人教版九年级数学上册 213 实际问题与一元二次方程 导学案含答案.docx

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人教版九年级数学上册213实际问题与一元二次方程导学案含答案

人教版九年级数学上册第二十一章21.3　实际问题与一元二次方程导学案

第1课时　用一元二次方程解决传播问题

1、教学目标

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．

2、预习反馈

阅读教材P19“探究1”，完成下面的探究内容．

问题　有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

分析　①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有（x＋1）人患了流感；

②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有1＋x＋x（1＋x）人患了流感．

则列方程1＋x＋x（1＋x）＝121，

解得x＝10或x＝－12（舍），

即平均一个人传染了10个人．

再思考：

如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？

3、例题讲解

类型1　利用一元二次方程解决传播问题

例1某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【思路点拨】　设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数，从而可列出方程．

【解答】　设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑．列方程，得

1＋x＋x（1＋x）＝81.

解得x1＝8，x2＝－10（舍去）．

∴第三轮被感染的电脑为：

81＋81×8＝729（台）．

∵729＞700，

∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

答：

每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

【方法归纳】　传播类问题规律：

（1）设开始数量为1，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为（1＋x）n＝b；

（2）设开始数量为a，每轮感染的数量为x，经n轮感染后的数量为b，则所列方程为a（1＋x）n＝b.

【跟踪训练1】　某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总数达24000个．其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

解：

设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得

60（1＋x）2＝24000.

解得x1＝19，x2＝－21（不合题意，舍去）．

答：

每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．

类型2　利用一元二次方程解决握手问题

例2　在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？

【思路点拨】　设李老师所教班共有x名学生，每个人都要和其他（x－1）个人握手一次，共握手x（x－1）次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手

x（x－1）次．

【解答】　设李老师所教班共有x名学生，依题意有

x（x－1）＝780，

即（x－40）（x＋39）＝0，

解得x＝40或x＝－39（舍去）．

答：

李老师所教班共有40名学生．

【跟踪训练2】　某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

解：

∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，

∴共7×4＝28场比赛．

设比赛组织者应邀请x队参赛，则由题意可列方程为

＝28.

解得x1＝8，x2＝－7（舍去）．

答：

比赛组织者应邀请8队参赛．

类型3　利用一元二次方程解决数字问题

例3一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．

【思路点拨】　设这个数的个位数字为x，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．

【解答】　设这个数的个位数为x，则十位数字为（x－2）．

由题意，得10（x－2）＋x＝3（x－2）x.

解得x1＝

，x2＝4.

答：

两位数为24.

【方法归纳】　数字问题常用解题技巧：

（1）三个连续偶数（奇数）：

若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x－2，x＋2.

（2）两位数的表示方法：

若十位、个位上的数字分别为a，b，则这个两位数可表示为10a＋b.

（3）三位数的表示方法：

若百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，则这个三位数可表示100a＋10b＋c.

【跟踪训练3】　一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．

解：

设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6－x）．

根据题意，得[10（6－x）＋x][10x＋（6－x）]＝1008，

即x2－6x＋8＝0，

解得x1＝2，x2＝4，

∴6－x＝4，或6－x＝2，

∴10（6－x）＋x＝42或10（6－x）＋x＝24，

答：

这个两位数是42或24.

4、巩固训练

1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为（C）

A．11人B．10人C．9人D．8人

2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6.

3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信．

4．某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？

解：

设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，

即x2＋x－90＝0.

解得x1＝9，x2＝－10（舍去）．

答：

每个枝干长出9个小分支．

5、课堂小结

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；

（2）“列”，即根据题中的等量关系列方程；

（3）“解”，即求出所列方程的根；

（4）“检验”，即验证是否符合题意；

（5）“答”，即回答题目中要解决的问题．

第2课时　用一元二次方程解决增长率问题

1、教学目标

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2．通过实际问题中的增降情况，学会将应用问题转化为数学问题，列一元二次方程解有关增降率的应用题．

2、预习反馈

阅读教材P19～20“探究2”，完成下面的探究内容．

问题　两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

（精确到0.001）

绝对量：

甲种药品成本的年平均下降额为（5000－3000）÷2＝1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000－3600）÷2＝1200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降率较大．

相对量：

从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？

也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？

下面我们通过计算来说明这个问题．

分析：

①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5__000（1－x）元，两年后甲种药品成本为5__000（1－x）2元．

依题意，得5__000（1－x）2＝3__000．

解得x1≈0.225，x2≈1.775（舍）．

根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为0.225．

②设乙种药品成本的年平均下降率为y.

则列方程6__000（1－y）2＝3__600．

解得y1≈0.225，y2≈1.775（舍）．

答：

两种药品成本的年平均下降率相同．

思考：

经过计算，你能得出什么结论？

成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？

应怎样全面地比较几个对象的变化状态？

3、例题讲解

类型1　利用一元二次方程解决增长（降低）率问题

例1　受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2018年利润为2亿元，2020年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率；

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？

【思路点拨】　

（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出2016年的利润，从而根据题意列出方程求解；

（2）根据该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率来解答．

【解答】　

（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，得2（1＋x）2＝2.88.

解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年该企业年利润平均增长率为20%.

（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：

2．88（1＋20%）＝3.456，3.456＞3.4.

答：

该企业2019年的利润能超过3.4亿元．

【方法归纳】　平均增长（降低）率问题规律：

1．平均增长率是指增长数与基数的比．若基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a（1＋x），两次增长后的值为a（1＋x）2.

2．平均降低率是指降低数与基数的比．若基数为a，平均降低率为x，则一次降低后的值为a（1－x），两次降低后的值为a（1－x）2.

【跟踪训练1】　某商场有一批皮衣，售价为每件5000元，为加快资金周转，进行了一次降价，但仍无人购买，又进行了第二次降价处理，其降价的百分率为第一次的2倍，结果以每件皮衣2400元的价格销售一空，问第二次降价的百分率是多少？

解：

设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x.根据题意，得

5000（1－x）（1－2x）＝2400.

解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.3＝130%（不合题意，舍去）．

答：

第二次降价的百分率为40%.

类型2　利用一元二次方程解决销售利润问题

例2　百货大楼服装柜在销售中发现：

某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五·一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：

如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？

【思路点拨】　设每件童装应降价x元，则可分别用含有x的代数式表示出每件衣服的销售利润及平均每天的销售量，再根据等量关系“每件的销售利润×销售量＝1200”列出方程求解即可．

【解答】　设每件童装应降价x元．由题意，得

（100－60－x）（20＋2x）＝1200.

解得x1＝10，x2＝20.

∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x＝20.

∴每件童装应定价为100－20＝80（元）．

答：

每件童装应定价80元．

【方法归纳】　销售利润问题中常见的公式：

①利润＝售价－成本；②利润率＝

×100%.

【跟踪训练2】　一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：

如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

解：

因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵．

设该校共购买了x棵树苗．由题意，得

x[120－0.5（x－60）]＝8800.

解得x1＝220，x2＝80.

当x＝220时，120－0.5×（220－60）＝40＜100，

∴x＝220（不合题意，舍去）；

当x＝80时，120－0.5×（80－60）＝110＞100，

∴x＝80.

答：

该校共购买了80棵树苗．

4、巩固训练

1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（A）

A．1000（1＋x）2＝1000＋440

B．1000（1＋x）2＝440

C．440（1＋x）2＝1000

D．1000（1＋2x）＝1000＋440

2．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．

解：

设该种药品平均每次降价的百分率是x.由题意，得

200（1－x）2＝98.

解得x1＝1.7（不合题意，舍去），x2＝0.3＝30%.

答：

该种药品平均每次降价的百分率是30%.

3．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：

生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．

（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；

（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？

解：

（1）（14－10）÷2＋1＝3（档次）．

答：

此批次蛋糕属第三档次产品．

（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得

（2x＋8）×（76＋4－4x）＝1080.

整理，得x2－16x＋55＝0.

解得x1＝5，x2＝11（不合题意，舍去）．

答：

该烘焙店生产的是第五档次的产品．

5、课堂小结

增长率问题：

增长率＝（实际数－基数）/基数．平均增长率公式：

Q＝a（1±x）2，其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，2是增长（或降低）的次数．

第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题

1、教学目标

1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

2．列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题．

2、预习反馈

阅读教材P20～21“探究3”，完成下面的探究内容．

如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

（精确到0.1cm）

分析：

封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央矩形的长宽之比也应是9∶7，若设中央的长方形的长和宽分别是9acm和7acm，由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比是

（27－9a）∶

（21－7a）＝9（3－a）∶7（3－a）＝9∶7.

设上、下边衬的宽均为9xcm，左、右边衬的宽均为7xcm，则中央的矩形的长为（27－18x）cm，宽为（21－14x）cm.

要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三．于是可列出方程（27－18x）（21－14x）＝

×27×21.

整理，得16x2－48x＋9＝0.

解方程，得x1＝

（不合题意，舍去），x2＝

.

上、下边衬的宽均为

cm，左、右边衬的宽均为

cm.

3、例题讲解

例　如图，学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504平方米，求小道的宽．

【思路点拨】　将图中纵向的两条路全部平移到图形的左边，横向的小路平移到图形的上方，则原图可以变换成如图所示的形状，种植面积和图中阴影矩形的面积相等．设小道的宽为x，则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来．根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可．

【解答】　设小道的宽为x米，依题意，得

（32－2x）（20－x）＝504.

整理，得x2－36x＋68＝0，即（x－2）（x－34）＝0.

解得x1＝2，x2＝34（舍）．

答：

小道的宽为2米．

【方法归纳】　这类问题，通常采用平移的方法，使剩余部分为一完整矩形．

【跟踪训练】　如图，要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条（图中阴影部分），横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度．（精确到0.1cm）

解：

设横彩条的宽度为3xcm，则竖彩条的宽度为2xcm.根据题意，得

（30－4x）（20－6x）＝（1－

）×20×30.

解得x1≈0.6，x2≈10.2（不合题意，舍去）．

故3x≈1.8，2x≈1.2.

答：

横彩条宽约为1.8cm，竖彩条宽约为1.2cm.

4、巩固训练

1．用长100cm的金属丝围成一个矩形框子，框子的面积不可能是（D）

A．375cm2B．500cm2C．625cm2D．700cm2

2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（C）

A．（x＋1）（x＋2）＝18B．x2－3x＋16＝0

C．（x－1）（x－2）＝18D．x2＋3x＋16＝0

3．如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是1m.（可利用的围墙长度超过6m）

4．如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

解：

设这块铁皮的宽是xcm.根据题意，得

5（x－10）（2x－10）＝500，

解得x1＝15，x2＝0（舍去）．

所以x＝15，2x＝30，

答：

这块铁皮的长是30cm，宽是15cm.

5、课堂小结

用一元二次方程解决的特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程．