高三数学高考知识点总结精品.docx
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高三数学高考知识点总结精品
高三数学高考知识点总结（精品）
高中数学第一章-集合
考试知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：
二、知识回顾：
（一）集合
1.基本概念：
集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.
2.集合的表示法：
列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征：
确定性、互异性、无序性.
集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为AA；
②空集是任何集合的子集，记为A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果AB，同时BA，那么A=B.
如果AB，BC，那么AC.
[注]：
①Z={整数}（√）Z={全体整数}（³）
②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（³）（例：
S=N；A=N，则CsA={0}）③空集的补集是全集.
④若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：
CAB=）.
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
[注]：
①对方程组解的集合应是点集.
例：
xy3解的集合{（2，1）}.2x3y1
②点集与数集的交集是.（例：
A={（x，y）|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑪①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
例：
①若ab5，则a2或b3应是真命题.
解：
逆否：
a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.
②
x1且y2y3.
解：
逆否：
x+y=3
x1且y2x=1或y=2.xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件.
⑫小范围推出大范围；大范围推不出小范围.
3.例：
若x5，x5或x2.
4.集合运算：
交、并、补.
交：
AB{x|xA,且xB}
并：
AB{x|xA或xB}
补：
CUA{xU,且xA}
5.主要性质和运算律
（1）包含关系：
AA,A,AU,CUAU,
AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.
（2）等价关系：
ABABAABBCUABU
（3）集合的运算律：
交换律：
ABBA;ABBA.
结合律:
（AB）CA（BC）;（AB）CA（BC）
分配律:
.A（BC）（AB）（AC）;A（BC）（AB）（AC）
0-1律：
A,AA,UAA,UAU
等幂律：
AAA,AAA.
求补律：
A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U
反演律：
CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）
6.有限集的元素个数
定义：
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card（A）规定card（φ）=0.
基本公式：
（1）card（AB）card（A）card（B）card（AB）
（2）card（ABC）card（A）card（B）card（C）
card（AB）card（BC）card（CA）
card（ABC）
（3）card（UA）=card（U）-card（A）
（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法（零点分段法）
①将不等式化为a0（x-x1）（x-x2）„（x-xm）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一方便）②求根，并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？
）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.
x
（自右向左正负相间）
则不等式a0xa1xnn1a2xn2an0（0）（a00）的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；
2
2.分式不等式的解法
（1）标准化：
移项通分化为f（x）f（x）f（x）f（x）>0（或<0）；≥0（或≤0）的形式，g（x）g（x）g（x）g（x）
（2）转化为整式不等式（组）
3.含绝对值不等式的解法f（x）f（x）f（x）g（x）00f（x）g（x）0;0g（x）0g（x）g（x）
（1）公式法：
axbc,与axbc（c0）型的不等式的解法.
（2）定义法：
用“零点分区间法”分类讨论.
（3）几何法：
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）
（1）根的“零分布”：
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
（2）根的“非零分布”：
作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.
（三）简易逻辑
1、命题的定义：
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：
p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。
3、“或”、“且”、“非”的真值判断互逆原命题逆命题
（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；若p则q若q则p
（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，逆
互其他情况时为假；否否（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，互逆否命题否命题其他情况时为真．若┐q则┐p若┐p则┐q互
4、四种命题的形式：
原命题：
若P则q；逆命题：
若q则p；
否命题：
若┑P则┑q；逆否命题：
若┑q则┑p。
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
5、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：
（原命题逆否命题）
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
7、反证法：
从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理„）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试知识要点
一、本章知识网络结构：
F:
AB
二次函数
二、知识回顾：
（一）映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数和性质．
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数yf（x）（xA）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=（y）（yC）叫做函数
的反函数，记作x
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：
对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑪若当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）,则说f（x）在这个区间上是增函数；
⑫若当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.
若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
yf（x）（xA）f1（y）,习惯上改写成yf1（x）
正确理解奇、偶函数的定义。
必须把握好两个问题：
（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇
函数或偶函数的必要不充分条件；
（2）f（x）f（x）或
f（x）f（x）是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数
的图象关于y轴成轴对称图形。
反之亦真，因此，也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反.
4．如果f（x）是偶函数，则f（x）f（|x|），反之亦成立。
若奇函数在x0时有意义，则f（0）0。
7.奇函数，偶函数：
⑪偶函数：
f（x）f（x）
设（a,b）为偶函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.
偶函数的判定：
两个条件同时满足
①定义域一定要关于y轴对称，例如：
yx21在[1,1）上不是偶函数.
②满足f（x）f（x），或f（x）f（x）0，若f（x）0时，
⑫奇函数：
f（x）f（x）
设（a,b）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.
奇函数的判定：
两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：
yx3在[1,1）上不是奇函数.
②满足f（x）f（x），或f（x）f（x）0，若f（x）0时，
y轴对称yf（x）8.对称变换：
①y=f（x）f（x）1.f（x）f（x）1.f（x）
x轴对称yf（x）②y=f（x）
yf（x）③y=f（x）原点对称
9.判断函数单调性（定义）作差法：
对带根号的一定要分子有理化，例如：
（x1x2）f（x）f（x）x2b2x2b2（x1x2）
121222xxb2x1b2
在进行讨论.
10.外层函数的定义域是BA.
解：
f（x）的值域是f（f（x））的定义域B，f（x）的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.
11.常用变换：
①f（xy）f（x）f（y）f（xy）
证：
f（xy）
x
yf（x）.f（y）f（y）f（x）f[（xy）y]f（xy）f（y）f（x）②f（）f（x）f（y）f（xy）f（x）f（y）证：
f（x）f（y）f（）f（y）
12.⑪熟悉常用函数图象：
1例：
y2→|x|关于y轴对称.y2|x|xyxy|x2|11→y→y22|x||x2|
y|2x2x1|→|y|关于x轴对称.
2
⑫熟悉分式图象：
例：
y
2x17
定义域{x|x3,2
x3x3
值域{y|y2,yR}→值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数
指数函数yax（a0且a1）的图象和性质
对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算：
loga（MN）
MlogalogN
logaMnn
loga1Mn
M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）alogaNN换底公式：
lo推论：
logabloga1a2l（以上
注⑪：
当
a,b0
时，
loga（b）log（a
.⑫：
当
M0
时，取“+”，当n
是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取“—”.
2
例如：
logax2logax（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.
⑫yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.
当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反.
（四）方法总结
⑪.相同函数的判定方法：
定义域相同且对应法则相同.⑪对数运算：
loga（MN）logaMlogaN
（1）loga
M
logaMlogaNN
1
logaMn
logaMnnlogaM12）logaMaloga
N
N
logbNlogba
换底公式：
logaN
推论：
logablogbclogca1
loga1a2loga2a3...logan1anloga1an
（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）
注⑪：
当a,b0时，log（ab）log（a）log（b）.
⑫：
当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取“—”.
例如：
logax22logax（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.
⑫yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.
当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴；当0a1时，则相反.
⑫.函数表达式的求法：
①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑬.反函数的求法：
先解x,互换x、y，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.
⑭.函数的定义域的求法：
布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑮.函数值域的求法：
①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑯.单调性的判定法：
①设x1,x2是所研究区间数列
考试§03.数列知识要点
⑫看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①anan1d（n2,d为常数）
②2anan1an1（n2）
③anknb（n,k为常数）.
⑬看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①anan1q（n2,q为常数,且0）
2an1an1（n2，anan1an10）②an①
注①：
i.bac，是a、b、c成等比的双非条件，即bacii.bac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.bac→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.bac且ac0→为a、b、c等比数列的充要.
注意：
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.、b、c等比数列.
③ancqn（c,q为非零常数）.
④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.
s1a1（n1）a⑭数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：
nsnsn1（n2）
[注]：
①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差{an}前n项和SnAn2Bnn2a1n→d2d2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→2
若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．
2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2kSk,S3kS2k...；②若等差数列的项数为2nnN，则S偶S奇ndS奇
S偶anan1；
nn1③若等差数列的项数为2n1nN，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇
代入n到2n1得到所求项数.
3.常用公式：
①1+2+3„+n=
②122232n2nn12S偶nn12n16
2nn1③132333n32
[注]：
熟悉常用通项：
9，99，999，…an10n1；5，55，555，…an5n101.9
4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：
⑪生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a（1r）n1，且过n年后总产量为：
2n1aa（1r）a（1r）...a（1r）a[a（1r）n].1（1r）
⑫银行部门中按复利计算问题.例如：
一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a（1r）n元.因此，第二年年初可存款：
121110a（1r）a（1r）a（1r）a（1r）[1（1r）12]...a（1r）=.1（1r）
⑬分期付款应用题：
a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.
a1rx1rmm1x1rm2......x1rxa1rmx1rm1ar1rm
xmr1r1
5.数列常见的几种形式：
⑪an2pan1qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.
具体步骤：
①写出特征方程x2Pxq（x2对应an2，x对应an1），并设二根x1,x2②若x1x2可设
nnan.c1xn1c2x2，若x1x2可设an（c1c2n）x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.
⑫anPan1r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.①转化等差，等比：
an1xP（anx）an1PanPxxx
②选代法：
anPan1rP（Pan2r）ran（a1
Pn1a1Pn2rPrr.r.P1rr）Pn1（a1x）Pn1xP1P1
③用特征方程求解：
an1Panran1anPanPan1an1（P1）anPan1.相减，anPan1r
④由选代法推导结果：
c1rrrr.，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn11PP1P11P
6.几种常见的数列的思想方法：
⑪等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：
一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn（a1）n利用二次函数的性质求n的值.22
⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前
111n项和的推倒导方法：
错位相减求和.例如：
1,3,...（2n1）n,...242
⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证anan1（an）为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法:
验证an1
22an1anan2（an1anan2）nN都成立。
3.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：
（1）当a1>0,d<0时，满足am0的项数m使得sm取最am10
大值.
（2）当a1<0,d>0时，满足am0的项数m使得sm取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,am10
注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
c2.裂项相消法:
适用于其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、anan1
含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于anbn其中{an}是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）:
1+2+3+...+n=n（n1）2
22）1+3+5+...+（2n-1）=n
13）12nn（n1）23332
4）123n
5）22221n（n1）（2n1）61111111（）n（n1）nn1n（n2）2nn2
1111（）（pq）pqqppq6）
高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin（ωx+φ）的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义．
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．
（8）“同角三角函数基本关系式：
sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα•cosα=1”．
§04.三角函数知识要点
1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）：
|k360,kZ
②终边在x轴上的角的集合：
|k180,kZ
③终边在y轴上的角的集合：
|k18090,kZ
④终边在坐标轴上的角的集合：
|k90,kZ
⑤终边在y=x轴上的角的集合：
|k18045,kZ
⑥终边在yx轴上的角的集合：
|k18045,kZ
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