请说明你的理由．
四、经典中考题
4．（连云港，）如图所示，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边CD上的点E，折痕为DF，连结EF并展开纸片．
（1）求证：
四边形ADEF是正方形；
（2）取线段AF的中点G，连结EG，结果BG=CD，试说明四边形GBCE是等腰梯形．
五、探究学习篇
1．（翻折变换题）如图20-5-8所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E，若AD=2，BC=8，求BE的长．
2．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别是BM，CM的中点．
（1）试说明△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是什么图形？
请说明理由．
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC的长有何数量关系？
请说明理由．
3．阅读：
下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程．已知：
在四边形ABCD中，AB=DC，AC=BD，AD≠BC．试说明四边形ABCD是等腰梯形．
解：
过点D作DE∥AB，交BC于点E，如图20-5-10所示．则∠ABE=∠1①．因为AB=DC，AC=DB，BC=CB②，所以△ABC≌△DCB，所以∠ABC=∠DCB③，所以∠1=∠DCB④，所以AB=DC=DE⑤，所以四边形ABCD是平行四边形⑥，所以AD∥BC⑦．又因为AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形⑧．因为AB=CD，所以四边形ABCD是等腰梯形⑨．阅读填空：
（1）说明过程是否有错误？
错在第几步？
答：
_______．
（2）有人认为第⑧步是多余的，你认为呢？
为什么？
答：
___________．
（3）若题目中没有AD≠BC，那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗？
为什么？
答：
___________．
参考答案
一、1．解法一：
如图1所示，过A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，
在梯形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，
因为∠BAD=120°，所以∠B=60°．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠B=30°，所以BE=
AB=6cm．
因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠C=∠B=60°，所以CF=
CD=6cm．
因为四边形AEFD是矩形，所以EF=AD=15cm，所以BC=BE+EF+CF=27cm．
图1图2图3
解法二：
如图2所示，过A作AE∥CD交BC于E点，
因为AD∥BC，所以四边形AECD是平行四边形．所以EC=AD=15cm，AE=CE．
又因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD=180°，因为∠BAD=120°，所以∠B=60°，
因为AB=CD，所以AB=AE，所以△ABE是等边三角形，
所以BE=AB=12cm，所以BC=BE+EC=15+12=27（cm）．
解法三：
如图3所示，延长BA和CD交于点P，
在梯形ABCD中，AB=CD，所以∠B=∠C，
因为AD∥BC，所以∠PAD=∠B，∠PDA=∠C，∠BAD+∠B=180°．
因为∠BAD=120°，
所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°，所以△PAD和△PBC都是等边三角形．
所以PA=AD=15cm，PB=PA+AB=12+15=27（cm），所以BC=PB=27cm．
点拨：
以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛，通过它们把梯形的问题转化为平行四边形，三角形等的问题来解决，体现了“转化”的数学思想．
二、2．解：
四边形EBCF是等腰梯形．理由如下：
因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD，AD=BC．
又因为AO=OC，OB=OD，所以OA=OD=OC=OB．
又因为E，F分别是OA，OD的中点，所以OE=OF，所以∠OEF=∠OFE．
因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．
又因为∠EOF=∠BOC，所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB，即2∠OFE=2∠OBC，
所以∠OFE=∠OBC，所以EF∥BC．
因为EF≠AD，所以EF≠BC．所以四边形EBCF是梯形．
因为OE=OF，OB=OC，∠EOB=∠FOC，所以△OEB≌△OFC，所以BE=CF，
所以四边形EBCF是等腰梯形．
点拨：
本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题．要说明一个四边形为等腰梯形，需先说明这个四边形为梯形（这一条很容易被忽略），再说明这个梯形为等腰梯形．
三、3．解：
小军得到的四边形ABCD是等腰梯形，理由如下：
如图所示，延长DA，CB交于点E，因为AC=BD，∠1=∠2，CD=DC．
所以△ADC≌△BCD（S．A．S．），所以AD=BC，∠ADC=∠BCD．所以ED=EC，
所以ED-AD=EC-BC，即EA=EB．所以∠3=∠4，
因为∠3+∠4+∠E=180°，∠ADC+∠BCD+∠E=180°，
所以∠3=
，∠ADC=
，所以∠3=∠ADC．所以AB∥CD，
又因为OA所以四边形ABCD是等腰梯形．
点拨：
要想使四边形ABCD是等腰梯形，关键是求得AB∥DC和AD=BC，可通过同位角相等和三角形全等分别求出．
四、4．证明：
如图所示，
（1）因为∠A=90°，AB∥DC，所以∠ADE=90°．
由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合，知AD=DE，∠DEF=90°．
所以四边形ADEF是矩形，且邻边AD，DE相等．
所以四边形ADEF是正方形．
（2）因为CE∥BG，且CE≠BG，所以四边形GBCE是梯形，因为四边形ADEF是正方形，
所以AD=FE，∠A=∠GFE=90°，又点G为AF的中点，所以AG=FG，连结DG．
在△AGD与△FGE中，因为AD=FE，∠A=∠GFE，AG=FG，所以△AGD≌△FGE，
所以∠DGA=∠EGB．因为BG=CD，BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形．
所以DG∥CD．所以∠DGA=∠B．所以∠EGB=∠B．所以四边形GBCE是等腰梯形．
五、探究学习
1．解：
因为△BFE与△DFE关于EF对称，所以△BFE≌△DFE．所以BE=DE．
又因为∠DBC=45°，所以∠EBD=∠EDB=45°，所以∠BED=90°．
过A作AH⊥BC于H，如图所示．因为AD∥BC，所以∠BED=∠ADE=90°．
又因为∠AHE=90°，所以四边形ADEH是矩形．所以AD=HE，AH=DE．
在Rt△ABH和Rt△DCE中，因为AB=DC，AH=DE，所以Rt△ABH≌Rt△DCE，所以BH=EC．
所以EC=
×（BC-AD）=
×（8-2）=3，所以BE=BC-EC=8-3=5．
点拨：
要求BE的长，因为BC已知，只需求EC的长，由已知条件可得∠DEC=90°，故联系梯形常作辅助线，易求EC的长．
2．解：
（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB=CD，∠A=∠D．
因为M是AD的中点，所以AM=DM，所以△ABM≌△DCM．
（2）四边形MENF是菱形．理由：
由△ABM≌△DCM，得MB=MC．
连结MN，因为N是BC的中点，所以MN⊥BC，
而E，F分别是MB，MC的中点，
所以ME=
MB，MF=
MC，NE=
MB，NF=
MC（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半），所以ME=MF=NF=NE，所以四边形MENF是菱形．（3）梯形的高等于底边BC的长的一半；理由：
因为四边形MENF是正方形，所以∠BMC=90°．
由
（2）知MN是梯形的高，因为N是中点，所以MN=
BC．
点拨：
在
（2）的解答过程中，易只判断出是平行四边形的情况，出现说理不彻底不全面的错误，这也是解此类题的难点．
3．解：
（1）没有错误；
（2）第⑧步不是多余的，因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义；（3）不一定，因为当AD=BC时，四边形ABCD是矩形．
点拨：
做这种阅读材料的题时，一定要耐心，仔细地一步步读题．
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