第十二章121122全等三角形三角形全等的判定.docx
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第十二章121122全等三角形三角形全等的判定
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等，全等三角形的周长相等、面积相等，全等三角形的对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。
【典例精析】
例题1如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）
A.20°B.30°C.35°D.40°
思路导航：
要想求∠ACA′的度数，应先把它转化为三角形中的角，那就是∠ACB，由△ACB≌△A′CB′，可知∠ACB＝∠A′CB′，两边同时减去∠BCA′，就得到了要求的角和已知角的关系了，进而可求得∠ACA′的度数。
答案：
根据全等三角形对应角相等的性质，由△ACB≌△
，得∠ACB＝∠A′CB′，所以∠ACB－∠BCA′＝∠A′CB′－∠BCA′，即∠ACA′＝∠BCB′＝30°。
所以应选B。
例题2（盐城）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝50°。
现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点A1，则∠BDA1的度数为________。
答案：
80°。
由折叠可知△ADE≌△A1DE，根据三角形全等的性质得到∠ADE＝∠A1DE。
已知DE∥BC，根据两直线平行，同位角相等推知∠ADE＝∠B＝50°，所以∠BDA1＝180°－2∠B＝80°。
例题3如图所示，已知△ABE≌△CDF，求证：
AB∥CD，AE∥CF。
答案：
证明：
∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，∠AEB＝∠CFD（全等三角形的对应角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
而∠AED＝180°－∠AEB，∠CFB＝180°－∠CFD，∴∠AED＝∠CFB（等角的补角相等），则AE∥CF。
微课程2：
全等三角形的判定方法
【考点精讲】
1.一般三角形全等的判定
（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SSS）；
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（SAS）；
（3）如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（ASA）；
（4）如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为（AAS）。
2.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）
3.证明三角形全等的思路
（1）已知两边
（2）已知一边一角
（3）已知两角找任意一边
注：
1.判定三角形全等必须有一组对应边相等；
2.判定三角形全等时不能错用“SSA”“AAA”来判定。
【典例精析】
例题1如图所示，
，
，
，结论：
①
；②
；③
；④
。
其中正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
思路导航：
因为
，
，所以∠EAB=∠FAC，又因为
，所以△AEB≌△AFC，所以AC＝AB。
在△ACN和△ABM中，因为
，AB＝AC，∠CAB=∠CAB，所以△ACN≌△ABM，④正确；因为∠EAB=∠FAC，所以∠EAB－∠CAB=∠FAC－∠CAB，即∠EAM=∠FAN，③正确；在△EAM和△FAN中，∠EAM=∠FAN，
，
，所以△EAM≌△FAN，所以
，①正确；由已知条件不能判断出
，故正确的个数是3个。
答案：
C
例题2如图，一个含45°角的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
答案：
AE＝EF。
∵△HBE是一含45°角的直角三形，
∴∠H＝∠HEB＝45°，HB＝EB，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠DCB＝∠DCE＝90°，AB＝CB。
∴HB－AB＝EB—CB，即HA＝CE。
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°＝∠B，
∵∠HAE＝∠B+∠AEB，∠CEF＝∠AEF+∠AEB，
∴∠HAE＝∠CEF，
又∵CF平分∠DCE
∴∠ECF＝
∠DCE=45°＝∠H，
∴△HAE≌△CEF（ASA）。
∴AE＝EF。
例题3如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB。
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：
CF＝EF。
答案：
（1）△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF。
（2）证法一：
如图，连接CE。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE。
∴∠ACE＝∠AEC。
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED。
∴∠ACE－∠ACB＝∠AEC－∠AED。
即∠BCE＝∠DEC。
∴CF＝EF。
证法二：
如图。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即∠CAD＝∠EAB。
∴△ACD≌△AEB。
∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE。
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠CDF＝∠EBF。
又∵∠DFC＝∠BFE，
∴△CDF≌△EBF。
∴CF＝EF。
证法三：
如图，连接AF。
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE＝90°。
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF。
∴BF＝DF。
又∵BC＝DE，
∴BC－BF＝DE－DF。
即CF＝EF。
（答题时间：
60分钟）
全等三角形的有关概念
一、选择题
1.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为（）
A.50°B.55°C.65°D.75°
*2.如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）
A.5B.4C.3D.2
**3.如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF。
如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A.24cm²B.25cm²C.26cm²D.27cm²
二、填空题
*4.如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于________。
*5.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝________。
*6.如图，D在AB上，AC，DF交于E，AB∥FC，DE＝EF，AB＝15，CF＝8，则BD＝。
三、解答题
7.如图，已知：
点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF。
能否由上面的已知条件证明AB∥ED？
如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明。
供选择的三个条件（请从其中选择一个）：
①AB=ED；
②BC=EF；
③∠ACB=∠DFE。
*8.支撑高压电线的铁塔如图，其中AM＝AN，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，问AD与AE能相等吗？
为什么？
全等三角形的判定方法
一、选择题
1.如图，在△ABC和△DCB中，若∠ACB＝∠DBC，则不能证明两个三角形全等的条件是（）
A.∠ABC＝∠DCBB.∠A＝∠D
C.AB=DCD.AC=DB
2.如图，AB＝AD，BC＝DC，则图中全等三角形共有（）
A.2对B.3对C.4对D.5对
二、填空题
*3.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是三角形全等，则判定三角形全等的依据是________________。
*4.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：
①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件有（）个。
**5.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度。
三、解答题
6.如图所示，AB＝AD，BC＝CD，AC，BD交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程，只要求你写出四个你认为正确的结论）。
**7.一个风筝如图，两翼AB＝AC，横骨BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。
问其中骨AD能平分∠BAC吗？
为什么？
**8.我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）。
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl。
求证：
△ABC≌△A1B1C1。
（请你将下列证明过程补充完整。
）
证明：
分别过点B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1。
则∠BDC=∠B1D1C1=90°，
∵BC=B1C1，∠C=∠C1，
∴△BCD≌△B1C1D1，
∴BD=B1D1。
（2）归纳与叙述：
由
（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
**9.两个大小不同的等腰直角三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：
结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：
DC⊥BE。
全等三角形的有关概念
1.B解析：
∠F与∠C是全等三角形的对应角，所以∠F＝∠C＝180°－∠A－∠B=180°－50°－75°＝55°。
2.A解析：
由△ABC≌△DEF，可得AB=DE，则DE=AB=BE+AE=5。
3.C解析：
三角形ABC和三角形DEF全等，它们的面积相等，三角形HEC是两三角形重合的部分，两个三角形都减去重合的部分，剩下的部分是相等的，也就是HDFC与ABEH面积是相等的。
那么只要求出ABHE的面积就可知阴影部分的面积了，即：
（5+8）×4/2=26。
4.60°解析：
因为OA=OB，OD=OC，∠O=∠O，所以△OAD≌△OBC，得到∠C=∠D=35°。
由三角形的内外角关系可得，∠EAC=∠O+∠D=50°+35°=85°，所以∠AEC=180°－∠EAC－∠C=60°
5.80°解析：
由折叠得△ADE≌△FDE，所以AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°。
6.7解析：
由题易得△ADE≌△CEF，所以BD=AB－AD=AB－CF=15－8=7
7.解：
由上面两条件不能证明AB//ED。
有两种添加方法。
第一种：
FB=CE，AC=DF添加①AB=ED
证明：
因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=DF，AB=ED，所以△ABC≌△DEF
所以∠ABC=∠DEF所以AB//ED
第二种：
FB=CE，AC=DF添加③∠ACB=∠DFE
证明：
因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFEAC=EF，所以△ABC≌△DEF
所以∠ABC=∠DEF所以AB//ED
8.AD＝AE解：
∵AM＝AN∠MAC＝∠NABAB＝AC∴△MAC≌△NAB（SAS）∴∠C＝∠B
∵∠DAB＝∠EAC∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC＝∠BAC∴∠DAC＝∠EAB∵∠C＝∠B，AB＝AC
△DAC≌△EAB（ASA）∴AD=AE
全等三角形的判定方法
1.C解析：
SSA不能判定三角形全等。
2.B解析：
△ADE≌△ABE，△ADC≌△ABC，△DEC≌△BEC
3.SSS解析：
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，则∠COD≌∠C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）。
4.3解析：
增加①AB＝AE，则△ABC≌△AED（SAS）；增加③∠C＝∠D，则△ABC≌△AED（ASA）；增加④∠B＝∠E，则△ABC≌△AED（AAS）。
5.90解析：
∵∠CAB＝∠EDF＝90°，∴△ABC与△DEF为直角三角形，又∵EF＝BC，AC＝DF，△ABC≌△DEF，∴∠ABC＋∠DFE=∠ABC＋∠ACB=90°
6.
（1）△ADC≌△ABC；
（2）AC平分∠DCB；（3）AC平分∠DAB；（4）DE＝EB；（5）DB⊥AC；
7.AD能平分∠BAC；解：
由∠1＝∠2，得∠B＝∠C，又AB＝AC，故△ABE≌△ACF，从而AE＝AF，又AD＝AD，故Rt△ADF≌Rt△ADE，得∠FAD＝∠EAD
8.
（1）证明：
分别过点B，B1作BD⊥CA于D
B1D1⊥C1A1于D1
则∠BDC=∠B1D1C1=90°
∵BC=B1C1，∠C=∠C1
∴△BCD≌△B1C1D1
∴BD=B1D1又∵AB=A1B1∠BDC=∠B1D1C1=90°∴△ABD≌△A1B1D1∴∠A=∠A1又∵AB=A1B1，∠C=∠C1∴△ABC≌△A1B1C1
（2）归纳与叙述：
由
（1）可得到一个正确结论，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个同类三角形（同为锐角、直角、钝角三角形）一定全等
9.△BAE≌△CAD解：
①∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
AB=AC∠BAE=∠DACAE=AD
∴△BAE≌△CAD（SAS）
②由①得△BAE≌△CAD
∴∠DCA=∠B=45°
∵∠BCA=45°
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°
∴DC⊥BE
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