初中数学新课程空间与图形学习策略与研究.docx

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初中数学新课程空间与图形学习策略与研究

初中数学新课程空间与图形学习策略与研究

内容提要：

新课程标准将以往的“几何”拓广为“空间与图形”是教育的需要，从“几何”到“空间与图形”，有助于学生更好地认识和理解人类的生存空间，培养学生创新精神，有助于促进学生全面、持续、和谐地发展，“空间与图形”知识的观察背景，把课程内容与学生的生活经验有机地融合，与数学课程中各个分支进行整合，从而拓展“空间与图形”学习的背景，使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间，发展学生的空间观念和推理能力。

关键词：

　空间与图形　　　学习　　　活动

一、教育价值：

教育作为上层建筑，其价值取决于社会发展对教育功能的需求。

20世纪中叶以来，数学的发展，特别是数学与计算机的结合，使得数学在研究领域，研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展，一些传统数学内容和要求也相应地有了改变，经济和社会的发展对21世纪的公民数学素养提出了具有时代特点的新要求。

20世纪80年代以来，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势，主要特征如下：

（1）强调几何建模过程。

“空间与图形”由于其自身的特点较之其他的数学模型更加直观、形象、更易于从现实情境中抽象出数学的概念、理念和方法。

（2）几何推理的要求发生变化。

事实上，推理既有合情推理，也有演绎推理，而且从数学自身发展的过程可以看出，即使演绎推理也并非“几何”所独有，它广泛存在于数学的各个分支中。

20世纪80年代以来，国际数学教育对几何推理的要求相应地发生了变化，其普遍趋势是：

从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发进行合情推理；从单纯强调几何的推理价值转向更全面地体现几何的教育价值。

（3）“空间与图形”内容的整合。

20世纪80年代以来，各国的数学教学普遍把平面几何和立体几何的内容进行整合，更多地采用直观和非形式化的手段，教学内容更紧密联系学生生活和社会发展，使学习者通过直接感受，去理解和把握空间关系。

（4）现代信息技术成为几何课程的“平台”。

随着信息技术的迅速发展，计算机和科学计算器为“空间与图形”的教学提供了有力的工具，有效地转变了“空间与图形”教与学的方式，计算机和相关软件已经使许多过去难以甚至不可解决的问题变得容易解决。

实践证明，传统的平面几何数学具有“双刃剑”的功能，几何内容的过分抽象和“形式化”，缺少与现实生活的紧密联系，使“几何”直观的优势没有得到充分的发挥；过分强调演绎推理和“形式化”使不少学生怕学几何，甚至厌恶几何，远离几何，从而丧失学习的兴趣和信心，这种状况不改变，“空间与图形”的教育价值就不能得到全面、充分的体现。

“空间与图形”的内容和课程目标是：

突出“空间与图形”知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经验有机地融合，与数学课程中各个分支进行整合，从而拓展“空间与图形”的学习背景，使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间，发展学生的空间观念和推理能力（包括情推理，演绎推理）；通过对基本图形的基本性质必要的论证，使学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想；注重使学生经历观察、操作、推理、想像等过程，倡导自主探索。

合作交流与实践创新的学习方式，以真正体现“空间与图形”的教育价值。

作为《标准》的四个领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。

“几何”拓展为“空间与图形”更加突出了这部分内容的主要特点及其教育价值。

1、“空间与图形”的学习，有助于学生更好地认识和理解人类的生存空间。

人类最先感知的是三维世界，是“空间与图形”。

人们认识周围世界的事物，常常需要描述事物的形态、大小，并用恰当的方式表达事物之间的关系。

所以，图形直观、几何模型，以及几何图形的性质，是准确描述现实世界空间关系，解决学习、生活和工作中各种问题的必备工具。

因此“空间与图形”的教育价值首先在于使学生更好地理解生活的空间，更好地生存和发展。

2、“空间与图形”的学习，有助于培养学生的创新精神。

创新，源于问题，往往发端于直觉。

与数学的其他分支相比，几何图形的直观形象为学生进行自主探索，创新的活动提供了更有利的条件。

即使解决相当简单的“空间与图形”问题，也常常要运用观察、操作、猜想、作图与设计等各种手段，在借助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。

3、“空间与图形”的学习，有助于学生获得必需的知识和必要的技能，并初步发展空间观念，学会推理。

“空间与图形”的这种教育价值是显然的。

《标准》中规定了三个学段“空间与图形”学习的具体内容，这为学生适应社会生活和继续学习打下了必需的基础。

从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。

4、“空间与图形”的学习，有助于促进学生全面、持续、和谐地发展。

义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理解的同时，在思维能力情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

在认识数学与现实世界的密切联系方面，“空间与图形”的作用是不可替代的；在构建直观的、形象化的数学模型方面，“空间与图形”也有其独有特作用。

图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的观念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能，而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生的合情推理和演绎推理能力。

“空间与图形”不仅包括推理论证和相关的计算等内容，而且包括直观感知、操作确认由此发展起来的几何直觉、学习情感等。

“空间与图形”的教学，不仅能有效地发展学生的推理能力，而且能引导学生感受数学的理想方法，体验数学学习的乐趣，逐步积累数学活动经验，体验数学推理的力量和证明的意义，发展空间观念和自主创新的意识。

5、提高空间想象力的有效途径

①、利用计算机绘制生动、形象的立体图形，使学生通过对直观图形透彻的观察，理解抽象的理论概念

在“多面体与旋转体的体积”这一章中，主要内容是柱、锥、台、球四种体积公式的推导，关键是对立体图形分析与理解。

为了帮助学生在观察图形的基础上从感性认识向理性认识过渡，我们运用我校的计算机设备，与专职电脑编程人员密切合作，设计编制了图形软件来辅助教学。

我们先根据讲解的需要设计出基本图形，再配合编程人员利用计算机先进的绘图系统进行绘制。

在绘制过程中，我们利用画面的连续移动构成动画来体现切割、旋转、移动等动态动作。

在讲解祖原理时，其主要内容为：

两个等高的几何体，若被平行于底的平面截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等。

为了体现其中的关键点：

两个几何体任意位置的平行截面相等，我们绘制了多幅不同位置截面的图形，并将截面涂上鲜明的色彩，按顺序编排好，连续播放时即形成了截面上下移动的动画效果，使学生形象地认识到不同位置的平行截面处处相等。

又如在讲解锥体的体积公式推导时，由于要将三棱柱分割成三个三棱锥，图形变化较大，学生不易理解，因此我们将切割过程从头至尾展现给学生，在讲解时又将所要比较的两个三棱锥逐步恢复到切割前的状态，再分开。

随着分开一复原一再分开的移动过程，学生们清楚自然地得出了所要推证的结论，同时也使得教师的讲解轻松而且顺理成章。

有了锥的体积公式，我们又进一步依据大锥被平行于底的平面截去一小锥得到台体的思路，利用已推导出的锥体体积公式去推导台体的体积公式。

我们利用动画效果使一平面进行移动呈现出动割大锥的过程，即让平面从大锥锥体某处以平行于底的方式插入，从另一侧抽出，留下切割的痕迹，进而将截得的小锥移到其它位置，将剩下的台体展现给学生。

这一过程的加入，在学生的头脑中非常深刻地留下了台体与锥体的联系，可以说是过目不忘，收到了很好的效果。

②、充分利用计算机绘图多功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘立体图形，解决平面立体图形与真实立体图形在视觉上的差异

我们在平面上绘制立体图形就要考虑到视觉差异的问题。

比如，在纸上画一个立方体，它的某些面就必须呈平行四边形，才给人一种“体”的感觉，而实际上立方体的各个面均为正方形。

为了不使学生把直观感觉当作概念，我们设计了一些旋转变形动作。

在讲球的体积公式时，应用祖原理，找到了一个与半球体积相等的几何体，即与半球等高的圆柱中间挖去一个圆锥，证明的关键是推导出二者在等高处的平行截面面积相等。

从图上看，这两个截面分别为椭圆和椭圆环，而实际形状应为圆和圆环。

为了更形象地说明问题，我们将这两个截面设计为从原位置水平移动出来，再水平旋转９０度使其成为竖直放置，这样两个截面就恢复了实际形状。

同时我们又让环形截面中的小圆逐渐缩小至一点，使圆环变成与另一截面大小一样的圆，通过二者色彩的互换闪烁，使学生形象直观地感觉到是两个面积相等的截面，然后通过理论证明它们的面积相等。

这样，从直观到理论两方面的配合，加深了学生的理解，使得这个难点顺利解决。

③、利用多媒体辅助教学，引导学生通过观察图形主动积极地去寻找解题思路

现代教学论的思想核心是确认教师在教学中的主导地位的同时，认定学生在学习活动中的主体地位。

因此教学的最终目的是启发和调动学生的主动性、积极性，让学生“会学”。

在多媒体教学的尝试中，为了打破传统教学中的“老师讲，学生听”的习惯，我们将课上的习题“从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体体积的几分之几？

”根据题意设计成动画情景。

一个正方体依次被切去了四个角，把切去的部分放到屏幕的四角，中间剩下一个三棱锥，求三棱锥的体积。

学生根据画面的演示，立即想到剩余部分是由整体减去切掉的。

有了思路后，再从画面中清晰地推导出每个角的体积是整体的１／６，进而得出所求体积为整体的１／３。

这样，通过画面的演示，不需教师讲解，学生自己就可以找到求解方法，同时在无形中途立了间接求体积的概念。

通过多媒体教学，我们发现它具有不可比拟的优越性。

首先，多媒体教学使课上教学省力；它能直观、生动、形象地进行教学，有利于引起学生的注意力，充分调动学生的积极性，并且使教师的板书量大大减少。

其次，多媒体教学增大了课容量，加强了知识间的连贯性。

由于多媒体教学直观、生动、形象地突出了教学重点，浅化了教学难点，使学生理解知识的进度加快，并且节省了教师反复讲解的时间，节省了课时，相对增大了课容量，突出了各部分知识的连贯性，取得较好的教学效果。

二、加强与削弱的方面及其依据。

1、加强的方面及依据：

第一，强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验“空间与图形”内容的选取应是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，紧密联系学生的生活经验和活动经验，拓宽几何学习的背景。

强调内容呈现方式的多样化，突出数学活动的过程，提倡个性化的学习方式和策略，以及问题的开放性，这都是为学生富有个性的发展提供了充分的时间和空间。

第二，增加了图形变换、位置的确定、视图与投影等内容。

第一学段，感受平移、旋转、对称现象。

第二学段，进一步学习图形变换。

采用观察、操作、实验等手段，加深对简单几何体和图形的认识。

第三学段，注重联系生活实践，学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。

“图形与坐标”的内容中，强调学习运用坐标系确定物体位置的方法，感受图形变换后点的坐标的变化。

“视图与投影”的内容注重生活化、现实化，并有明确的目标和要求。

第三，加强了几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。

第四，突出“空间与图形”的文化价值。

第五，重视量与测量并把字融合在有关内容中，加强测量的实践性。

第六，加强全情性推理，调整“证明”的要求，强化理性精神。

2、削弱的方面及依据：

①削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算。

②削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少定理的数量。

三、内容处理上的一些特色和要求。

1、三个学段在内容处理上只有的特色和要求。

第一，突出探究性活动，使学生亲历“做数学”的过程。

“空间与图形”的教学，应该从学生的生活经验和已有的知识出发给学生呈现“现实的、有意义的、富有挑战性的”材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想和方法。

与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生对数学的情感体验。

第二，大力倡导“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式。

在“空间与图形”的内容中，十分强调数学学生活动的情境设置和学生的主动参与。

第三，展示丰富多彩的几何世界，注重二维和三维的相互转换。

人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材。

此外，在课程的实施中还可以通过专题的形式，使学生感受丰富多彩的图形世界。

比如在课堂上让学生讨论：

一支铅笔的笔尖从纸面上任何一点出发，能否不离开纸面而到达纸面的任何一处？

能否回到原来的出发点？

如果用剪刀沿着纸环的中央剪开，结果又会怎样？

这样，学生将在趣味盎然的活动中感受丰富的图形世界。

2、各个学段在内容处理上的特色和要求。

第一学段：

内容包括图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置四个部分，课堂上我结合学生的日常生活，通过观察、操作具体实物及模型，使学生获得比较丰富的直观经验，逐渐归纳出一些基本的几何事实，形成初步的空间观念，在具体实施时，有几点需要注意：

第一，通过实践活动，使学生增强直观体验，认识基本图形。

第二，强调对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验。

如在教学“测一测，你将实心球投出去多远”这一节课时，学生的测量活动将有各种不同的水平：

①按老师教的方法测量；②按自己的某种方法（如步测、用绳子量、用卷尺量等）测量；③通过小组合作，浓度用多种方法测量；④不仅用多种方法测量，并能对各种测量方法进行比较，作出合理的。

这样的学习活动及其结果，又为评价方式的改革创造了条件。

第三，加强对周围环境和实物的直接感知，发展空间观念。

第四，注重内容的相互渗透、逐步深入、螺旋上升、循序渐进。

第二学段：

进一步丰富学生有关“空间与图形”的学习经验；在通过观察、操作等活动认识几何图形的过程中，进一步加强学生对图形的变换，位置的确定等内容的感受和了解，以及对测量过程的体验；充分利用各种教具、学具和现代信息技术，使学生认识和探索图形的过程更具趣味性和挑战性。

第三学段：

图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明，它们都围绕和空间问题展开，既有内在的联系，又有各自的特点和侧重，比如，图形既可以通过折纸、画图等实践来认识，也可以利用图形变换的方法来认识。

又如“图形与坐标”中既学习到画点和图形的位置，也讨论点的坐标的变化与图形变化之间的关系等，在具体实施中应注意几点：

第一，准确把握“图形的认识”各部分内容的要求。

第二，恰当把握“图形与变换”的具体目标和要求。

主要内容包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似，我在教学中紧密联系学生熟悉的实例，使学生认识“生活中的图形变换，以观察、动手操作为主要方式组织学生开展实践活动。

利用变换设计图案有趣的实践活动，充分发挥学生的主动性和创造性。

引导他们自己有创意地设计漂亮的图案，用计算机进行图案设计，使学生真切地感受图形变换的乐趣和价值。

第三，“图形与坐标”的要求应准确定位。

内容的主要目标是：

了解图形或物体位置的方法及坐标法的思想，探索点的坐标变化与图形变换之间的关系。

在教学中，应当把握这部分内容的关键――在平面直角坐标系中“点”的位置的确定以及图形变换后点的坐标的变化，这样就把“形”与“数”紧密地联系在一起。

第四，正确理解“图形与证明”的具体目标，把握好“证明”的要求，主要内容包括：

加强合情推理、降低演绎推理的难度和数量；强调“理解证明的必要性”，以及“言之有理，落笔有据”清晰且有条理地表达、交流、合乎逻辑地讨论、质疑等。

在推理和证明的教学中我从以下几个方面展开：

引导学生探索图形性质，并在与他人合作交流等活动过程中，不断发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达，引导学生从几个基本的事实出发，证明一些基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。

参考文献：

《数学课程标准》

《中学数学研究》

《中学教研》