最新微分方程讲义与例解.docx
《最新微分方程讲义与例解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新微分方程讲义与例解.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
最新微分方程讲义与例解
微分方程讲义与例解
微分方程讲义与例解
一．常微分方程的基本概念
1．1常微分方程:
含有未知函数及未知函数的导数和自变量的等式.
1．2方程1阶:
方程中所含未知函数导数的最高阶数.
1．3方程的解及初始条件:
设一般的«SkipRecordIf...»阶方程为«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»是定义在某区间«SkipRecordIf...»上的函数,切满足«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,则称«SkipRecordIf...»为方程的解.条件:
«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»称为方程«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»的初始条件.满足初始条件的解称为特解.含有«SkipRecordIf...»个任意常数的解称为通解.
二．一阶方程
一般的一阶微分方程为«SkipRecordIf...»或者«SkipRecordIf...».
2．1可分离变量的方程:
«SkipRecordIf...».
求解的步骤是
（1）分离变量得«SkipRecordIf...»,
（2）两边同时积分«SkipRecordIf...».如果令«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的某一原函数,«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的某一原函数,则«SkipRecordIf...»为方程的隐式通解.
2．2齐次方程:
«SkipRecordIf...».
求解的步骤是
（1）作变换:
令«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»,两端同时求导得«SkipRecordIf...»代入原方程得
«SkipRecordIf...»,于是«SkipRecordIf...»为一分离变量的方程,由2．1可解,设其通解为
«SkipRecordIf...».
（2）代回原变量得«SkipRecordIf...».
2．3一阶线性方程:
«SkipRecordIf...»
（1）
当«SkipRecordIf...»≡«SkipRecordIf...»时,称方程
«SkipRecordIf...»
（2）
为一阶齐线性方程.否则称为一阶非齐线性方程.方程
（2）是可分离变量方程,其通解为
«SkipRecordIf...».
而非齐线性方程
（1）的通解为
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
2．4佰努利方程:
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
解:
以«SkipRecordIf...»除方程两端,得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
令«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»为一阶线性方程,求解后再把«SkipRecordIf...»回代即得原方城的通解.
2．5全微分方程:
对称式的微分方程
«SkipRecordIf...»,
为全微分方程的充分必要条件是
«SkipRecordIf...».
其通解为
«SkipRecordIf...».
例1设连续函数«SkipRecordIf...»满足关系式«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...».
解«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...».于是«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»,知«SkipRecordIf...»从而
«SkipRecordIf...».
例2已知函数«SkipRecordIf...»在任意点«SkipRecordIf...»处的增量为
«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...».
解«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»,这是可分离变量的方程,解之得
«SkipRecordIf...»=«SkipRecordIf...»,由«SkipRecordIf...»,知«SkipRecordIf...»,于是«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
例3求方程«SkipRecordIf...»的通解.
解当«SkipRecordIf...»有«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»代入原方程得
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».
例4求方程«SkipRecordIf...»的通解.
解令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,代入原方程得
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»,代回原变量有«SkipRecordIf...».
例5求微分方程«SkipRecordIf...»的通解.
解«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
例6设函数«SkipRecordIf...»具有一阶连续导数,且«SkipRecordIf...»,若曲线积分
«SkipRecordIf...»
与路径无关,则«SkipRecordIf...»的表达式为（）.
（A）«SkipRecordIf...».（B）«SkipRecordIf...».（C）«SkipRecordIf...».（D）«SkipRecordIf...».
解由曲线积分与路径无关,因此有
«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...».
解之得«SkipRecordIf...»,由于«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»,所以«SkipRecordIf...»,选（B）.
例7若«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的一个特解,则该方程满足初始条件的特解为（）.
（A）«SkipRecordIf...».（B）«SkipRecordIf...».（C）«SkipRecordIf...».（D）«SkipRecordIf...».
解«SkipRecordIf...»,由于有一特解«SkipRecordIf...»,因此知«SkipRecordIf...»,且«SkipRecordIf...»,所以有«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,原方程为«SkipRecordIf...»,其通解为«SkipRecordIf...»,由«SkipRecordIf...»得«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...»,选（D）.
例8求微分方程«SkipRecordIf...»的通解.
解«SkipRecordIf...»,因此
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...».
例9求«SkipRecordIf...»的通解.
解原方程为«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»,得
«SkipRecordIf...».解之
«SkipRecordIf...»,
于是
«SkipRecordIf...».
例10求解«SkipRecordIf...».
解将原方程两端同乘«SkipRecordIf...»变形为
«SkipRecordIf...»,
于是有
«SkipRecordIf...»,令«SkipRecordIf...»,
有
«SkipRecordIf...»为一阶线性方程,可解之.
例11已知函数«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可导,且满足等式«SkipRecordIf...»,求«SkipRecordIf...»的表达式.
解由«SkipRecordIf...»的可导,由上式知«SkipRecordIf...»可导,故«SkipRecordIf...»二阶可导,对上式两端同时对«SkipRecordIf...»求导得
«SkipRecordIf...»,
解之得«SkipRecordIf...».由于«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,故«SkipRecordIf...».
例12«SkipRecordIf...»的通解.
解由«SkipRecordIf...»,因此,方程是全微分方程,存在«SkipRecordIf...»使
«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,
又«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
故«SkipRecordIf...»为其通解.
三、可降阶的高阶方程
3．1«SkipRecordIf...»
解«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,…,
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...».
3．2«SkipRecordIf...»,方程中不显含变量«SkipRecordIf...».
解令«SkipRecordIf...»则«SkipRecordIf...»,于是将原方程降为一阶方程为«SkipRecordIf...»,此方程通解为
«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,因此«SkipRecordIf...».
3．3«SkipRecordIf...»,方程中不显含自变量«SkipRecordIf...».
解令«SkipRecordIf...»把«SkipRecordIf...»看作«SkipRecordIf...»的函数,而«SkipRecordIf...»又是«SkipRecordIf...»的函数,从而«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的复合函数,于是有
«SkipRecordIf...».
因此得到一阶方程为«SkipRecordIf...»,解此一阶方程得通解为«SkipRecordIf...»,则«SkipRecordIf...»,这是可分离变量方程,因此可求解.
例1求«SkipRecordIf...»的通解.
解方程中不含变量«SkipRecordIf...»,因此令«SkipRecordIf...»,于是
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»,从而有
«SkipRecordIf...».
例2求初值问题的解«SkipRecordIf...»
解令«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,或«SkipRecordIf...»≡«SkipRecordIf...»,由«SkipRecordIf...»
知«SkipRecordIf...»≡«SkipRecordIf...»,从而«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,又由«SkipRecordIf...»知«SkipRecordIf...».
例3求«SkipRecordIf...»的通解.
解令«SkipRecordIf...»,于是
«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»为佰奴里方程,«SkipRecordIf...»,令
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
四、高阶线性方程
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...»,（3）
当«SkipRecordIf...»≡«SkipRecordIf...»时,得到
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...»,（4）
方程（3）称为«SkipRecordIf...»阶非齐次线性方程,方程（4）为方程（3）相应的«SkipRecordIf...»阶齐次线性方程.
定理1．（解的叠加性）«SkipRecordIf...»阶齐线性方程（4）的任意«SkipRecordIf...»个解«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»的线性组合:
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...»仍是（4）的解,其中«SkipRecordIf...»…,«SkipRecordIf...»为任意常数.
定理2．«SkipRecordIf...»阶齐线性方程（4）存在«SkipRecordIf...»个线性无关的解:
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...».于是它的通解为
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...».
定理3．（3）的一个解加上（4）的一个解是（3）的一个解;（3）的任意两个解之差是（4）的一个解.
定理4．（3）的通解等于（4）的通解加上（3）的一个特解,即
«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...».
五、常系数线性方程（以二阶为例）
1．二阶常系数齐线性方程
«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为实常数.
解其特征方程«SkipRecordIf...»,因此,特征根有三种情况:
（1）«SkipRecordIf...»,两个不同的实根,则其通解为«SkipRecordIf...».
（2）«SkipRecordIf...»,两个相同的实根（二重根）,则其通解为«SkipRecordIf...».
（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,一对共轭复根,则其通解为«SkipRecordIf...».
2．二阶常系数非齐线性方程
«SkipRecordIf...».
（Ⅰ）«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»次多项式.
解由定理（4）知仅对其求一特解即可,用代定系数法求一特解.设其特解为:
«SkipRecordIf...»,
其中«SkipRecordIf...»取决于«SkipRecordIf...»为其特征根的重次:
«SkipRecordIf...»不是特征根,«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»是单根,«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»是二重根,«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»…«SkipRecordIf...».代入确定«SkipRecordIf...».
（Ⅱ）«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»分别是«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»次多项式.
解设其特解为«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»取决于«SkipRecordIf...»为特征根的重次:
«SkipRecordIf...»不是特征根时,«SkipRecordIf...»;«SkipRecordIf...»为单根时,«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»分别是«SkipRecordIf...»两个不同的«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»次多项式.
例1微分方程«SkipRecordIf...»特解形式.
解由于特征方程«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»是单特征根,因此,方程的特解形式为«SkipRecordIf...».
例2已知«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,是某二阶线性非齐次方程的三个解,则此微分方程是_________.
解«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,因此,«SkipRecordIf...»,于是特征方程为
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»,
对应的齐次方程是«SkipRecordIf...».设非齐项为«SkipRecordIf...»,令
«SkipRecordIf...»,
将«SkipRecordIf...»代入方程确定«SkipRecordIf...»,从而方程为
«SkipRecordIf...».
例3设«SkipRecordIf...»是二阶线性齐次微分方程«SkipRecordIf...»的两个特解,«SkipRecordIf...»是任意常数,则（«SkipRecordIf...»）.
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»一定是微分方城通解.
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»不可能是通解.
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»是方程的解.
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»不是方程的解.
例4设«SkipRecordIf...»是二阶非齐线性方程«SkipRecordIf...»的三个线性无关的解,«SkipRecordIf...»是任意常数,则此方程通解是（）.
（«SkipRecordIf...»）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
例5具有特解«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»的三阶线性常系数齐次微分方程是（）.
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».
解«SkipRecordIf...»,有«SkipRecordIf...»,即«SkipRecordIf...»,于是方程为
«SkipRecordIf...».
例6设«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»的解,则极限«SkipRecordIf...»（）.
«SkipRecordIf...»不存在.«SkipRecordIf...»等于«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»等于«SkipRecordIf...».«SkipRecordIf...»等于«SkipRecordIf...».
解由已知得«SkipRecordIf...»,又«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...».
例7求«SkipRecordIf...»的通解.
解特征方程为«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...».齐方程通解为«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».所以非齐方程的特解有«SkipRecordIf...»代入原方程得
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,因此通解为
«SkipRecordIf...».
例8求方程«SkipRecordIf...»的通解.
解«SkipRecordIf...»为二重根,因此齐方程的通解为
«SkipRecordIf...»,设特解为«SkipRecordIf...»,代入原方程得«SkipRecordIf...»,于是通解为
«SkipRecordIf...».
例9求«SkipRecordIf...»的通解.
解«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,齐方程的通解为«SkipRecordIf...»,由非齐方程的叠加性
分别去求方程«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的一个特解为
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»,因此通解为
«SkipRecordIf...».
例10求欧拉方
升级会员 