等效切割长度.docx
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等效切割长度
1、线框切割
【例1】如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁场边界竖直，宽度为2L,abed是用
金属丝做成的边长为L的正方形闭合线框，ed边与磁场边界重合，线框由图示位置起以水
平速度v匀速穿过磁场区域•在这个过程中，关于岀两点间的电压U沁随时间变化的图像
正确的是B
——⑨xxxx~xljxxxxxj
（mg）2f2）R
B2a2
例4•如图浙贰将边长为念质疑为皿、取覘为R的朮方形导线枢竖直向上拋出，穿过宽度为匕磁感应强度为B的匀强磁场，磴场的方向垂直纸面向里.线框向上
离开磁场时的速度刚好是竝人檯场时邃度的一半，线樞离开碣场后绅续上升一段高度,然后落下并匀速进人磁场.整个运动过程中始终存在疔人小恒定的空气砒力fRM框不发生转幼.求：
（1）线框在下稱阶段匀速进人磁场时的逑度堆：
（2）线横在上升惋段刚离开磁场时的速度V"C3）线樞在上升阶段通过磁场
过程屮产生的焦耳热艮
解：
⑴对旬速进入（3）对刚进入磁场到刚完全出磁场丫动能定理mg—f十F安①w+w旷_丄
Ps=Bla②叫+忙％-2“
I=E/R®匕二-饴（“引处
!
\-（mg-f）R=.,呼°
由①到环"缶-⑤和护亦）⑵对V］到最高点,］动能定理3爲1如汀一门
-（ffJg1f）h=0——阳「⑥"=
对最高点单V「动能定理
（mg-f）h=-mv^-0⑦由⑤到⑦得［車心
存鸣丁巴⑧
答案：
（1）V2豐2严
Ba
B2a
（2）V1
注意点：
1.第⑵问还可以选其他过程用动能定理，还可以用运动学公式
2•第⑶问还可以用能量守恒，但容易漏掉摩擦生热
【例3】（扬州期末15分）如图所示，一边长L=0.2m,质量mi=0.5kg，电阻R=0.1Q的正方形导体线框abed，与一质量为m2=2kg的物块通过轻质细线跨过两定滑轮相连。
起初ad边距磁场下边界为d1=0.8m,磁感应强度B=2.5T,磁场宽
度d2=0.3m,物块放在倾角9=53°勺斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数尸0.5现将物块由静止释放，经一段时间后发现当ad边从磁场上边缘穿出时，线框恰好做匀速运动。
（g取
10m/s2,sin53°=0.8cos53°=0）求：
（2）线框ad边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的功率；
b
（2）线框刚刚全部进入磁场时速度的大小；
（3）整个运动过程中线框产生的焦耳热。
解：
（1）由于线框匀速出磁场，则
对m2有:
m^gsin
m?
gcosTF^
得T=10N
联立可得:
2cos）陀r2m/s
b2l2
所以绳中拉力的功率P=Tv=20W……2分
（2）从线框刚刚全部进入磁场到线框ad边刚要离开磁场，由动能定理得
（m2gsin
m2cos）（d1d2L）m1g（d1d2L）Q
将数值代入，整理可得线框在整个运动过程中产生的焦耳热为:
Q=1.5J……1分
2、
双杆切割
a、无外力等距双棒
IBlv2Blv1Bl（v2v1）
RR2RR2
随着棒2的减速、棒1的加速，两棒的相对速度v-v变小，回路中电流也变小。
21
b、无外力不等距双棒
Bl2V2
RR2
最终当Blv=Blv时，电流为零，两棒都做匀速运动
1122
棒1加速度变小的减速，最终匀速；
棒2加速度变小的加速，最终匀速.
最终Bl1v1Bl2v2F1BIl1l1
任一时刻两棒中电流相同，两棒受到的安培力大小之比为：
f2BIl2l2
整个过程中两棒所受安培力冲量大小之比：
I1F1|1
12F2I2
对棒1:
11m1vom1v1
对棒2：
I2gV20
结合：
结口：
可得:
Bl1v1Bl2v2
mJ；
mJ；m2h2
V。
m1I2I1
mJ；m2l：
V。
系统动能电能内能
121212gv。
gwm?
v2Q
222
流过某一截面的电量
BJqm2v20
Q1R1
Q2
R2
C有外力等距双棒
棒2相当于电源；棒1受安培力而起动.
Blv2Blv1
R2
棒1：
棒2：
当a2=a1时
a2
FFb
m2
V2-V1恒定I恒定Fb恒定两棒匀加速
强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距
离l=0.20m。
两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为F=0.50Q。
在t=0时刻，两杆都处于静止状
态。
现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。
2
经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s，问此时两金属杆的速度各为多少？
（t0时为0）
△t，杆甲移动距离V1△t，杆乙移动距离V2^t，回路面积改变
S[（xv2t）v1t]tlx（v1v2）lt
S
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势EB——t
回路中的电流i—,杆甲的运动方程FBlima2R
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量
等于外力F的冲量Ftmv1mv2
代入数据得w8.15m/sv21.85m/s
【例3】两根相距d=0.20m平行金属长导轨固定在同一水平面，处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=0.2T，导轨上横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的
电阻为r=0.25Q,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作
用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是v=5.0m/s，如图所示.不计导轨上的摩擦
（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小•
（2）求两金属细杆在间距增加0.40m的滑动过程共产生的热量.~|—
解析：
（1）当两金属杆都以速度v匀速滑动时，每条金属杆中产生J—
巳E2
2r
F1=F>=IBd。
的感应电动势分别为：
E=Ea=Bdv
由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：
I
因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为
2L
（2）设两金属杆之间增加的距离
L,则两金属杆共产生的热量为QI22rL，代
2v
入数据得Q=1.28X10-2J.
3、等效切割以及电磁感应的图像问题
例1.（09年山东卷）21•如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。
虚线MN右
侧有磁感应强度为B的匀强磁场。
方向垂直于回路所在的平面。
回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始络与MN垂直。
从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的
是
A.感应电流方向不变
B.CD段直线始终不受安培力
C.感应电动势最大值E=Bav
1
D.感应电动势平均值EBav
解析：
A选项在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞
B选项根据左手定则可以判断，受安培力向下，B不正确。
C选项当半圆闭合回路进入磁场一半时，即这时等效长度最大为a.
这时感应电动势最
大E=Bav，C正确
D选项感应电动势平均值E
答案：
ACD
2a
注意点：
感应电动势公式E
，D正确。
只能来计算平均值，利用感应电动势公式t
EBlv计算时,
I应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度。
例3•如图所示，在戸0（?
幷区域存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磴场，磁场方向均垂直纸fib血边与磁场的边界p厳合和导线框与磁场区域的尺寸如图所示。
从f=0时刻开始线框匀速横穿两个蹴场区域。
以Qf方fQf甘f/为线框中电幼势的正方向為以下四个关系示意图中正确的是（）
解析：
由楞次定律或左手定则可判定线框刚开始进入彬场时的电流方向，即感应电动势的方向为顺时针方向，故D选项错课：
1—2$内1磁通屋不变化，感应电动势为0、A选项错误;
2-3s内，产生感应电动势E=2Bb十斑=3/JM感应电动势的方向为逆时针方向（正方向儿故C&项正确.
答案：
C
【例3】.08年全国2如图，一个边长为I的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为I的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一
条边垂直，ba的延长线平分导线框。
在t=0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿
ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。
以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针
方向为正。
下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是C
M4
【例4】如图所示，有一弯成e角的光滑金属导轨POQ，水平放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，有一金属棒MN与导轨的OQ边垂直放置，当金属棒从O点开始以加速度a向右匀加速运动t秒时，棒与导轨所构成的回路中的感应电动势是多少?
解：
由于导轨的夹角为e，开始运动t秒时，金属棒切割磁感线的有效长度为:
12
L=stane=一at2tane
v=at
据运动学公式，这时金属棒切割磁感线的速度为由题意知B、L、v三者互相垂直，有
E=BLv=Bat2tanB•at=Ba2t3tanB
22
即金属棒运动t秒时，棒与导轨所构成的回路中的感应电动势是
1
E=Ba2t3tanB.
2
【例5】、如图所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右匀速直线运动，经过半径为R、磁感应
强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势£与导体棒位置x关系的图像是A
MNPQ磁场宽度为L。
一个边长
【例6】、如图所示，水平方向的匀速磁场的上下边界分别是
为a的正方形导线框（L>2a）从磁场上方下落，运动过程中上下两边始终与磁场边界平行。
线
框进入磁场过程中感应电流i随时间t变化的图象如图7所示，则线框从磁场中穿岀过程中
有一较小的三角形线框abc
【例7】、如图所示，两平行的虚线间的区域内存在着有界匀强磁场,
与ah边垂直.则下列各图中哪一个可以定性地表示线框在上述过程中感应电流随时间变化的
规律？
（D）
的右边有一匀强磁场，其方向垂直00的方向以速度v做匀速直线运动，在t=0时刻恰好位
于图中所示的位置。
以逆时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示
电流一时间（I—t）关系的是（时间以l/v为单位）（D）
【例9】.L1[2011•江苏物理卷
]如图5所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电
阻不计.匀强磁场与导轨平面垂直.阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨
接触良好.t=0时，将开关S由1掷到2.q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、
A
【例10】.L1[2011
-江苏物理卷］D【解析】当开关
S由1掷到2时，电容器开始放电,
此时电流最大,
棒受到的安培力最大，加速度最大,
以后棒开始运动，产生感应电动势,
棒相当于电源,
利用右手定则可判断棒上端为正极,
下端为负极，当棒运动一段时间后,
电路中的电流逐渐减小，当电容器极板电压与棒两端电动势相等时，电容器不再放电,
电路电流等于零，棒做匀速运动，加速度减为零，所以,
B、C错误，D正确；因电容器
两极板有电压，由q=CU知电容器所带的电荷量不等于零,
A错误•
【例11】、如图甲所示，圆形线圈处于垂直于线圈平面的匀强磁场中
磁感应强度的变化如图乙所
T_T
的时间内，关于环中的感应
示•在t=0时磁感应强度的方向指向纸里，则在0—f和厶一
大小相等，方向先是顺时针
后是逆时针
大小相等，方向先是逆时针
后是顺时针
大小不等，方向先是顺时针
后是逆时针
大小不等，方向先是逆时针
后是顺时针
【例12】如图所示,
AB是两个同心圆，半径之比Ra:
Rb=2:
1,
AB是由相同材料，粗细
求AB中电流大小之比（不
一样的导体做成的，小圆B外无磁场，B内磁场的变化如图所示，计两圆中电流形成磁场的相互作用）•
解析：
在£=△B/△t-S中，S是磁场变化的面积.
所以1A=B•
t
2r
Ib=B•
2r
22r•
t
2r
S
S
所以Ia：
Ib=1:
2
注意:
IA的计算不可用做实际面积大小
【例13】.【2011•甘肃模拟】如图X22—6所示，虚线上方空间有垂直线框平面的匀强磁场，直角扇形导线框绕垂直于线框平面的轴O以角速度3匀速转动•设线框中感应电流方
向以逆时针为正，那么在图X22—7中能正确描述线框从图X22-6中所示位置开始转动一周的过程中线框内感应电流随时间变化情况的是（A）
HMWBB
•屛具基屋
NMOtHN
p;…
图X22—6
ABCD
图X22—7
与运动能量相结合的题型
【例1】、如图所示，用一根均匀导线做成的矩形导线框abed放在匀强磁场中，线框平面与磁场
方向垂直，ab、be边上跨放着均匀直导线ef,各导线的电阻不可以忽略。
当将导线ef从ab
附近匀速向右移动到ed附近的过程中（A）
A.ef受到的磁场力方向向左
B.ef两端的电压始终不变
C.ef中的电流先变大后变小
D.整个电路的发热功率保持不变
"*
X
耳
X
X
X
X
X
X
X
*
X
M
X
V
X
X
X
【例2].两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻。
将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示。
除电阻R外其余电阻不计。
现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放•则
A.释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g
B.
C.金属棒的速度为v时.所受的安培力大小为
2,2
BLv
金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为b
D.电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少
答案：
AC
解析：
在释放的瞬间，速度为零，不受安培力的作用，只受到重力，A对。
由右手定则可得，电流的方向从b至Ua,B错。
当速度为v时，产生的电动势为EBlv，受到的安培力为
FBIL，计算可得F
C对。
在运动的过程中，是弹簧的弹性势能、重力势能和
内能的转化，D错。
【例3].【2011•南京质检]如图X23-1所示，在光滑绝缘水平面上，一矩形线圈冲入一
匀强磁场，线圈全部进入磁场区域时，其动能恰好等于它在磁场外面时的一半.设磁场
宽度大于线圈宽度，那么（）
A.线圈恰好在刚离开磁场的地方停下
B.线圈在磁场中某位置停下
C.线圈在未完全离开磁场时即已停下
D.线圈完全离开磁场以后仍能继续运动，不会停下来
12.D【解析]线圈冲入匀强磁场时，产生感应电流，线圈受安培力作用做减速运动，动
能也减少.同理，线圈冲出匀强磁场时，动能减少，进、出时减少的动能都等于安培力
做的功.由于进入时的速度大，故感应电流大，安培力大，安培力做的功也多，减少的
动能也多，而线圈离开磁场过程中损失的动能少于它进入磁场时损失的动能，即少于它
在磁场外面时动能的一半，因此线圈离开磁场仍继续运动.故选D.
【例4].【2011•黑龙江模拟]如图X23—3所示，连接两个定值电阻的平行金属导轨与水
冬、
图X23—3
有一导体棒ab质量为m棒的电阻为2R棒与导轨之间的动摩擦因数为口.导体棒ab沿导
轨向上滑动，当上滑的速度为v时，定值电阻F2消耗的电功率为P,下列说法正确的是
（）
A.此时重力的功率为mgvcos0
B.此装置消耗的机械功率为口mgvcos0
一、亠6P
C.导体棒受到的安培力的大小为—
一、亠8P
D.导体棒受到的安培力的大小为-
v
13.C【解析】根据功率计算公式，则此时重力的功率为mg©n0，即选项A不正确；
由于摩擦力f=口mgpos0，故因摩擦而消耗的热功率为口mg—cos0，由法拉第电磁感
22
应定律得E=BLv，回路总电流I=3R导体棒滑动时受到安培力F=BIL=BR—故整
Eh2v
个装置消耗的机械功率为（而+口mgcos0）v,即选项B不正确.由于R=2R棒
的电阻也为2R,当上滑的速度为v时，定值电阻R消耗的电功率为P,则定值电阻R消耗的电功率也为P,根据电路的基本特点，此时导体棒ab消耗的电功率应该为4P,
故整个电路消耗的电功率为6P,即安培力做功的功率为6P,所以导体棒受到的安培力
6P
的大小为F=Q,即选项C正确，而选项D错误.
楞次定律:
【例1】•如图，粗糙水平桌面上有一质量为m的铜质矩形线圈
线圈中线AB正上方等高快速经过时，若线圈始终不动，则关于线圈受到的支持力Fn及在水平方向运动趋势的正确判断是
A.Fn先小于mg后大于mg,运动趋势向左
B.Fn先大于mg后小于mg,运动趋势向左
C.Fn先大于mg后大于mg,运动趋势向右
D.Fn先大于mg后小于mg,运动趋势向右
答案：
D
解析：
本题考查电磁感应有关的知识，本题为中等难度题目。
条形磁铁从线圈正上方等
高快速经过时，通过线圈的磁通量先增加后又减小。
当通过线圈磁通量增加时，为阻碍其增
加，在竖直方向上线圈有向下运动的趋势，所以线圈受到的支持力大于其重力，在水平方向
上有向右运动的趋势，当通过线圈的磁通量减小时，为阻碍其减小，在竖直方向上线圈有向
上运动的趋势，所以线圈受到的支持力小于其重力，在水平方向上有向右运动的趋势。
综上
所述，线圈所受到的支持力先大于重力后小于重力，运动趋势总是向右。
【例2】如图所示，AOC是光滑的金属轨道，A0沿竖直方向，0C沿水平方向，PQ是一根金属直杆如图立在导轨上，0P>0Q直杆从图示位置由静止开始在重力作用下运动，运动过程中Q0端始终在0C上,P端始终在A0上，直到完全落在的匀强磁场，则在PQ棒滑动的过程中，下列判断正确的是（
A.感应电流的方向始终由iQ
B.感应电流的方向先由PtQ,再是CHP
C.PQ受磁场力的方向垂直于棒向左
D.PQ受磁场力的方向垂直于棒先向左，再向右
解析：
在PQ滑动的过程中，0PQ的面积先变大后变小，穿过回路的磁通量先变大后变小，则电流方向先是PhQ后QtP.选BD.
【解析】当线框由静止向下运动时，穿过线框的磁通量逐渐减小，根据楞次定律可得,
串有两个最阻R和r，导体棒PQ与三条导线接触良好；匀强磁场的方向垂直纸面向里。
导体棒的电阻可忽略。
当导体棒向左滑动时，下列说法正确的是
5.（08•四川•17）在沿水平方向的匀强磁场中，有一圆形金属线圈可绕沿其直径的竖直
轴自由转动。
开始时线圈静止，线圈平面与磁场方向既不平行也不垂直，所成的锐角为
a。
在磁场开始增强后的一个极短的时间内，线圈平面（）
是会减小
6.（07•宁夏理综•20）电阻R、电容C与一线圈连成闭合回路，条形磁铁静止于线圈的
正上方，N极朝下，如图所示，现使磁铁开始自由下落，在N极接近线圈上端的过程中,
流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是（）
A.
从a到b，上极板带正电
B.从a到b，下极板带正电
C.从b到a，上极板带正电
D.从b到a，下极板带正电
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