山东省青岛市中考数学模拟试题及参考答案.docx
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山东省青岛市中考数学模拟试题及参考答案
2019年青岛市中考模拟试题
数学试卷
一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)
1.在实数﹣3,2,0,﹣4中,最大的数是( )
A.﹣3B.2C.0D.﹣4
2.下列计算正确的是( )
A.a2+a3=a5B.a2•a3=a6C.(a2)3=a6D.(ab)2=ab2
3.在体育课上,甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的( )
A.众数B.平均数C.中位数D.方差
4.计算:
(﹣x9)÷(﹣x)3的结果为( )
A.﹣x6B.x6C.x3D.﹣x3
5.下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A.菱形B.等边三角形C.平行四边形D.等腰梯形
6.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC=4,BD为⊙O的直径,则BD等于( )
A.4B.6C.8D.12
7.如图,▱ABCD中,点E、F分别在AD、AB上,依次连接EB、EC、FC、FD,图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4,已知S1=2、S2=12、S3=3,则S4的值是( )
A.4B.5C.6D.7
8.如图是某商品的标志图案,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A.5πcm2B.10πcm2C.15πcm2D.20πcm2
二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分)
9.计算:
4
﹣9
= .
10.2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功,圆了中国人的“大飞机梦”,它颜值高性能好,全长近39米,最大载客人数168人,最大航程约5550公里.数字5550用科学记数法表示为
A.0.555×104B.5.55×104C.D.55.5×103
11.如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1关于点B的中心对称得C2,C2与x轴交于另一点C,将C2关于点C的中心对称得C3,连接C1与C3的顶点,则图中阴影部分的面积为 .
12.如图,过点O的直线AB与反比例函数y=
的图象交于A,B两点,A(2,1),直线BC∥y轴,与反比例函数y=
(x<0)的图象交于点C,连接AC,则△ABC的面积为 .
13.如图,在直角三角形ABC中,斜边AB上的中线CD=AC,则∠B= °.
14.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=
+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为 .
三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹。
15.(4分)如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
16.(8分)
(1)解不等式组:
(2)化简:
÷(
﹣1).
17.(6分)如图,两个可以自由转动的均匀转盘A、B,分别被分成4等分和3等分,并在每份内均标有数字.小花为甲、乙两人设计了一个游戏规则如下:
同时自由转动转盘A、B;两个转盘停止后,(如果指针恰好指在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止),将两个指针所指份内的两个数字相乘,如果得到的积是偶数,那么甲胜;如果得到的积是奇数,则乙胜.但小强认为这样的规则是不公平的.
(1)请你用一种合适的方法(例如画树状图、列表)帮忙小强说明理由;
(2)请你设计一个公平的规则,并说明理由.
18.(6分)养成良好的早锻炼习惯,对学生的学习和生活都非常有益,某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况,校政教处在七年级随机抽取了部分学生,并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x(分钟)进行了调查.现把调查结果分成A、B、C、D四组,如表所示,同时,将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
分组
早锻炼时间/分钟
A
0~10
B
10~20
C
20~30
D
30~40
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图和扇形统计图;
(2)所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 C 区间内;
(3)已知该校七年级共有1200名学生,请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟.(早锻炼:
指学生在早晨7:
00~7:
40之间的锻炼)
19.(6分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向,已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?
(参考数据:
sin53°≈
,cos53°≈
,tan53°≈
,
≈1.41)
20.(8分)小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50分才乘上缆车,缆车的平均速度为180米/分.设小亮出发x分后行走的路程为y米.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系.
(1)小亮行走的总路程是 米,他途中休息了 分.
(2)分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度.
(3)当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?
21.(8分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.
(1)求证:
△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=40°,则当∠EBA= °时,四边形BFDE是正方形.
22.(10分)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元.
23.(10分)我们定义:
如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
24.(12分)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:
四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=
,DM=4时,求DH的长.
参考答案:
一、
1.B2.C3.D4.B5.A6.C7.D8.B
二、
9. 3
10.5.55×103
11.32
12.8
13.30
14.
+
或1
三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹。
15.(4分)解:
如图,点P即为所求.
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
16.(8分)解:
(1)
由不等式①,得
x≥1,
由不等式②,得
x<2
故原不等式组的解集是1≤x<2.
(2)
÷(
﹣1)
=
=
=
.
17.解:
(1)列表如下:
乙\甲
1
2
3
4
1
1×1=1
1×2=2
1×3=3
1×4=4
2
2×1=2
2×2=4
2×3=6
2×4=8
3
3×1=3
3×2=6
3×3=9
3×4=12
因为P(积为奇数)=
=
,
P(积为偶数)=
=
,(7分)
所以甲获胜的机会大.
(2)公平的游戏规则不唯一,例如:
如果自由转动两个转盘,转盘停止后,指针所指的两数之积为3的倍数时,甲获胜,否则乙获胜.(11分)
此时两人获胜的可能性均为
.
18.(6分)解:
(1)本次调查的总人数为10÷5%=200,
则20~30分钟的人数为200×65%=130(人),
D项目的百分比为1﹣(5%+10%+65%)=20%,
补全图形如下:
(2)由于共有200个数据,其中位数是第100、101个数据的平均数,
则其中位数位于C区间内,
故答案为:
C;
(3)1200×(65%+20%)=1020(人),
答:
估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟.
19.(6分)解:
如图作CE⊥AB于E.
在Rt△ACE中,∵∠A=45°,
∴AE=EC,设AE=EC=x,则BE=x﹣5,
在Rt△BCE中,
∵tan53°=
,
∴
=
,
解得x=20,
∴AE=EC=20,
∴AC=20
=28.2,
BC=
=25,
∴A船到C的时间≈
=0.94小时,B船到C的时间=
=1小时,
∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援.
20.(8分)解:
(1)根据图象知:
小亮行走的总路程是3600米,他途中休息了20分钟.
故答案为3600,20;
(2)小亮休息前的速度为:
(米/分)
小亮休息后的速度为:
(米/分)
(3)小颖所用时间:
(分)
小亮比小颖迟到80﹣50﹣10=20(分)
∴小颖到达终点时,小亮离缆车终点的路程为:
20×55=1100(米)
21.(8分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.
(1)求证:
△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=40°,则当∠EBA= 25 °时,四边形BFDE是正方形.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB,
∴∠BAC=∠BCA,
∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠BCA,
即∠BAE=∠BCF,
在△BAE和△BCF中,
,
∴△BAE≌△BCF(SAS);
(2)解:
若∠ABC=40°,则当∠EBA=25°时,四边形BFDE是正方形.理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠ABO=
∠ABC=20°,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四边形BFDE是平行四边形,
又∵AC⊥BD,∴四边形BFDE是菱形,
∵∠EBA=25°,
∴∠OBE=25°+20°=45°,
∴△OBE是等腰直角三角形,
∴OB=OE,
∴BD=EF,
∴四边形BFDE是矩形,
∴四边形BFDE是正方形;
故答案为:
25.
22.(10分)某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件.
(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?
(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.
①若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价多少元?
②求出y与x之间的函数关系式,并通过画该函数图象的草图,观察其图象的变化趋势,结合题意写出当x取何值时,商场获利润不少于2160元.
【解答】解:
(1)若商店经营该商品不降价,则一天可获利润100×(100﹣80)=2000(元);(3分)
(2)①依题意得:
(100﹣80﹣x)(100+10x)=2160(5分)
即x2﹣10x+16=0
解得:
x1=2,x2=8(6分)
经检验:
x1=2,x2=8都是方程的解,且符合题意,(7分)
答:
商店经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品应降价2元或8元;(8分)
②依题意得:
y=(100﹣80﹣x)(100+10x)(9分)
∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10(x﹣5)2+2250(10分)
画草图:
观察图象可得:
当2≤x≤8时,y≥2160,
∴当2≤x≤8时,商店所获利润不少于2160元.(13分)
23.(10分)我们定义:
如图1,在△ABC看,把AB点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知:
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=
BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 4 .
猜想论证:
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
【解答】解:
(1)①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=
BC;
理由:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD=
AB′=
BC,
故答案为
.
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.
理由:
∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD=
B′C′=
BC=4,
故答案为4.
(2)猜想
.
证明:
如图,延长AD至点Q,则△DQB'≌△DAC',
∴QB'=AC',QB'∥AC',
∴∠QB'A+∠B'AC'=180°,
∵∠BAC+∠B'AC'=180°,
∴∠QB'A=∠BAC,
又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,
∴△AQB'≌△BCA,
∴AQ=BC=2AD,
即
.
24.(12分)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:
四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,
(1)中的结论还成立吗?
请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=
,DM=4时,求DH的长.
【解答】
(1)证明:
如图1中,
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠ABM,
∵CE∥AM,
∴∠ECD=∠ADB,
∵AM是△ABC的中线,且D与M重合,
∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC,
∴AB=ED,∵AB∥ED,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)结论:
成立.理由如下:
如图2中,过点M作MG∥DE交CE于G.
∵CE∥AM,
∴四边形DMGE是平行四边形,
∴ED=GM,且ED∥GM,
由
(1)可知AB=GM,AB∥GM,
∴AB∥DE,AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,
∵BM=MC,
∴MI是△BHC的中位线,
∴MI∥BH,MI=
BH,
∵BH⊥AC,且BH=AM.
∴MI=
AM,MI⊥AC,
∴∠CAM=30°.
②设DH=x,则AH=
x,AD=2x,
∴AM=4+2x,
∴BH=4+2x,
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴DF∥AB,
∴
=
,
∴
=
,
解得x=1+
或1﹣
(舍弃),
∴DH=1+
.