六年级数学上册组合图形的周长和面积.docx
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六年级数学上册组合图形的周长和面积
六年级数学上册组合图形的周长和面积
例1.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这是最基本的方法：
圆面积减去等腰直角三角形的面积，
×
-2×1=1.14（平方厘米）
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去
圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以
=7，
所以阴影部分的面积为：
7-
=7-
×7=1.505平方厘米
例3.求图中阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
最基本的方法之一。
用四个
圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，
所以阴影部分的面积：
2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，正方形面积减去圆面积，
16-π（
）=16-4π
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，
π（
）×2-16=8π-16=9.12平方厘米
另外：
此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：
已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：
空白部分甲比乙的面积多多少厘米？
解：
两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）
π
-π（
）=100.48平方厘米
（注：
这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）
例7.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
正方形面积可用（对角线长×对角线长÷2，求）
正方形面积为：
5×5÷2=12.5
所以阴影面积为：
π
÷4-12.5=7.125平方厘米
（注:
以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形）
例8.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为
圆，
所以阴影部分面积为：
π（
）=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形，
所以阴影部分面积为：
2×3=6平方厘米
例10.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形，
所以阴影部分面积为2×1=2平方厘米
（注:
8、9、10三题是简单割、补或平移）
例11.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。
（π
-π
）×
=
×3.14=3.66平方厘米
例12.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
三个部分拼成一个半圆面积．
π（
）÷２＝14.13平方厘米
例13.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解:
连对角线后将"叶形"剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.
所以阴影部分面积为：
8×8÷2=32平方厘米
例14.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
梯形面积减去
圆面积，
（4+10）×4-
π
=28-4π=15.44平方厘米.
例15.已知直角三角形面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
分析:
此题比上面的题有一定难度,这是"叶形"的一个半.
解:
设三角形的直角边长为r，则
=12，
=6
圆面积为：
π
÷2=3π。
圆内三角形的面积为12÷2=6，
阴影部分面积为：
（3π-6）×
=5.13平方厘米
例16.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
［π
＋π
－π
］
=
π（116-36）=40π=125.6平方厘米
例17.图中圆的半径为5厘米,求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
上面的阴影部分以AB为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直角三角形，或两个小直角三角形AED、BCD面积和。
所以阴影部分面积为：
5×5÷2+5×10÷2=37.5平方厘米
例18.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影
部分的周长。
解：
阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧，
所以圆弧周长为：
2×3.14×3÷2=9.42厘米
例19.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。
解：
右半部分上面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个矩形。
所以面积为：
1×2=2平方厘米
例20.如图，正方形ABCD的面积是36平方厘米，求阴影部分的面积。
解：
设小圆半径为r，4
=36,r=3，大圆半径为R，
=2
=18,
将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,
所以面积为:
π（
-
）÷2=4.5π=14.13平方厘米
例21.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。
解：
把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形，边长为2厘米，
所以面积为：
2×2=4平方厘米
例22.如图，正方形边长为8厘米，求阴影部分的面积。
解法一:
将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.
阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和.π（
）÷2+4×4=8π+16=41.12平方厘米
解法二:
补上两个空白为一个完整的圆.
所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:
π（
）÷2-4×4=8π-16
所以阴影部分的面积为:
π（
）-8π+16=41.12平方厘米
例23.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，，它们的公共点是该正方形的中心，如果
每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少？
解：
面积为４个圆减去８个叶形，叶形面积为：
π
-1×1=
π-1
所以阴影部分的面积为:
4π
-8（
π-1）=8平方厘米
例24.如图，有8个半径为1厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周π率取3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米？
分析：
连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去
个圆，
这四个部分正好合成３个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆．
解：
阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和．
为：
4×4+π=19.1416平方厘米
例25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
分析：
四个空白部分可以拼成一个以２为半径的圆．
所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积，
4×（4+7）÷2-π
=22-4π=9.44平方厘米
例26.如图，等腰直角三角形ABC和四分之一圆DEB，AB=5厘米，BE=2厘米，求图中阴影部分的面积。
解:
将三角形CEB以B为圆心，逆时针转动90度，到三角形ABD位置,阴影部分成为三角形ACB面积减去
个小圆面积,
为:
5×5÷2-π
÷4=12.25-3.14=9.36平方厘米
例27.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。
解:
因为2
=
=4，所以
=2
以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形AC面积，
π
-2×2÷4+[π
÷4-2]
=
π-1+（
π-1）
=π-2=1.14平方厘米
例28.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解法一：
设AC中点为B,阴影面积为三角形ABD面积加弓形BD的面积,
三角形ABD的面积为:
5×5÷2=12.5
弓形面积为:
[π
÷2-5×5]÷2=7.125
所以阴影面积为:
12.5+7.125=19.625平方厘米
解法二：
右上面空白部分为小正方形面积减去
小圆面积，其值为：
5×5-
π
=25-
π
阴影面积为三角形ADC减去空白部分面积，为：
10×5÷2-（25-
π）=
π=19.625平方厘米
例29.图中直角三角形ABC的直角三角形的直角边AB=4厘米，BC=6厘米，扇形BCD所在圆是以B为圆心，半径为BC的圆，∠CBD=
，问：
阴影部分甲比乙面积小多少？
解:
甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形BCD，一个成为三角形ABC，
此两部分差即为：
π
×
－
×4×6＝5π-12=3.7平方厘米
例30.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。
求BC的长度。
解：
两部分同补上空白部分后为直角三角形ABC，一个为半圆，设BC长为X，则
40X÷2-π
÷2=28
所以40X-400π=56则X=32.8厘米
例31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。
解：
连PD、PC转换为两个三角形和两个弓形，
两三角形面积为：
△
APD面积+△QPC面积=
（5×10+5×5）=37.5
两弓形PC、PD面积为：
π
-5×5
所以阴影部分的面积为：
37.5+
π-25=51.75平方厘米
例32.如图，大正方形的边长为6厘米，小正方形的边长为4厘米。
求阴影部分的面积。
解：
三角形DCE的面积为:
×4×10=20平方厘米
梯形ABCD的面积为:
（4+6）×4=20平方厘米从而知道它们面积相等,则三角形ADF面积等于三角形EBF面积，阴影部分可补成
圆ABE的面积，其面积为：
π
÷4=9π=28.26平方厘米
例33.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解:
用
大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2为半径的
圆ABE面积，为
（π
+π
）-6
=
×13π-6
=4.205平方厘米
例34.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
两个弓形面积为：
π
-3×4÷2=
π-6
阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为
π
+π
-（
π-6）=π（4+
-
）+6=6平方厘米
例35.如图，三角形OAB是等腰三角形，OBC是扇形，OB=5厘米，求阴影部分的面积。
解：
将两个同样的图形拼在一起成为
圆减等腰直角三角形
[π
÷4-
×5×5]÷2
=（
π-
）÷2=3.5625平方厘米
例36.如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O的面积。
B
解：
因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。
又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。
所以
3.14×12×
×2＝1.57（平方厘米）
答：
长方形长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
例37.如图19－14所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
19－14
C
D
A
B
EB
4B
6B
II
I
解：
我们可以把三角形ABC看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示），因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三角形面积分别相等，所以I和II的面积相等。
6×4＝24（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是24平方厘米。
例38如图19－18所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
解：
阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：
4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：
180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：
2×2×3.14×
≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：
7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
答：
阴影部分的面积是3.16平方厘米。
★组合图形的周长与面积练习题
圆的周长和面积
（一）
【知识要点】：
用剪拼移补的方法计算组合图形的面积
1、计算下面图形中涂色部分的面积。
（单位：
厘米）
① ②
31
53
2、求下面图形中涂色部分的面积。
（单位：
厘米）
① ②
55
8
3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是5平方厘米，求圆的面积。
① ②
O
4、如下图示，AB＝4厘米，求涂色部分的面积。
AOB
5.求阴影面积
← 15厘米 →
6、如下图所示，一个圆的周长是15.7厘米，求长方形的面积。
圆的周长和面积
（二）
一、关键问题：
对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易。
二、典型例题：
（一）基础部分：
1、例1、将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。
2、例2、求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）
3、例3、求图中阴影部分的面积（单位：
厘米）
（二）拓展部分：
1、例1：
两条细绳各自牢牢地绑住如（甲）（乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒纸的半径是10㎝。
请问这两条细绳的长度分别是几厘米？
三、热身演练：
（一）基础练习：
1、如图：
正方形的边长是5厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？
2、求阴影部分的周长。
3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）
4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）
（二）拓展练习：
1、有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米长的绳子？
（打结用的绳长不计）
2、直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，（如图），试求金属带的长度。
3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
4、下图：
大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？
如果小圆的直径分别是3厘米、1厘米、4厘米、2厘米。
请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大圆的周长。
5、下图：
小圆的周长是12.56厘米，环形的宽度是2厘米，请求出环形的面积。
6、下图：
长方形的长是6厘米，宽是3厘米。
请求出阴影部分的面积。
7、下图：
大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，请求出阴影部分的面积。
8、求出下图阴影部分的面积。
9、求出下图阴影部分的面积。
10、下图：
正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。
阴影部分占正方形的百分之几？
11、下图是由两个边长是5厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。
12、下图正方形的面积是8平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。
13、下面正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。
14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。
15、下图：
圆的周长是25.15厘米，请求出阴影部分的面积。
16、下图：
直角三角形的两直角边分别是8厘米，6厘米，斜边是三角形周长的
，求出阴影部分的面积。
17、下图：
正方形的边长是5厘米，请求出阴影部分的面积。
18、如图8，已知EO=8㎝，求阴影部分的周长和面积。
19、如图10，求阴影部分的周长和面积。
（单位：
㎝）
20、如图11，求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。
（单位：
㎝）
21、如图12，已经半圆的直径为10㎝，求阴部分的面积及阴影弧线长的和
。
22、如下图，已知AB=12厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大12平方厘米。
求BC的长是多少厘米？
23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。
（单位：
㎝）
24、如下图，已知AC=CD=DB=2㎝，求阴影部分的周长和面积。
25、已经半圆的直径为9㎝，求阴影部分的面积。
26、如下图，求阴影部分的周长与面积。
（单位：
㎝）
C
27、如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分
（1）的面积与阴影部分
（2）的面积相等，求平行四边形ABCD的面积。
28、如图所示，直径BC＝8厘米，AB＝AC，D为AC的重点，求阴影部分的面积。
29、如图所示，AB＝BC＝8厘米，求阴影部分的面积。
30、
如图所示，求四边形ABCD的面积。
（单位：
厘米）
31、如图19－16所示，BE长5厘米，长方形AEFD面积是38平方厘米。
求CD的长度。
32.图19－17是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分的面积（单位：
厘米）。
33、如图19－19所示，∠1＝15度，圆的周长位62.8厘米，平行四边形的面积为100平方厘米。
求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
34、如图19－20所示，三角形ABC的面积是31.2平方厘米，圆的直径AC＝6厘米，BD：
DC＝3：
1。
求阴影部分的面积。
35、如图19－21所示，求阴影部分的面积（单位：
厘米。
得数保留两位小数）。
三角形面积计算
【例题1】已知如图，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=2/3BC，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。
由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。
因为BD=2/3BC，所以S△BDF＝2S△DCF。
又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。
因此，S△ABC＝5S△DCF。
由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1：
1．如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。
求阴影部分的面积。
2．如图所示，AE=ED，DC＝1/3BD，S△ABC＝21平方厘米。
求阴影部分的面积。
3．如图所示，DE＝1/2AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。
求三角形ABC的面积。
【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：
BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：
S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。
所以△AOD的面积为6÷2＝3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6
因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD＝6÷2＝3。
答：
△AOD的面积是3。
练习2：
1．两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？
2．已知AO＝1/3OC，求梯形ABCD的面积（如图所示）。
3．已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。
求梯形ABCD的面积。
（如图所示）。
【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图所示）。
【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。
同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。
由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：
四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3：
1．四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图）。
2．已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD的面积（如图所示）。
3．如图所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。
【例题4】如图所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。
那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。
根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。
所以，
S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米）S△DAB＝4×3＝12平方厘米
S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：
梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4：
1．如图所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。
求梯形面积。
2．已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。
求梯形的面积（如图所示）。
3．已知S△AOB＝6平方厘米。
OC＝3AO，求梯形的面积（如图所示）。
【例题5】如图所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。
仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。
由图上看出：
三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。
用8减去3得到三角形ABE的面积为5。
同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。
因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5：
1．如图所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。
2．如图所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。
3．如图所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。
简单几何体的表面积与体积的计算
一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种
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