝−x2+2x＝−（x−1）2+1．

∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．

此时，-2x+4=-2×1+4=2，

∴点E的坐标为（1，2）．

（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：

设点P的坐标为（x，-x2+4），0＜x＜2．

因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：

①当△PDO∽△COA时，＝，＝，

解得x1＝−1，x2＝−−1（不符合题意，舍去）．

当x＝−1时，y＝−（−1）2+4＝2−2．

此时，点P的坐标为（−1，2−2）．

②当△PDO∽△AOC时，＝，＝，

解得x3＝，x4＝（不符合题意，舍去）．

当x＝时，y＝−（）2+4=．

此时，点P的坐标为（，）．

综上可得，满足条件的点P有两个：

P1（−1，2−2），P2（，）．

2.（漳州）如图，直线y=-3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点．

（1）填空：

A（___，___）、B（___，___）、C（___，___）；

（2）求抛物线的函数关系式；

（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；

（2）y=x2-2x-3；（3）P（，-2）.

【解析】解：

（1）直线y=-3x-3中，

x=0，则y=-3；y=0，则x=-1；

∴A（-1，0），B（0，-3）；

根据旋转的性质知：

OC=OB=3，即C（3，0）；

∴A（-1，0），B（0，-3），C（3，0）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过B点，∴c=-3；

又∵抛物线经过A，C两点，

∴，解得；

∴y=x2-2x-3；

（3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F；

由

（2）得y=x2-2x-3=（x-1）2-4

∴E（1，-4）．

∵tan∠EDF=，tan∠DCO=；

∴∠EDF=∠DCO

∵∠DCO+∠ODC=90°，

∴∠EDF+∠ODC=90°；

∴∠EDC=90°，

∴∠EDC=∠DOC；

①当=时，△ODC∽△DPC，

则=，

∴DP=

过点P作PG⊥y轴，垂足为点G；

∵tan∠EDF==，

∴设PG=x，则DG=3x

在Rt△DGP中，DG2+PG2=DP2．

∴9x2+x2=，

∴x1=，x2=-（不合题意，舍去）

又∵OG=DO+DG=1+1=2，

∴P（，-2）；

②当=时，△ODC∽△DCP，则=，

∴DP=3；

∵DE==，

∴DP=3（不合题意，舍去）

综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，此时点P的坐标为P（，-2）．

3、（临汾）如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．

（1）求A点的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】

（1）A（1，0）；

（2）y=x2-4x+3；（3）Q1（0，0），Q2（，0）.

【解析】解：

（1）∵直线y=-x+3与x轴相交于点B，

∴当y=0时，x=3，

∴点B的坐标为（3，0）．

又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，

根据抛物线的对称性，

∴点A的坐标为（1，0）．

（2）∵y=-x+3过点C，易知C（0，3），

∴c=3．

又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），

∴，解得；

∴y=x2-4x+3．

（3）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），

设抛物线的对称轴交x轴于点M，

∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，

∴∠PBM=45°，PB=．

由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，

由勾股定理，得BC=3．

假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

①当＝，∠PBQ=∠ABC=45°时，△PBQ∽△ABC．

即＝，

∴BQ=3，

又∵BO=3，

∴点Q与点O重合，

∴Q1的坐标是（0，0）．

②当＝，∠QBP=∠ABC=45°时，△QBP∽△ABC．

即＝，

∴QB=．

∵OB=3，

∴OQ=OB-QB=3-＝，

∴Q2的坐标是（，0）．

∵∠PBQ=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，

∴∠PBQ≠∠BAC．

∴点Q不可能在B点右侧的x轴上

综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（，0），

能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

【巩固】

1.（谷城县模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】

（1）y=-x2-x+2；

（2）P（-，）；（3）Q（-2，2）或（-，）.

【解析】解：

（1）∵二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，

∴，解得，

∴二次函数的解析式为y=-x2-x+2

（2）令x=0，则y=2，

∴点C（0，2），

设直线AC的解析式为y=kx+m（k≠0），

则，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+2，

由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，

此时设过点P的直线为y=x+n，

联立，

消掉y得，-x2-x+2=x+n，

整理得，2x2+6x-6+3n=0，

△=62-4×2×（-6+3n）=0，

解得n=，

此时x1=x2=-=-，

y=×（-）+=，

∴点P（-，）时，△ACP的面积最大；

（3）存在点Q（-2，2）或（-，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．

理由如下：

设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，-c2-c+2），

BE=1-c，

①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，

∴=，

即=，

整理得，c2+c-2=0，

解得c1=-2，c2=1（舍去），

此时，-×（-2）2-×（-2）+2=2，

点Q（-2，2）；

②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，

∴=，

即=，

整理得，4c2-c-3=0，

解得c1=-，c2=1（舍去），

此时，-×（-）2-×（-）+2=，

点Q（-，），

综上所述，存在点Q（-2，2）或（-，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．

2.（莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-3，0）、B（1，0）、C（-2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）y=-x2−x+1；

（2），D（−，）；（3）P的坐标为（-8，-15）、（2，-）、（10，-39）.

【解析】解：

由题意可知，解得,；

∴抛物线的表达式为y=-x2−x+1.

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．

设直线MA的表达式为y=kx+b，

则，解得；

∴直线MA的表达式为y=x+1.

设点D的坐标为（x0，−x02−x0+1），

则点F的坐标为（x0，x0+1）．

DF=−x02−x0+1−（x0+1）=−x02−x0＝−（x0+）2+．

当x0＝−时，DF的最大值为．

此时−x02−x0+1＝，即点D的坐标为（−，）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，−m2−m+1）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．

①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN，

∴−m2−m+1＝3（m+3），即m2+11m+24=0．解得m=-3（舍去）或m=-8．又-3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，

∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN，

∴−m2−m+1＝−3（−m−3），即m2+11m+24=0．

解得m=-3或m=-8．此时点P的坐标为（-8，-15）．

③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，

则-3（−m2−m+1）＝m+3，即m2+m-6=0．

解得m=-3（舍去）或m=2．

当m=2时，−x02−x0+1＝−．此时点P的坐标为（2，-）．

若PN=3NA，则-（−m2−m+1）＝3（m+3），即m2-7m-30=0．

解得m=-3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，-39）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8，-15）、（2，-）、（10，-39）．

【拔高】

1.（毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；

（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）

（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使