一堂基于PISA的概念课实录与点评初中数学七年级下册《多边形》.docx
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一堂基于PISA的概念课实录与点评初中数学七年级下册《多边形》
类比引路正反互助
——一堂基于PISA的概念课实录与点评
“类比是思维的引路人”,在概念教学中若适当利用类比的方式,能有效驱动学生的思维于最近发展区,便于概念的初步构建,然后借助正反例,彼此依托,相互为用,能使概念的理解得到深入.当然这个历程不会一挥而就,需要师生、生生的相互碰撞、彼此争论等成长过程,在历经磨砺后修成“正果”.这也是PISA测试给我们教学的启示.
以下以人教版7年级下《多边形》第一课时为例做一阐述.
一.类比引路,辩驳中建构
播放图片,定格图形,学生观察,增进直观.
问题1:
图中你能抽象出你认识的几何图形吗?
生全体:
有,有三角形、四边形、五边形、八边形……
师:
四边形、五边形……可用一个名称表达,叫?
生众:
多边形
师:
多边形包含三角形吗?
生众:
包含,三角形属于多边形,
问题2:
你能类比三角形的概念,给多边形以定义吗?
生1:
多条线段首尾顺次相连所构成的图形,叫多边形
生2:
不对,应该在同一平面内
师:
为什么加这一个条件,而三角形概念中为什么没加?
生2:
因为三条线段只要首尾相接就会在同一平面内,而其它多边形不行
师:
你能举出一个反例吗?
生2:
能,你看(比划着)
A.
.
.
.D
B
C
图1
生3:
还不对,还得需要指明不在同一直线上的多条线段!
师生:
愕然!
师:
能举一个反例说明吗?
生3(请求板演画图说明):
如图1,AB、BC、CD、DA四条线段顺次连接,但没有构成四边形
全体同学鼓掌叫好!
师:
这个反例举得好,这样多边形该怎样定义呢?
生众:
在同一平面内,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形称为n边形.三角形是最简单的多边形.
问题3:
根据三角形学习获得的经验,同学们估计多边形还需要明确哪些相关概念?
生4:
多边形的边、多边形的角、多边形的外角
图2
图3
师:
说得好,这其实就是类比的思想在起着作用,由于三角形是一个最基本、最简单的多边形,三角形的相关概念也应该能体现在多边形中
师:
如图2,五边形ABCDE(借此说明多边形的表示法:
用顶点字母顺次书写,不能跳跃),谁能借助图形说明五边形的顶点、边、内角、外角?
生5:
顶点5个:
A、B、C、D、E;边有5条:
AB、BC、CD、DE、AE;内角有5个:
∠A、∠B、∠C、∠D、∠E;外角在图里面见不到,得需要做出来.
师(示意上黑板板演):
生5:
延长任何一条边(如图3),延长线与相邻边构成的角就是,这样的角可以作出5个
生6:
不对,应该做出10个,不过其中的两两都分别相等
问题4:
我们知道,五边形的边是相邻顶点间的线段,从完善的角度思考,还应该研究?
生众:
不相邻顶点之间的线段
师:
对,这也是我们思考问题的常用方式——求和谐.谁能命名这样的线段应该叫什么合适?
生7:
斜角线
师(追问):
为什么?
生7:
因为这些线都斜着
师(发现,画出来的这类线确实都是斜的,感觉有点误导,重新把五边形调整了一下,让BE成水平状,来一个不斜的消除错觉):
连接BE,还斜吗?
生8(挠挠头,自己否定):
看来这个名字不合适
师:
谁再说说?
生9:
可以叫对接线吗?
师:
理由?
生9:
因为这些线所连结的两个顶点不相邻,而是相对,所以才这样猜的
师:
同学们感觉如何?
生众:
可行
师:
说法确实合理,但为了表述更加明确,数学上称之为“对角线”
生众(心有灵犀,点头称是)
师:
这是一般多边形不同于三角形的一个地方,自然也成了我们今天研究的重点.(师板书:
对角线)
(点评:
教学至此,多边形的相关概念在类比的引领下已经悉数出场了,执教者营造环境,诱使学生观察、表述、画图、举例,相互辩驳,思维联动,各个概念在执教者的组织下形成并得以强化.)
问题5:
从一个顶点出发,4边形有多少条对角线?
分成多少三角形?
5边形?
6边形?
n边形?
(师组织小组讨论)
讨论结果:
1条,2个三角形;2条,3个三角形;3条,4个三角形;从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线,分成(n-2)个三角形.
师:
你能确定一个n边形一共有多少条对角线吗?
讨论结果:
n边形共有条对角线
(点评:
问题5不但巩固、深化了对对角线的认识,揭示出多边形对角线条数的一般结论,更重要的是为下一节课探寻多边形的内角和作了孕伏,这种瞻前顾后的“大局”意识非常重要,彰显出执教者的教学“大气”.)
二、四条线段足以撑起四边形吗?
问题1:
任意给出三条线段,能否构成三角形?
生众:
不能,需要满足三边属性——任意两条线段的和大于第三条线段,否则,不能构成
师:
举个例子说明一下,好吗?
生10:
长分别1,2,4的三条线段就不行
师:
例子简单但不失典型性,很好
问题2:
那任何4条线段都能构成四边形吗?
生:
一时语塞
师:
具体的考察一下如何?
生:
开始试
生11:
不一定,你看(板演:
夸张地画了一条长线段40,3条短线段5、10、15,形成反差,如图4)
图4
师:
同学们看怎样?
能构成四边形吗?
生众(大笑):
肯定不行
师:
这说明什么问题?
生众:
构成四边形的线段也需要讲条件!
师:
对,根据刚才同学的反例给予的启示,结合三角形的构成条件,我们猜想一下构成四边形的条件?
生12:
任意三边之和大于第四边,
生13(反问):
这不和三边关系一样吗?
生14:
只要保证三条较短线段的和大于最长线段即可.
师(点睛):
是的,它类似于三角形的构成条件,在识别时,可借助生14的说法去确定,可缩短求解历程.有了这个发现,我们就不愁判断任何4条线段能否构成四边形了!
师(追问):
5边形的构成条件我们能做出猜想吗?
6边形呢?
n边形呢?
生众:
(部分学生)任意n-1条边之和大于第n边;(部分学生)只要保证n-1条较短线段的和大于最长的线段即可.
师:
同学们使用类比,获得两种说法,都说得非常好,通过以上我们再次体会了一般与特殊的辩证关系.
小试牛刀:
1.长度为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段能构成四边形吗?
2.若一个四边形的三边长为2cm、3cm、11cm,则它第四条边长x的取值范围是.
3
2
4
6
图5
3.(台湾中考题)如图5,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整。
若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝的距离之最大值为何?
()
A.5B.6C.7D.10
答案:
1.能;2.6cm<x<16cm;3.C.
(点评:
学生画龙老师点睛,体现了教为主导、学为主体的和谐,教材中并无本段内容,但类似的问题在后续学习中时有出现,故而执教者“风物长宜放眼量”,以拓展为基发展学生的思维力,类比三角形构成的条件探得多边形各边之间的关系.可见,执教者组织的这段教学,一定程度地体现了“用教材教而不是教教材”的现代理念.其中小试牛刀中的3很好地联通了四边形与三角形的互化关系,透出执教者的良苦用心.)
三:
正反对照见真谛
出示特殊多边形图片(图6)
图6
问题1:
这些图片集体呈现,较之前面的图片有何差异?
生15:
正规,顺眼
师:
对,这些图片长得比较匀称,但同学们知道它们叫什么吗?
生16:
正正当当,应该叫正多边形吧?
师:
这位同学真会会意,的确叫正多边形
问题2:
你能根据这些图片说说怎样给正多边形一个界定?
生17:
各边一样长
生18:
不行,还需要各角一样大,
生19:
没必要,你看等边三角形,不就是正三角形吗,等边三角形怎么定义的?
不就是各边都相等的三角形吗?
生18:
你反问就能强词夺理了,你举的三角形只是一个特殊的图形,不能代表全体
生19(不服状):
你说不行,举个例子让我们看看
生18:
这还不好说,你看菱形,四条边相等吧?
是吗?
生19:
还真是的
(一番交锋后,达成共识)
各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形.说明:
有几条边就叫正几边形,如下:
生20(冷不丁一句):
只有各角都相等不行嘛?
生21(立刻回击):
不行,比如一般的长方形,四个角都是直角,行吗?
生20(顿悟):
噢!
知道了
图7
师:
同学们你来我往,辩驳的精彩,举出了很好的反例,让同学们心服口服.现在,老师也有个疑问,除了刚才举的反例,谁还能举出其它的反例?
这一下可难住了全体同学,学生一筹莫展,满脸疑惑…
5分钟后,终于有人发言了
生22:
先画一个正五边形,再把它压扁了或拉长了,因为五边形具有不稳定性,说着上黑板画图示7
图8
生众:
热烈的掌声
生23(掌声未息,快步登台):
看我的反例:
一个正方形上放一个正三角形,擦去重合的边就行.(说着,画出图示8)
生众(唏嘘一片):
呀!
太经典了…
师:
这是两个典型的各边相等但不是正多边形的反例,真了不起,不但五边形的不稳定性排上了用场,而且正多边形的组合也展示了魅力.哪谁还能举出另外一类:
即满足各角相等,但不是正多边形的反例?
图9
A
B
C
D
E
D/
E/
生24(稳操胜券的神态):
这个好办,我受同学22的启发,把边动一动就行了(图9中的ABCD/E/)
(来了个大喘气,学生都翘首以待)
把边(DE)平移下来不就over了,
生(大部分如梦方醒):
对呀,平移能把角转移啊,我们怎么没想到呢!
(点评:
执教者瞅准时机,在看似无疑处巧设疑问,触动了学生的思维神经,把学生引上求索之路.本段教学的精彩就在于此!
学生的一番唇剑舌枪,激烈的交锋,在反正对照中,达成了视界的融合,对正多边形的概念的内涵与外延做了比较充分的交流,从学生的表情可以看出情绪的高涨,有效渗透了情感态度价值观目标.“真理愈辩愈明”,执教者搭建了放飞学生思维的平台,学生们争先恐后登台竞技,大展了个人风采.)
四、凹凸谁来见证?
师(投影展示图形):
观察以下图形,说说它们的异同?
图10
图11
图12
图13
生25:
图10、11是四边形,而图12、13是5边形
生26:
不对,图13从外边看是10边形,里面是5边形,还有三角形、四边形,这还真难说
生27:
图13是个五角星,不过不标准
生28:
图10、12都是往外鼓的,而图11、13有的地方往里陷
生29:
图10、12都是丰满的,而图11、13则显得干瘪
…
师:
说的都非常形象、具体,可见同学们的观察之仔细,从数学的角度来看,几边形问题本节开始就解决了,现在我们从凸凹的角度加以区分(讲解凸多边形、凹多边形)
凸多边形与凹多边形
图14
图15
在图14
(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图14
(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形.
师:
你能画一个凹五边形吗?
一人板演,其他同学画在自己的练习本上,同位互查
(巡视、指导中…)
生30:
如图15
师:
同学们画得不错,看来识辨凹多边形、凸多边形没太大问题.为了研究问题方便,以后没有特别说明,多边形是指凸多边形.
(点评:
执教者一个开放的发问,引发了学生的仁者见仁智者见智,发散了学生的思维,加深对这些图形的多维认识,最后落脚于“凹、凸”聚化了思维,概念水到渠成.如此的同中求异、异中求同的对比,给了学生话语权,拉长了获知过程,见证了执教者着力发展学生思维的育人理念)
五、共话多边形
问题1:
多边形的定义及附件?
问题2:
多边形的分类?
问题3:
构成多边形的条件?
问题4:
正多边形的概念?
问题5:
整节课我们经常用到的数学思想方法是?
问题6:
整节课我们多次用到的一种说明某一说法不合理的方法是?
问题7:
若你来设计后面的教材,你能做出怎样的设想?
(交流后达成共识):
问题1:
(1)在同一平面内,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形称为n边形.
(2)组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
(3)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
(4)多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
(5)多边形的对角线:
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.
问题2:
可分成凸多边形和凹多边形,没有特别说明,均指凸多边形
问题3:
只要保证n-1条短线段的和大于最长的线段即可.
问题4:
各边都相等、各角都相等的多边形叫正多边形.
问题5:
类比、转化
问题6:
举反例.
问题7:
安排多边形的内角和、外角和等的学习.
(点评:
课堂小结是落叶归根的“根”,执教者通过问题串,引领学生共话多边形,历数了知识技能、思想方法,获取成功之愉悦,实实在在地落成三维目标.其中的问题7,把类比方法进一步迁移,在本节即将落幕时,为下一节课抹上一撇神秘.真可谓,课尽意绵.再次透射出执教者敢于灵活驾驭教材的深厚功底)
【总评】:
1、秉承概念教学乃重中之重的理念.
概念是数学的基石,是人进行思维的基本单位,是数学学习的起点,对概念的准确把握可以说是衡量认知水平的第一标志.李邦和院士一语道的:
“数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!
”.有了这些认知,如何将“知”落实在“行”上才是关键!
教师往往在教上穷心竭力,而在学生的学上却显得有点绵软,不经意间就会忽略学生的学习方式和认知心理.本节课不然,执教者把重心放在引导学生的学上,给了学生足够的话语权,在还原概念的形成过程、关注学生是如何获得数学概念、如何理解概念、以及概念与学生的生活经验、知识经验等的联系上浓墨重彩,这种师生、生生的纠结、交互、碰撞,把彻彻底底的一节抽象乏味的概念课,赋予灵动,焕发生机,从而澄明概念、深化概念.尤其是多边形与正多边形的两个概念的教学,历经背景引入、丰富的例证、概括本质特征、试下定义、概念辨析(正例、反例)等悉心打磨,从具体到抽象,从偏颇到完善,执教者的主导作用与学生的主体参与和谐共进,不时擦出智慧的火花,这种深度的参与,使课堂变得鲜活,各个概念在一波三折、多维互动中落定.
2、类比引领,凸显其能.
类比是数学的法宝.著名的数学大师波利亚曾说过“类比是获得发现的伟大源泉”;著名的日本物理学家论及,类比是一种创造性的思维形式;天文学家开普勒曾经说过:
“我诊视类比胜于任何别的东西,它是最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的.”这些论断都突出了类比的不菲作用.在数学知识体系中,概念不是孤立产生或存在的,诸概念之间往往有着十分密切的联系,特别是具有相似或相通关系的概念,用好类比可有拨云见日之效.本节课,执教者以三角形为先行组织者,通过类比自然过渡,在学生你一言我一语的修补、调整、精致等活动中,多边形及相关概念等浮出水面,在“类”中寻到一致,在“比”中透出差异,把个概念的内涵、外延搞了个澄澈!
3.反例衬托,异彩纷呈.
数学概念的学习过程中,出现认知的偏颇在所难免,而学生自己又往往难以察觉,为了澄清模糊认知,不仅需要正面的例子深刻阐明,而且还需要合适的反例凸显概念的内核,突出概念的本质,在自我否定与自我认同的反复思辨中,明晰概念,以达到深刻理解和精致该概念的目的,从而优化学生的思维.
本节课,执教者除了不失时机地精心预设反例外,还钓出了意外生成反例的精彩.纵观上下可以发现,不期而遇的反例为概念的深化理解打开了通道,尤其是生22、23、24所举的三个反例,可谓“力透纸背、入木三分”.让人在惊诧之余,概念得以内化.的确,单靠老师直说白道,往往难以奏效;若有意识地引导学生寻找反例,让学生通过反例直击“盲点”,引发理智与冲动的交融,智慧与情感的碰撞,能有效消除思维“浅尝辄止”的隐忧.著名数学家张奠宙先生说得好,“一个好例子,胜过一打名言”,正例突出概念的内涵,而反例揭示出概念的外延,它们的联手加深了对概念的认识和理解,此处反例的补正作用是正例所无法取代的.执教者通过本课玩转了反例,成为整堂课的亮点。