第十二章全等三角形.docx

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第十二章全等三角形

第十二章全等三角形

第一课时12.1全等三角形

一、新课引入

观察你身边的物体，能发现有哪些形状、大小相同的图形？

请举出一些例子.

二、学习目标

1、理解全等形与全等三角形相关的概念；

2、掌握全等三角形的性质并会应用.

三、研读课本

认真阅读课本第31至32页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一全等三角形的有关概念

1、我们把的两个图形叫做全等形.

2、的两个三角形叫做全等三角形.

3、如图，

12.1-2

（1）12.1-2

（2）12.1-2（3）

（1）一个图形经过平移、翻折、旋转后，

位置变化了，但都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形.

（2）把两个全等三角形重合到一起,_______

叫做对应顶点，___叫做对应边，_______叫做对应角.

（3）“全等”用符号“”表示，读作“_____”.

练一练

1、如上图12.1-2

（1），△ABC与△DEF全等，记作___，其中，点A与点_，点B与点_，点C与点_是对应顶点；AB与__，BC与_，AC与__是对应边；∠A和_，∠B和，∠C和_是对应角.

温馨提示：

记三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置.

2、请说出图12.1-2

（2）、（3）中△ABC与

△DBC、△ABC与△AED的对应顶点与对应边.

知识点二全等三角形的性质

1、图12.1-2

（1）中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？

对应角呢？

2、归纳全等三角形的性质：

全等三角形的

全等三角形的

练一练如图，△OCA≌△OBD,点C和点B、点A和点D是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.

4、归纳小结

1、的两个图形叫做全等形.

2、的两个三角形叫做全等三角形.

3、全等三角形的对应边.

全等三角形的对应角.

4、学习反思：

.

5、强化训练

1、已知△ABC≌△A′B′C′，∠A=80°,

∠B=40°,那么∠C′的度数为（）.

A.80°B.40°C.60°D.120°

2、已知△ABC≌△DEF，AB=5，BC=4，AC=3，

∠C=90°,则△DEF中，最小的边长为，

最大的角为.

3、如图两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1等于多少度？

4、如图△ABC≌△DEF,

（1）若∠A=40°，∠B=90°,∠ACB=50°,则

∠E=___,∠D=__，∠DFE=__.

（2）若AB=4，BC=3，AC=5，则△DEF的三边

各是=__，__=，__=_.

（3）若AF=1，则FC=.

5、如图，△ABD≌△CDB,AB和CD,AD与CB是对应边，写出其他的对应边与对应角.

6、如图，若△ABE≌△ACD,∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边.请写出它们的对应边与对应角.

第二课时

12.2.1三角形全等的判定（SSS）

一、

新课引入

1、如图，△ABC≌△DEC，则

相等的边有

_______________________，

相等的角有__________________.

2、如果△ABC与△A′B′C′，满足：

AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，

∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,

那么△ABC≌△A′B′C′.

如果只满足这六个条件中的一部分，那么能否保证△ABC与△A′B′C′全等呢？

二、学习目标

1、经历三角形全等的探索过程，得出三角形全等的条件；

2、能用“SSS”判定两个三角形全等和画等角.

三、研读课本

认真阅读课本第35至37页的内容，完成下面的练习，体验知识点的形成过程。

知识点一三角形全等的判定“SSS”

探究1画出满足以下条件的两个三角形并回答问题：

（1）如果△ABC与△A′B′C′有一个角或一条边相等，那么这两个三角形一定全等吗？

答：

.

（2）如果△ABC与△A′B′C′满足全等的六个条件中两个，能保证这两个三角形一定全等吗？

答：

.

探究2画任意一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC,A′C′=AC.

画图步骤参照：

（1）画B′C′=BC；

（2）分别以点B′、C′为圆心，线段AB、AC长为半径画狐，两狐相交于点A′；

（3）连接线段A′B′、A′C′.

观察和验证两个三角形是否全等？

三角形全等的判定方法1

________________________________

（简写成“______”或”___”）.

知识点二全等三角形的判定“SSS”的应用

例1如图△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.

证明：

∵D是BC的中点，

∴=

∴在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（）

练一练

1、本节课学习的全等三角形判定方法是：

_______，

可以简写成______或.

符号“∵”表示___，“∴”表示___.

如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.

求证:

△ACD≌△CBE

知识点三（尺规作图）作一个角等于已知角

已知：

∠AOB.

求作：

∠A′O′B′=∠AOB.

作法：

1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交

于OA、OB于点C、D；

2、画一条O′A′，以点为圆心，

_长为半径画弧，交___于点_；

3、以点为圆心，长为半径画弧，与前弧相交于点；

4、过点画.则

∠A′O′B′=∠AOB.

思考为什么这样能作出相等的角？

说出理由！

四、归纳小结

1、的两个三角形全等

（简写成“_______”或””）.

2、会用直尺和圆规画一个角等于已知角.

3、学习反思：

.

五、强化训练

1、已知，如下图，AB=AC,BE=CD，要使△ABE≌△ACD,依据“SSS”，则还使添加条件.

第1题第2题

2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可直接判定（）

A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACE

C、△BED≌△CEDD、以上答案都不对

3、如图AB=DE,AC=DF,BE=CF.

证明：

△ABC≌△DEF.

第三课时12.2.2

全等三角形的判定（SAS）

一、新课引入

1、上节课我们学习了三角形全等的一个判定方法是什么？

答：

2、如右图，在△ABD与△ACE中，若

AB=____，

AD=_，

BD=________，

则△ABD≌△ACE.

二、学习目标

1、经历三角形全等的判定方法SAS的探究；

2、会运用SAS的方法判定两个三角形全等.

三、研读课本

认真阅读课本第37至39页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一三角形全等的判定“SAS”

任意画出一个△ABC，再画△A′B′C′

使A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A.

观察并验证它们是否全等?

画图步骤参照：

画∠DA′E=∠A；

在射线A′D上截取A′B′=AB，

在射线A′E上截取A′C′=AC；

连接B′C′.

由此得，三角形全等的判定方法2

________________________________________

（简写为“______”或“__”）.

知识点二全等三角形的判定“SAS”的应用

例2如下图，有一个池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D，连接BC并延长到点E,CB=CE.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么？

2

1

分析：

问题实际是：

在△ABC与△DEC中，CA=CD，CB=CE.求证：

AB=DE.只要证得________≌_______，就可以得出AB=DE.由题意可知，△ABC和△DEC具备了“______”的条件.

证明：

在△ABC和△DEC中，

CA=________

∠1=（对顶角_________）

∴△ABC≌△DEC（）

∴AB=DE（）

归纳证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是_____________的对应边或对应角来解决.

练一练

1、如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西的行进相同的距离，到达C、D两地，此时C、D到B的距离相等吗？

为什么？

2、如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，

∠B=∠C.求证∠A=∠D.

实验操作如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.

分析：

上图中，

AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但很明显△ABC与

△ABD不全等.∠B是AB和AC或AB和AD的夹角吗？

∠B是______或______的对角.

结论有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形__________全等.（填一定或不一定）

四、归纳小结

1、__________的两个三角形全等（简写为“___”或“_”）.

2、有两边和其中一边的__________分别相等的两个三角形不一定全等.

3、学习反思：

.

五、强化训练

1、如下图，AB=AC，AD=AD，用今天所学的判定法，要使△ABD≌△ACD,需要添加的条件是：

__________.

第1题第2题

2、如上图，已知，AC=AE，∠BAC=∠DAE，AB=AD若∠D=250，则∠B的度数为（）.

A.250B.300

C.150D.150或300

3、如图，点B,F,C,E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，AC∥DF，求证：

AB=DE.

4、已知AB=AC，AD=AE，求证：

∠B=∠C.

第四课时12.2.3

全等三角形的判定（ASA、AAS）

一、新课引入

1、前面我们学习了两个三角形全等的判定，它们分别是什么？

2、如下图，在△ABC与△DEC中，

若CA=_____，CB=_________，

则△ABC≌△DEC.

二、学习目标

1、经历三角形全等的判定的第三种方法ASA的探究，并用ASA推导出第四种判定方法AAS；

2、会运用这两种方法去判定两个三角形全等.

三、研读课本

认真阅读课本第39至41页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一三角形全等的判定“AAS”

画任意一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使AB=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B（即两角和它们的夹边对应相等），验证这样的两个三角形是否全等？

作图步骤参照：

（1）画A′B′=AB；

（2）在AB的同旁画∠DA′B′=∠A，

∠EB′A′=∠B；A′D,B′E的交点为C′.

由此得，三角形全等的判定方法3

________________________________________（简写为“___”或“_”）.

知识点二全等三角形的判定“AAS”的应用:

例3如图，点D在AB上，点E在AC上，

AB=AC，∠B=∠C.求证:

AD=AE

分析：

只要找出___≌___，得AD=AE.

证明：

在△_ACD和△ABE中，

∠B=_（）

∠C=_

∴△ACD≌△ABE（）

∴AD=AE（）

练一练如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以再池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE,使E与A、C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？

请证明.

例4如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D,

∠B=∠E，BC=EF.求证：

△ABC≌△DEF.

分析：

可以先证明∠C=∠F，再利用“ASA”证明

△ABC和△DEF全等.

证明：

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_______，

∴∠C=______-∠A-∠B.

同理，∠F=_____________________.

又∠A=∠D,∠B=∠E，

∴____________________.

在△ABC和△DEF中，

∠B=_

∠C=_

∴△ABC≌△DEF（）

由此得，三角形全等的判定方法4

____________

（简写为“___”或“_”）.

练一练如图，AB⊥BC,CD⊥AD,∠1=∠2.

求证：

AB=AD.

四、归纳小结

1、今天学了三角形全等判定的两个方法是：

（1）的两个三角形全等（可简写为“_”或“”）

（2）的两个三角形全等（可简写为“_”或“”）

2、使用“ASA”或“AAS”时，如何区分？

三角分别相等的两个三角形全等吗？

答：

____________________________________.

3、总结三角形全等的判定方法：

（1）

（2）

（3）

（4）

4、学习反思：

.

五、强化训练

1、如图，如果∠A=∠D,∠B=∠E，

要使

△ABC≌△DEF，需添加条件____________.

2、如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证AC=AD.

第五课时12.2.4

全等三角形的判定（HL）

一、新课引入

1、简写关于一般的三角形全等的判定方法：

__________________________________.

2、直角三角形是一种特殊的三角形，它有自己特殊的全等判定方法吗？

二、学习目标

1、探究直角三角形全等的条件；

2、会用HL去证明直角三角形全等.

三、研读课本

认真阅读课本第39至41页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一直角三角形全等的判定“HL”

1、对于两个直角三角形，因为它们已经有一对直角相等，根据三角形全等的条件，它们只需要______分别相等，或分别相等，这两个三角形就全等了.

2、如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

探究画一任意Rt△ABC,使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=BC,这样作出的两个直角三角形全等吗？

作图方法指导：

1画∠MC′N=90°；

2射线C′M上取B′C′=BC；

3点B′为圆心，AB为半径画弧，

交射线C′N于点A′；

④连接A′B′.

由此得，判定两个直角三角形全等的方法：

________________________________

（简写成“________________”或“______”）.

知识点二“HL”的应用

例5如图，AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,

求证：

BC=AD.

证明：

∵AC⊥BC,BD⊥AD

∴∠=∠=90º

在和中

∴≌（）

∴BC=AD（）

练一练

1、如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D、E两地。

DA⊥AB。

D、E与路段AB的距离相等吗？

为什么？

2、如图，AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF.

求证：

CF=BE.

四、归纳小结

1、直角三角形全等的判定方法是：

_____________________________

（简写成“________________”或“______”）.

2、学习反思：

.

五、强化训练

1、如图，已知AB=DE，要使RT△ABC≌RT△DEF,可添加的条件有：

______________.

2、下列结论不正确的是（　　）.

A、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.

B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等.

C、一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等.

D、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

3、如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠BAC=40°，则∠ACD=（　　）.

A．40°

B．50°

C．60°

D．75°

4、如图，AC⊥CB,DB⊥CBAB=DC.

求证：

∠ABD=∠ACD.

5、如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，

求证：

（1）BD=CD；

（2）∠BAD=∠CAD.

第六课时12.3.1

角的平分线的性质

（1）

一、新课引入

1、在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法确定角的平分线.

2、如图是平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.它是怎样实现平分角的？

原理是什么？

二、学习目标

1、会作一个已知角的平分线的方法；

2、掌握角平分线的性质.

三、研读课本

认真阅读课本第48至49页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一（尺规作图）作已知角的平分线

利用平分角仪器的原理作已知角的平分线.

已知：

∠AOB.

求作：

∠AOB的平分线.

根据下面作法在图中画出∠AOB的平分线.

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M,交OB于N；

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；

（思考为什么要以大于

MN的长为半径？

）

（3）画射线OC，射线OC即为所求.

练一练1、根据上面的作法画平角∠AOB的角平分线（写出作法）.

2、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等（不写作法）.

知识点二角平分线的性质

根据下面的操作步骤思考

（1）作任意一个角∠AOB，剪下来；

（2）将∠AOB对折.记折痕为OC；

（3）以OC为斜边，折一个直角三角形；

（4）张开折纸，观察两次折叠形成的折痕，你有什么结论？

再取一点试试！

答：

________.

结论角的平分线上的点.

练一练

1、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离是1.5cm，则M到OB的距离为__________.

2、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.

求证：

EB＝FC.

知识点三证明角平分线的性质

求证：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等

分析：

这个命题的已知是___________________

______________________，结论是___________

_______________________________________.

画出图形，并用符号表示已知和求证.

已知：

如图，∠AOC=_________，点P在OC上，PD⊥______，PE⊥______，垂足分别为D、E.

求证：

_______________.

证明：

∵PD⊥______，PE⊥______

∴∠PDO=________=______°

在△______和△______中

∴△______≌△______（）

∴_________________.

一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：

（1）明确命题中的和；

（2）根据题意，画出__，并用_表示已知和求证；

（3）经过分析，找出有已知推出要证的结论的途径，写出.

四、归纳小结

1、口述用尺规作一个角的角平分线的步骤.

2、角的平分线上的点.

3、简单叙述命题证明的步骤.

4、学习反思：

.

五、强化训练

如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证点D到PE和PF的距离相等.

第七课时12.3.2

角的平分线的性质

（2）

一、新课引入

1、角平分线的性质：

_____________________

_.

2、求作：

∠AOB的平分线.

二、学习目标

1、探究并证明角平分线的逆定理；

2、利用角的平分线的性质解决一些实际问题.

三、研读课本

认真阅读课本第49至50页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.

知识点一角平分线的性质的逆定理

1、我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？

你能证明它吗？

2、求证：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

分析：

这个命题的已知是___________________

______________________，结论是___________

_______________________________________.

画出图形，并用符号表示已知和求证.

已知：

__________________________________.

求证：

_________________________________.

证明：

由此得，角平分线的性质的逆定理

角的内部到

在角的平分线上.

练一练

1、如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:

20000）？

知识点二三角形的三条角平分线的关系

例如图△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.

求证：

点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

证明：

过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为D,E,F.（请在图中画出）

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴__________________

同理PE=PF

∴______________________

即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.

想一想点P在∠A的平分线上吗？

答：

____________________________________.

归纳三角形的三条角平分线相交于__，这点到三角形三边的距离___.

练一练如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P.求证：

点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.

四、归纳小结

1、角的平分线上的点到相等.

2、角的内部到角的两边的距离相等的点在__________________上.

3、三角形的三条角平分线相交于__，这点到三角形三边的距离___.

4、学习反思：

.

五、强化训练

1、如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BC=9㎝，BD=5㎝，则点D到AC的距离为___________.

2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，

DF⊥AC,垂足分别是E，F，BE=CF.

求证：

AD是△ABC的角平分线.