第6章-流体流动微分方程-讲义.ppt

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流体流动微分方程流体力学主干方程包括：

连续性方程，运动微分方程Navier-Stokes方程（N-S方程）；连续性方程及N-S方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达，具有普遍的适应性。

本章主要内容流体流动连续性方程：

微元质量守恒分析连续性方程运动微分方程的建立：

微元受力与动量分析应力形式的运动方程粘性流体的运动方程：

流体本构方程及讨论运动微分方程（N-S方程）流动微分方程的应用：

N-S方程应用概述与举例对流传热N-S方程（BoussinesqEquationofMotion）湍流时均化N-S方程（雷诺方程）,微元面法向速度和质量通量：

6.1连续性方程6.1.1直角坐标系中的连续性方程,质量守恒方程：

连续性方程：

以上结果代入质量守恒方程有,0,微元体质量守恒分析：

如图,微元面净输出的质量流量:

微元体质量变化率：

其展开形式为：

6.1连续性方程6.1.1直角坐标系中的连续性方程（续）,连续性方程（续）：

连续性方程可表示为：

根据物理量的质点导数和矢量v的散度定义:

物理意义:

（v）是流体体积变形速率，v=0表示不可压缩流体运动过程中，不管其形状怎样变化，其体积不会改变。

因此，只要是不可压缩流体，无论稳态流动还是非稳态流动，其连续性方程都一样。

不可压缩流体的连续性方程：

6.1连续性方程6.1.2柱坐标和球坐标系中的连续性方程,柱坐标系、球坐标系：

如图,球坐标系的连续性方程：

柱坐标系连续性方程:

对于不可压缩流体:

6.2运动微分方程的建立6.2.1作用于流体微元上的力,动量守恒方程：

F,微元体体积力与表面力（应力）：

如图,微元体x、y、z方向的体积力:

微元体上的表面力:

x方向:

y方向:

z方向:

6.2运动微分方程的建立6.2.2动量流量及动量变化率,微元体净输出的x、y、z方向的动量流量：

输入微元面的x方向动量流量为:

微元面上x方向的动量通量：

如图其中箭头方向仅表示输入输出方向。

输出微元面的x方向动量流量为:

因此:

微元体净输出的x方向动量流量：

同理:

微元体净输出的y方向动量流量：

微元体净输出的z方向动量流量：

微元体x、y、z方向动量的变化率：

6.2运动微分方程的建立6.2.3以应力表示的运动方程,将微元体x方向动量的净输出流量、变化率，以及x方向的体积力、表面力代入动量守恒方程可得：

简化后得：

以应力表示的运动方程：

（y、z方向同理）,z方向：

y方向：

流体质量（单位体积）,流体质点的加速度,x方向：

运动方程+连续性方程共4个方程，涉及9个变量：

3个速度分量，6个独立应力分量：

为使方程封闭尚需补充方程。

体积力+表面力（单位体积）,6.3粘性流体运动微分方程6.3.1牛顿流体的本构方程,斯托克斯（Stokes）基本假设：

为寻求一般条件下流体应力与变形速率之间的关系,Stokes假设:

应力与变形速率成线性关系;这种关系各向同性;静止流场切应力为零且各正应力均等于静压力。

牛顿流体本构方程广义剪切定律,本构方程讨论：

流体表面正应力:

附加正应力：

自身方向线应变率贡献,其它方向线应变率贡献,理想流体或静止流体：

运动流体:

切应力:

仅与剪切应变速率相关,一维流动：

表面取向无关,仅与线应变率有关,切应力互等定律，牛顿剪切定律,必然不可压缩,6.3粘性流体运动微分方程6.3.2流体运动微分方程,将牛顿流体本构方程引入应力形式的运动方程，可得现代流体力学主干方程：

耐维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations，简称N-S方程）：

N-S方程是粘性流体流动及相关对流传热传质分析的基本理论工具。

N-S方程对流体密度与粘度的变化、流体的可压缩性未作限制,实际应用中，针对具体问题上述三方面特点可对方程进行简化。

N-S方程引入了牛顿流体本构方程（基于层流背景建立），故该方程只适用于牛顿流体，且原则上仅适用于层流流动。

对于非牛顿流体,可采用以应力表示的运动方程。

6.3粘性流体运动微分方程6.3.2流体运动微分方程（续1）,常粘度、不可压缩流体的N-S方程：

=constv=0，且=const,N-S方程矢量形式及方程各项称呼或意义如下：

非定常项定常流动=0静止流场0,对流项静止流场=0蠕变流时0,源项单位质量流体的体积力,源项单位质量流体的表面力,扩散项（粘性力项）静止或理想流体=0高速非边界层内0,简化为欧拉方程（理想流体运动方程）简化为静力学方程,6.3粘性流体运动微分方程6.3.2流体运动微分方程（续2）,柱坐标系不可压缩流体的N-S方程：

柱坐标系牛顿流体本构方程：

式中：

分别是单位质量的离心力和哥氏力。

直角坐标转换为柱坐标时自动产生，分析流体受力时不必另加。

本构方程用于流体应力分析与计算,6.4流体流动微分方程的应用6.4.1N-S方程应用概述,连续性方程和N-S方程是粘性流体流动质量守恒和动量守恒的数学表达,具有普遍的适应性。

流体静力学方程和理想流体运动方程仅是其特例。

N-S方程应用条件：

N-S方程因为引入了牛顿流体本构方程，且以层流流动为背景,故只适用于牛顿流体,且原则上只适用于层流流动。

对非牛顿流体：

以应力表示的运动方程仍然适用。

N-S方程的封闭性：

N-S方程与连续性方程构成的微分方程组共有4个方程,涉及4个流动参数（三个速度分量vx、vy、vz和压力p）,故方程组封闭,理论上可以求解。

对于和可变的情况,应寻求变化关系作为补充方程；比如理想气体状态方程等。

对于湍流流动：

一般认为非稳态N-S方程对湍流的瞬时运动仍然适用（如直接数值模拟），但由于湍流脉动的高度随机性，湍流的直接模拟还十分困难（湍流场充满不同尺度的随机漩涡，目前的计算机内存还难以使计算网格和步长小到足以分辨小尺度湍流漩涡）。

因此，通常是将湍流流动参数瞬时值分解成时均值与随机脉动值来处理,即：

（如雷诺平均运动方程），但的引入又导致运动方程不封闭,从而使得人们力图通过推理和实验寻求与的关系,以作为使方程封闭的补充方程,即所谓湍流模型问题。

6.4流体流动微分方程的应用6.4.1N-S方程应用概述（续1）,N-S方程的求解：

N-S方程虽然封闭但还无普遍解。

对工程实际问题，必须根据其特殊性对N-S方程进行简化,获得针对具体问题的微分方程（组）,并确定适宜的初始条件和边界条件;这其中关键的是对问题的正确理解和合理简化。

至于简化后获得的模型方程,可能有解,也可能求不出解，也许只能得到近似解，或通过数值计算方法获得离散解。

例6-1圆管内的一维稳态流动分析例6-2同心圆筒壁面间的切向流动分析例6-3突然启动平板引起的流动问题例6-4沿流线的伯努利方程,第6章作业：

6-3，6-4，6-7，6-9,6.4.2N-S方程应用举例,强制对流和自然对流的N-S方程：

BoussinesqEquationofMotionNavier-StokesEquation（and=const,isothermalsystem）,6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用,SubstitutionofaboveequationsintotheN-SequationgivesBoussinesqequation:

Foranon-isothermalsystem,=（T3）.ExpandinTaylorseriesaboutthereferencetemperatureasfollows,Byintroducingthecoefficientofvolumeexpansion,thedensity,maybeexpressedas,Itappliestoforcedconvection,freeconvection,andtheregionbetweenthesetwoextremesaswell.,Boussinesq运动方程在自然对流与强制对流问题中的应用：

6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用（续1）,isparticularlytrueforvertical,rectilinearflow;fortheflownearsubmergedobjectsinlargebodiesoffluid.,Forfreeconvectionuptomoderate,thefluidmotionisslow.,Moderate=?

Forair:

Forwater:

Boussinesq运动方程在自然对流与强制对流问题中的应用：

Thisisparticularlytrue,forexample,ingasturbinesandnearhypersonicmissiles.,6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用（续2）,Inconclusion,forthecommonlyencounteredsituationswithmoderateandDv/Dt,themotionequationcanbegenerallywrittenas,Inforcedconvection,thebuoyancyissmallcomparedtoinertialforce.,If,6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用（续2）,湍流时均化N-S方程雷诺平均运动方程（雷诺方程）：

由此可得时间平均运算（时均化）的基本法则为：

（1）瞬时值之和的平均值等于其平均值之和，即：

（2）平均值的平均等于其本身，即：

（3）平均值与瞬时值乘积的平均值等于两者平均值之积,即：

（4）两脉动值乘积的平均值一般不等于0，即：

（5）导数的平均值等于平均值的导数，即：

瞬时参数时均化法则：

设瞬时速度，其中为时均速度，为脉动速度,且,基于非稳态N-S方程对湍流瞬时运动仍然适用的观点,雷诺将湍流运动参数表示为时均值与随机脉动值之和，即：

，将其引入N-S方程并进行时均化处理，获得了湍流时均化运动方程雷诺方程。

雷诺方程是湍流模型研究的主干方程。

t表示时间平均周期，它比脉动周期大得多，但又比非稳态流动的特征时间小得多,平均周期t不是x、t的函数,N-S方程的时均化：

以x方向N-S方程为例：

展开：

最后得：

6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用（续3）,雷诺方程：

将N-S方程中运动量表示为的形式，按上述法则对方程各项进行时均化得到的湍流时均化运动方程即雷诺方程如下：

与应力形式的运动方程对比可推断这些附加量具有应力的性质，称为湍流应力或雷诺应力，雷诺应力反映了湍流脉动对平均运动的附加影响。

新增6个雷诺应力的湍流N-S方程不再封闭，基于雷诺方程的湍流模型目的都在于建立雷诺应力与时均速度的关系，以作为封闭方程的补充方程。

雷诺方程与原N-S方程比较可知，时均化后运动方程多出6个独立附加量：

原N-S方程,时均化后的N-S方程雷诺方程,（雷诺应力）,6.4流体流动微分方程的应用6.4.3N-S方程的扩展应用（续4）,