测量计算题.docx

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测量计算题

、直线定向

1、正、反方位角换算

对直线一二£而言，过始点以的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹角

是工三的正方位角，而过端点占的坐标纵轴平行线指北端顺时针至直线的夹

角：

；_£则是以三的反方位角，同一条直线的正、反方位角相差-：

-：

，即同一直线的正反方位角

（1-13）

ai-14周一F陵的1E反育禮角

上式右端，若'%<-；［」，用“+”号，若匚丄-1-'■:

，用“―”号。

2、象限角与方位角的换算

一条直线的方向有时也可用象限角表示。

所谓象限角是指从坐标纵轴的指北端或指南端起始，至直线的锐角，用

1-4。

示，取值范围为-：

3--=

为了说明直线所在的象限，在丘前应加注直线所在象限的名称。

四个象限的名称分别为北东（N巳、

南东（SE、南西（SW）、北西（NW）。

象限角和坐标方位角之间的换算公式列于表

象限

象限角丘与方位角也换算公式

第一象限（NE

曲=R

第二象限（SE）

住=1创-—应

第三象限（SW

&=1呂0B+应

第四象限（NW

a=呂60"—R

表1-4象限角与方位角关系表

3、坐标方位角的推算

北

Ml-13無保舞

测量工作中一般并不直接测定每条边的方向，而是通过与已知方向进行连测，推算岀各边的坐标方位角

设地面有相邻的上、启、二三点，连成折线（图1-17、，已知」二丘边的方位角，又测定了止弓和I：

之间的水平角’一，求口丁边的方位角•乩，即是相邻边坐标方位角的推算。

水平角’又有左、右之分，前进方向左侧的水平角为'工，前进方向右侧的水平角’‘络

（&）Cb>

圈w通利黑边樂标方挝创的擢算

设三点相关位置如图1-17（-；）所示，应有

■=I丄+」工+［二-（1_14）

设三点相关位置如图1-17（7）所示，应有

•」D+'匚+二"—厂「二丄+亠—U（1-15）

若按折线前进方向将视为后边，三匚视为前边，综合上二式即得相邻边坐标方位角推算的通式:

-■-+'‘工U

（1-16）

显然，如果测定的是和三匚之间的前进方向右侧水平角*，因为有-'—讥，代入上式即得通式

（1-17）

上二式右端，若前两项计算结果v二：

，，二丁前面用“+”号，否则二丁前面用“―”号。

二、坐标推算

1、坐标的正算

地面点的坐标推算包括坐标正算和坐标反算。

坐标正算，就是根据直

线的边长、坐标方位角和一个端点的坐标，计算直线另一个端点的坐标的

工作。

如图1所示，设直线AB的边长DAB和一个端点A的坐标XA、YA为已知，则直线另一个端点B的坐标为：

XB=XAKXAB

YB=YAKYAB

式中，△XAB△YAB称为坐标增量，也就是直线两端点A、B的坐标

值之差。

由图1中，根据三角函数，可写出坐标增量的计算公式为：

△XAB=DABCOSaAB

△YAB=DABsinaAB

式中△X、AY均有正、负，其符号取决于直线

丘的坐标方位角所在的象限,

参见表1-5

表1-5不同象限坐标增量的符号

坐标方位角氐血及其所在象限

之符号

D血之符号

0・~9『（第一象限）

+

+

90"-ISO"（第二象限）

+

180"—270"（第三象限）

—

—

270"-360'（第四象限）

+

2、坐标的反算

根据上、£两点的坐标和亠-上、'-，推算直线上亦的水平距离上丄与坐标方位角二'二，为坐标反算。

由图

1可见，其计算公式为：

'„=

（1-20）

二」二「’—<1：

「；「二

（1-21）

注意，由（1-20）式计算'厲时往往得到的是象限角的数值，必须参照表1-5表1-4，先根据、‘的正、负号，确定直线匸占所在的象限，再将象限角化为坐标方位角

"^曲iv„AS

例如、‘応均为—1。

这时由（1-20）式计算得到的'丄数值为二丁，但根据、厂的符号判断,

直线上白应在第三象限。

因此，最后得亠;=4亍一二厂=^-=，余类推。

表1-4象限角与方位角关系表

象

限

象限角丘与方位角曲换算公式

第一象限

（NE

第二象限

（SE）

肚=1賀°—R

第三象限

（SW

7=咗0n+丘

第四象限

（NW

工二60°—R

三、举例

1、某导线12边方位角为45°,在导线上2点测得其左角为250°,求a32?

解：

1）23边的方位角：

根据公式+'工±二「

因a12=250°,a12>180°,

故计算公式中，IV前面应取“―”号:

=45°+250°—180°

=115°

2）求a23反方位角:

根据公式：

4==二土匸厂，本例a23V180。

，故二丁前面应取“+”号:

a32=a23+=295°

谿奋鈴毎國勰題阈気

、水准测量内业的方法:

水准测量的内业即计算路线的高差闭合差，如其符合要求则予以调整，最终推算岀待定点的高程。

1.高差闭合差的计算与检核

附合水准路线高差闭合差「丄为:

（2-8）

闭合水准路线高差闭合差为:

（2-9）

-Mmm

（2-11）

为了检查高差闭合差是否符合要求，还应计算高差闭合差的容许值（即其限差）。

一般水准测量该容许值规定为

山地

平地

式中，上一水准路线全长，以km为单位；'：

一路线测站总数。

2.高差闭合差的调整

若高差闭合差小于容许值，说明观测成果符合要求，但应进行调整。

方法是将高差闭合差反符号，按与测段的长度（平

地）或测站数（山地）成正比，即依下式计算各测段的高差改正数，加入到测段的高差观测值中：

（平地）

（山地）

式中，二丄一路线总长；’」一第：

测段长度（km）=1、2、3...）;

丄"—测站总数；"：

一第：

测段测站数。

3.计算待定点的高程

将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：

hi改=hi+/hii=1,2,3,

据此，即可依次推算各待定点的高程。

如上所述，闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。

二、举例

1.附合水准路线算例

下图2-18所示附合水准路线为例，已知水准点A、B和待定点1、2、3将整个路线分为四个测段

冷观立必躺循

1^2-18R****tt*M

表2-2附合水准路线计算

号段

-F

名点

数站测

/m差高测观

/m数正改

/m差高后正改

/m和高

注备

2

3

4

5

6

7

8

口

MB

口

4

6

3

8+

□

□

□

0°

2

□

□

□

52

27

匚

□

6

4+

3

5+

2

M

B

□

Z-

口

7a+

3

8&

+

n

助算辅计

m34O.a+

--

mm54

+

-

2

11+

--

1）将点名、各测段测站数、各测段的观测高差“、已知高程数填入表2-2内相应栏目2、3、4、7（如系平地测量，则

将测站数栏改为公里数栏，填入各测段公里数；表内加粗字为已知数据）。

2）进行高差闭合差计算：

=8.847—（48.646—39.833）=+0.034m

由于图中标注了测段的测站数，说明是山地观测，因此依据总测站数

计算高差闭合差的容许值为:

丿心=丄一一匸T=土

54mm

计算的高差闭合差及其容许值填于表2-2下方的辅助计算栏。

3）高差闭合差的调整fh

本例中，将高差闭合差反符号，按下式依次计算各测段的高差改正数：

A„

=—绚_

/=-（二：

一测站总数，冬一第m测段测站数）

第一测段的高差改正数为：

h.——科1二一——x8

/=—14mm

同法算得其余各测段的高差改正数分别为—5、—7、—8mm依次列入表2-2中第5栏。

注：

1、所算得的高差改正数总和应与高差闭合差的数值相等，符号相反，以此对计算进行校核。

如因取整误差造成二者岀现小的较差可对个别测段高差改正数的尾数适当取舍1mm以满足改正数总和与闭合差数值相等的要求。

2、若为平地，高差改正数按各测段长度比例分配：

用公式/"=-工计算，式中，二二一路线总长；匚一第:

测段长度（km）（：

=1、2、3...）。

4）计算待定点的高程

将高差观测值加上改正数即得各测段改正后高差：

hi改=hi+/hii=1，2，3，4

据此，即可依次推算各待定点的高程。

（上例计算结果列入表2-2之第6、7栏）。

H1=HA+H1改

H2=H1+H2改

HB（算）=HB（已矢知）

注：

改正后的高差代数和，应等于高差的理论值（HB-HA），即：

Eh改=HB-HA

如不相等，说明计算中有错误存在。

最后推岀的终点高程应与已知的高程相等。

2闭合水准路线算例

闭合水准路线的计算方法除高差闭合差的计算有所区别而外，其余与附合路线的计算完全相同。

计算时应当注意高差闭合差的公式为：

fh=Eh测。

如图2所示一闭合水准路线，A为已知水准点，A点高程为51.732m,，其观测

成果如图中所示，计算1、2、3各点的高程。

将图中各数据按高程计算顺序列入表2进行计算：

表2水准测量成果计算表

测段号

点名

测站数

观测高差

/m

改正数/mm

改正后

高差/m

高程

/m

1

2

3

4

5

6

7

1

BMA

11

—1.352

0.006

—1.346

51.732

1

50.386

2

8

2.158

0.004

2.162

2

52548

3

6

2.574

0.003

2577

52.548

3

2.577

55.125

4

7

—3.397

0.004

—3.393

BMB

51732

E

BMB

—0.017

0.017

n

51.732

32

0

辅助计算

几=30mm

亍晦=±1mn=±68mm

计算步骤如下：

=3.766—3.736

=0.030m=30mm

⑶计算容许闭合差fh容=一-=±68mm

fh

⑷计算高差改正数

高差闭合差的调整方法和原则与符合水准路线的方法一样。

本例各测段改正数

vi计算如下:

/L：

=—（fh/En）xn仁一（一17/32）x11=6mm

/h2=—（fh/En）xn2=—（—17/32）x8=4mm

检核E/h=—fh=—0.030m

⑸计算改正后高差h改

各测段观测高差hi分别加上相应的改正数后/hi，即得改正后高差:

hl改=h1+/h1=—1.352+0.006=-1.346m

h2改=h2+/h2=2.158+0.004=2.162m

注：

改正后的高差代数和，应等于高差的理论值0,即：

Eh改=0，如不相等，说明计算中有错误存在。

⑹高程计算

测段起点高程加测段改正后高差，即得测段终点高程，以此类推。

最后推岀的终点高程应与起始点的高程相等。

即:

H1=HA+h1改=51.732-1.346=50.386m

H2=H1+h2改=50.386+2.162=52.548m

HA（算）=HA（已知）=51.732m

⑴计算实测高差之和Eh测=3.766m

计算中应注意各项检核的正确性。

测回袪观测颤序

一、经纬仪测回法测水平角

1、基本数据：

设上、匸、占为地面三点，为测定匚空、匚三两个方向之间的水平角

（图3-7），采用测回法进行观测。

1）上半测回（盘左）水平度盘读数：

「，在O点安置经纬仪

目标二：

丘=0°02'06",

目标占：

：

一=68°49'18";

2）下半测回（盘右）水平度盘读数：

目标占：

’二=248"49'30",

目标工：

亡=180°02'24"

2、填表与计算：

1）将目标A、目标B水平度盘读数填入表3-1第4栏。

测站

目标

竖盘

位置

水平度盘读数

O/〃

半测回角值

O/〃

一测回角值

O/〃

备注

1

2

3

4

5

6

7

O

左

00206

684712

684709

B

684918

乂

右

1800224

684706

2484930

表3-1水平角观测手簿（测回法）

2）计算半测回角，并将结果填入表3-1第5栏：

盘左：

匚■-亠.l」―”=:

L「工

盘右.瘙二如■砒二24肾4丁30・・诣『02吆屮=住划丁0『

注：

计算角值时，总是右目标读数减去左目标读数；，若"，则应加「广

3）计算测回角值-，并填入表3-1第6栏。

68'4ri2ff+68'47'06*

注：

1.同一方向的盘左、盘右读数大数应相差

=68D47f09*

180°；

2•半测回角值较差的限差一般为-'";

3•为提高测角精度，观测"个测回时，在每个测回开始即盘左的第一个方向，应旋转度盘变换手轮配置水平度盘读数,

使其递增。

各测回平均角值较差的限差一般为二＞r。

水平角取各测回角的平均值。

二、经纬仪测竖直角

竖直角（简称竖角）是同一竖直面内目标方向和水平方向之间的角值-，仰角为正，俯角为负，其绝对值为二亠U

1、竖盘构造

经纬仪竖直度盘固定在横轴一端，随望远镜一道转动，竖盘指标线受竖盘指标水准管控制，当指标水准管气泡居中时，

指标线应在铅垂位置。

目标方向可通过竖直度盘（简称竖盘）读取读数（始读数），而水平方向的读数已刻在竖盘上。

Cfl）盘左Ch）蛊右

03-9里远縄球甲时的吼稚響議

2、竖直角的计算公式

图3-9所示竖盘按顺时针方向注记，且望远镜水平时竖盘读数为：

盘左为［广，盘右为厂

盘左'-?

L■:

-：

1--（3-4）

盘右（3-5）

其平均值为-（3-6）

注：

竖盘注记形式不同，计算公式也不同。

3、竖直角记录整理举例：

设上点安置经纬仪观测巴目标、C目标的竖角，观测值如下：

目标占：

盘左：

竖盘读数为丄（设为」-■1-）;

盘右：

竖盘读数为厂：

（设为-''）。

目标C盘左：

竖盘读数为-（设为99°41'12"）;

盘右：

竖盘读数为r：

（设为260°18'00"）。

1）将竖盘读数填入下表3-4第4栏。

表3-4竖直角观测手簿

测站

目标

竖盘位置

竖盘读数

半测回竖角

指标差

一测回竖角

备注

O/〃

O/〃

3）”

O/〃

1

2

3

4

5

6

7

8

B

左

823712

+72248

+3

+72251

右

2772254

+72254

C

左

994112

—94112

—24

—94136

右

2601800

—94200

注：

盘左视线水平时，竖盘读数为90°,视线上斜读数减少

2）计算半测回角，并填入表3-4第5栏中。

盘左亠一'（3-4）

（3-5）

3）计算指标差x，填入表3-4第6栏。

X。

指标差有两种计算方法:

指标水准管气泡居中时，指标线如果偏离正确位置，则指标线的偏离角值称为竖盘指标差

（3-12）

方法1:

.._（Z+A）-3601

斗

方法2:

-（3-13）

4）计算一测回角，填入表3-4第7栏。

（3-6）

注：

1、指标差二对盘左、盘右竖角的影响大小相同、符号相反，采用盘左、盘右取平均的方法就可以消除指标差对竖角的影响。

2、对同一架经纬仪而言，观测不同目标算得的竖盘指标差理应大致相同。

该例两个指标差值之所以相差较大，说明读

数中含有较多的观测误差。

、基本计算

对精度要求较高的钢尺量距，除应采用经纬仪定线、在钢尺的尺头处用弹簧秤控制拉力等措施而外，还应对丈量结果进行以下三项改正：

1、尺长改正

者之差值即为一尺段的尺长改正'

设钢尺名义长为■-，在一定温度和拉力条件下检定得到的实际长为

（4-5）

2、温度改正

受热胀冷缩的影响，当现场作业时的温度：

与检定时的温度-不同时，钢尺的长度就会发生变化，因而每尺段需进行

圈4丘倾糾改正

（4-6）

式中二=「.HD「二C,为钢尺的膨胀系数。

3、倾斜改正

设一尺段两端的高差为，沿地面量得斜距为■'，将其化为平距（图4-6），应加倾斜改正’飞

即有

■'1甚小，可近似认为

因为r，'■'

（4-3）

（4-8）

以上三项之和即为一尺段的改正数:

（4-9）

4、尺长方程式

尺长随温度变化的函数式称为尺长方程式：

右珂+A7+a（t■命儿（4-7）

式中I—温度为上度时钢尺的实际长度；—钢尺的名义长度；等式右端后两项实际上就是钢尺尺长改正和温度改正的组合。

5、相对误差

为了检核和提高精度，一般需要进行往返丈量，取其平均值作为量距的成果。

并以往、返丈量结果的相对误差来衡量其成果的精度。

I~QisI_1

%几

相对误差：

工二"J（4-4）

二、举例

例1钢尺丈量AB的水平距离，往测为375.31m，返测为375.43m;丈量CD的水平距离，往测为263.37m,返测为263.47m，最后得DABDCD及它们的相对误差各为多少哪段丈量的结果比较精确

解:

1）水平距离，由

2得:

AB:

DAB=（375.31

+375.43）

/2

=375.37m

CD

DCD=（263.37

+263.47）

/2

=263.42m

丨％-Q丨_1

%D电

2）相对误差，由K=

:

''.'得：

AB:

KAB=（375.43—375.31）/375.37=1/3128

CDKCD=（263.47—263.37）/263.42=1/2634

KAB

例2:

一钢尺名义长

=30m,实际长=30.0025m，检定温度‘-=^''C,作业时的温度和场地坡度变化都不大，平均

温度-=亍‘C,尺段两端高差的平均值=+0.272m,量得某段距离往测长丄"=221.756m，返测长’〔=221.704m，求

其改正后平均长度及其相对误差。

解：

一尺段尺长改正

''-=30.0025-30.000=+0.0025m

温度改正

M=0.0000125乂20,0）*30』=o.0022m

0力，

倾斜改正

心'虚=—2尤孑0.0=—0.0012m

三项改正之和

=0.0025+0.0022—0.0012=+0.0035m

往测长一厂的改正数及往测长

221756

'=+0.026m，；=m「m

返测长’匕的改正数及返测长

221704

'I'"=+0.026m,L—一口

改正后平均长:

严221.782+221730

D=

221.756m

相对误差：

片221782-2217301

K—二

4260

例3:

从A点测设长度为140.685m的水平距离AB,初设B点后，测得温度t=23°C,AB两点的高差h=—1.168m，已知

尺长方程为lt=30—0.0023+1.2X10-5（t—20°C）X30m,问需沿地面测设多少长度

解：

1）AB段三项改正

尺长改正

=—0.0023X140.685/30

0.0108m

温度改正'•二1.2X10-5（23°C-20°C）X140.685=0.0051m

倾斜改正1.1682/（2X140.685）=-0.0048m

三项之和（即AB段的改正数）：

一'：

I一.

=—0.0108+0.0051+（—0.0048）=—0.0101m

需沿地面测设的长度DAB=DAB-止』=140.685—（—0.0101）=140.786m

、基本计算

n次观测，得一组观测值L1、L2、……Ln,x为观测值的算术平均值,

表示观测值

1、观测值中误差的计算

设在相同条件下对某量进行了

改正数，即

气=厶

朋二f—7

则中误差

2、相对中误差的计算

1表示:

所谓相对中误差（简称相对误差）就是中误差之绝对值（设为|m|）与观测值（设为D）之比，并将分子化为

I刑二]

芒=二’•‘'■:

3、算术平均值及其中误差计算

设对某量进行呛次等精度观测，观测值为’」（'=1、2……呛）,

“_厶+i）+……+厶_[l]

X——

其算术平均值为-:

<■

他=±—=

算术平均值中误差mx上（其中m为观测值的中误差）

4、观测值函数中误差计算

观测值的倍数函数、和差函数、线性函数的中误差计算如下表所列。

函数名称

函数式

函数中误差计算式

倍数函数

2=kx

叫=土上.佗

和差函数

z=

g=土』曲4■附j

线性函数

药&內土屯七土……土妇耳

叫=±J疋;聊：

+此；战：

++氏;用；

二、举例

例1对某段距离进行了六次等精度测量，观测值列于表（5-3），试求算术平均值及其中误差、相对误差和观测值中误

差。

表5-3距离测量成果计算表

观测次

数

观测值无/m

V/mm

VV

1

348.367

+7

49

2

348.359

-1

1

3

348.364

+4

16

4

348.350

—10

100

5

348.366

+6

36

6

348.354

—6

36

x=1^=348.36

6

［卩］=0

严］=238

2、观测值中误差:

4、算术平均值的相对中误差K=1/124400

x=1^=348.360

1、算术平均值■-

士6.9mm

咧才=—j—

3、算术平均值中误差：

"=士2.8mm

解：

其计算步骤为

1.计算算术平均值

6

（2）计算观测值改正数'」

本例计算［'•'］=0，说明检核通