中考数学 专题突破导学练 第16讲 三角形与全等三角形试题.docx

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中考数学专题突破导学练第16讲三角形与全等三角形试题

第16讲三角形与全等三角形

【知识梳理】

（一）三角形

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三边关系：

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3.高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4.中线：

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

5.角平分线：

三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6.三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7.多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8.多边形的内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9.多边形的外角：

多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10.多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11.正多边形：

在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

12.平面镶嵌：

用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

13.公式与性质

三角形的内角和：

三角形的内角和为180°

三角形外角的性质：

性质1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形内角和公式：

n边形的内角和等于（n-2）·180°

多边形的外角和：

多边形的外角和为360°。

多边形的对角线：

（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）n边形共有

条对角线。

（二）全等三角形

1.全等三角形：

两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。

2．全等三角形的性质：

全等三角形的对应角相等、对应边相等。

3.三角形全等的判定公理及推论有：

（1）“边角边”简称“SAS”

（2）“角边角”简称“ASA”

（3）“边边边”简称“SSS”

（4）“角角边”简称“AAS”

（5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。

4.角平分线推论：

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

【考点解析】

考点一：

三角形的有关概念和三角形三边的关系

【例1】（2017•宁德）在△ABC中，AB=5，AC=8，则BC长不可能是（　　）

A．4B．8C．10D．13

【考点】K6：

三角形三边关系．

【专题】11：

计算题．

【分析】根据三角形三边的关系得到3＜BC＜13，然后对各选项进行判断．

【解答】解：

∵AB=5，AC=8，

∴3＜BC＜13．

故选D．

【点评】本题考查了三角形三边的关系：

三角形任意两边之和大于第三边．

考点二、三角形内角和定理及推论

【例2】（2017湖南株洲）

如图，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，则∠BAD=（　　）

A．145°B．150°C．155°D．160°

【考点】K7：

三角形内角和定理．

【分析】根据三角形内角和定理求出x，再根据三角形的外角的等于不相邻的两个内角的和，即可解决问题．

【解答】解：

在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，

∴6x=180，

∴x=30，

∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°，

故选B．

考点三：

三角形的中位线

【例3】（2017甘肃张掖）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】N3：

作图—复杂作图；KX：

三角形中位线定理．

【分析】作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．

【解答】解：

如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，

方法：

作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．

考点四、全等三角形

【例4】（2017•温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．

（1）求证：

△ABC≌△AED；

（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质．

【分析】

（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；

（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．

【解答】解：

（1）∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

又∵∠BCD=∠EDC=90°，

∴∠ACB=∠ADE，

在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（SAS）；

（2）当∠B=140°时，∠E=140°，

又∵∠BCD=∠EDC=90°，

∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

考点五、角平分线和线段的垂直平分线

【例5】（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

（1）PM=PN恒成立；

（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

【考点】KD：

全等三角形的判定与性质；KF：

角平分线的性质．

【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．

【解答】解：

如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，

∴∠EPF+∠AOB=180°，

∵∠MPN+∠AOB=180°，

∴∠EPF=∠MPN，

∴∠EPM=∠FPN，

∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，

∴PE=PF，

在△POE和△POF中，

，

∴△POE≌△POF，

∴OE=OF，

在△PEM和△PFN中，

，

∴△PEM≌△PFN，

∴EM=NF，PM=PN，故

（1）正确，

∴S△PEM=S△PNF，

∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，

∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故

（2）正确，

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选B．

【中考热点】

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【考点】R2：

旋转的性质．

【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．

【解答】解：

如图连接PC．

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，

∴AB=4，

根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，

∴A′P=PB′，

∴PC=

A′B′=2，

∵CM=BM=1，

又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，

∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．

故选B．

【达标检测】

一选择题：

1.（2017甘肃张掖）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（　　）

A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．0

【考点】K6：

三角形三边关系．

【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【解答】解：

∵a、b、c为△ABC的三条边长，

∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，

∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）

=0．

故选D．

2.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　）

A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm

C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．

【解答】解：

A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；

B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；

C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；

D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．

故选D．

3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）

A．6B．5C．4D．3

【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．

【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=

BC．

【解答】解：

∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，

∴BC=6．

又∵DE垂直平分AC交AB于点E，

∴DE是△ACB的中位线，

∴DE=

BC=3．

故选：

D．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

4.如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．

【解答】解：

由题意可得：

MN是AC的垂直平分线，

则AD=DC，故∠C=∠DAC，

∵∠C=30°，

∴∠DAC=30°，

∵∠B=55°，

∴∠BAC=95°，

∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，

故选A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．

二填空题：

5.（2017•黑龙江）如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件　AB=DE或BC=EF或AC=DF　，使得△ABC≌△DEF．

【考点】KB：

全等三角形的判定．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．

【解答】解：

∵BC∥EF，

∴∠ABC=∠E，

∵AC∥DF，

∴∠A=∠EDF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF，

同理，BC=EF或AC=DF也可求证△ABC≌△DEF．

故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF均可．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

6.（2017江苏盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1=　120　°．

【考点】K8：

三角形的外角性质；K7：

三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．

【解答】解：

由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，

故答案为：

120．

7.如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　2　．

【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．

【解答】解：

作PE⊥OA于E，

∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠BOP=∠AOP=15°，

∴∠AOB=30°，

∵PC∥OB，

∴∠ACP=∠AOB=30°，

∴在Rt△PCE中，PE=

PC=

×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴PD=PE=2，

故答案是：

2．

8.已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为

A．7B．10C．11D．10或11

【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

【解答】解：

把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

三解答题：

9.（2017乌鲁木齐）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：

AE∥CF．

【考点】L5：

平行四边形的性质；KD：

全等三角形的判定与性质．

【分析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．

【解答】证明：

连接AC，交BD于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵BF=ED，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF．

10.如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．

（1）求证：

△AGE≌△BGF；

（2）试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．

【考点】L5：

平行四边形的性质；KD：

全等三角形的判定与性质；KG：

线段垂直平分线的性质．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠AEG=∠BFG，由AAS证明△AGE≌△BGF即可；

（2）由全等三角形的性质得出AE=BF，由AD∥BC，证出四边形AFBE是平行四边形，再根据EF⊥AB，即可得出结论．

【解答】

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEG=∠BFG，

∵EF垂直平分AB，

∴AG=BG，

在△AGEH和△BGF中，

，

∴△AGE≌△BGF（AAS）；

（2）解：

四边形AFBE是菱形，理由如下：

∵△AGE≌△BGF，

∴AE=BF，

∵AD∥BC，

∴四边形AFBE是平行四边形，

又∵EF⊥AB，

∴四边形AFBE是菱形．