三角形证明.docx

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三角形证明

XX教育学科教师辅导讲义

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学员编号：

学段：

课时数：

3第次课

学员姓名：

科目：

学科教师：

班主任：

课程日期及时段

年月日时分——时分

课程主题

等腰三角形直角三角形线段的垂直平分线角平分线

课程目标

将每种三角形的定义掌握完全与透彻

重/难点

三角形的判定，以及通过三角形的全等来证明线与角的等量关系

易错点

三角形中量的计算

教学内容

一、导入目录

什么是等腰三角形，直角三角形

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二、课前自主学习

尺规作图

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

三、知识梳理+经典例题

《第11章三角形》

　三角形性质在解题中的应用

一、填空题

1．在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，则∠C=　70　°．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由三角形的内角和定理直接列式计算，即可解决问题．

【解答】解：

∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=40°，∠B=∠C，

∴∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，

故答案为70．

【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；灵活运用是解题的关键．

2．小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：

　6　，　11　，　16　（单位：

cm）．

【考点】三角形三边关系．

【分析】首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．

【解答】解：

每三根组合，有5，6，11；5，6，16；11，16，5；11，6，16四种情况．

根据三角形的三边关系，得其中只有11，6，16能组成三角形．

【点评】此题要特别注意看是否符合三角形的三边关系．

3．如果等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是　100°　．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和即可解决问题．

【解答】解：

180°﹣40°×2=100°，

答：

顶角是100°．

故答案为：

100°

【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和的应用，解答此题的关键：

根据三角形的内角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即可．

4．三角形的一边为5cm，一边为7cm，则第三边的取值范围是　2cm＜xcm＜12cm　．

【考点】三角形三边关系．

【分析】设第三边长为xcm，再由三角形三边关系即可得出结论．

【解答】解：

设第三边长为xcm，

∵三角形的一边为5cm，一边为7cm，

∴7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12．

故答案为：

2cm＜xcm＜12cm．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

5．△ABC中，若∠A=35°，∠B=65°，则∠C=　80°　；若∠A=120°，∠B=2∠C，则∠C=　20°　．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形内角和定理，求得∠C的度数和∠B+∠C=60°，进而得出∠C的度数．

【解答】解：

∵△ABC中，∠A=35°，∠B=65°，

∴∠C=180°﹣35°﹣65°=80°；

∵∠A=120°，

∴∠B+∠C=60°，

又∵∠B=2∠C，

∴∠C=20°．

故答案为：

80°，20°．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：

三角形内角和是180°．

6．三角形三个内角中，最多有　1　个直角，最多有　1　个钝角，最多有　3　个锐角，至少有　2　个锐角．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】依据三角形的内角和是180度，假设一个三角形中可以有多于1个的钝角或直角，则会得出违背三角形内角和是180度的结论，假设不成立，从而可以得出一个三角形中最多有1个钝角或直角，如果一个三角形中只有1个锐角，也就是出现2个或3个直角，再加上第三个角，那么三角形的内角和就大于180°，也不符合三角形内角和是180°．

【解答】解：

因为三角形的内角和等于180°，

所以在三角形内角中，最多有1个直角；最多有1个钝角，最多有3个锐角，至少有2个锐角．

故答案为：

1，1，3，2

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．

7．三角形按角的不同分类，可分为　锐角　三角形，　直角　三角形和　钝角　三角形．

【考点】三角形．

【分析】根据三角形的分类方法进行填空即可．

【解答】解：

三角形按角的不同分类，可分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．

故答案为：

锐角；直角；钝角．

【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形分类一种是按边分类，一种是按角分类．

8．一个三角形三个内角度数的比是2：

3：

4，那么这个三角形是　锐角　三角形．

【考点】三角形内角和定理．

【专题】计算题．

【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．

【解答】解：

设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，4k°．

则2k°+3k°+4k°=180°，

解得k°=20°，

∴2k°=40°，3k°=60°，4k°=80°，

所以这个三角形是锐角三角形．

故答案是：

锐角．

【点评】本题主要考查了内角和定理．解答此类题利用三角形内角和定理列方程求解可简化计算．

9．在△ABC中，∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，则∠A=　72°　，∠B=　36°　，∠C=　72°　．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和定理可得出∠A+∠B+∠C=180°，再与∠A﹣∠B=36°，∠C=2∠B，联立列出方程组，即可求得答案．

【解答】解：

由题意得

，

解得

，

故答案为72°，36°，72°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和定理和已知条件列方程组求解计算．

10．若△ABC中，∠A+∠B=∠C，则此三角形是　直角　三角形．

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由三角形内角和定理和直角三角形的判定可知．

【解答】解：

∠A+∠B+∠C=2∠C=180°，

∴∠C=90°，

∴此三角形是直角三角形．

【点评】本题考查了三角形内角和定理．三角形的内角和是180°．

11．已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1：

2，则这个等腰三角形的顶角为　36°或90°　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

【分析】先可求出两角，然后分两种情况：

顶角与底角的度数比是1：

2或底角与顶角的度数比是1：

2．根据三角形的内角和定理就可求解．

【解答】解：

当顶角与底角的度数比是1：

2时，则等腰三角形的顶角是180°×

=36°；

当底角与顶角的度数比是1：

2时，则等腰三角形的顶角是180°×

=90°．

即该等腰三角形的顶角为36°或90°．

故填36°或90°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

12．已知△ABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8cm和3cm时，它的周长为　19cm　；②如果它的一边长为4cm，一边的长为6cm，则周长为　14cm或16cm　．

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：

①当腰长为8cm时，三边是8cm，8cm，3cm，符合三角形的三边关系，此时周长是19cm；

当腰长为3cm时，三角形的三边是8cm，3cm，3cm，因为3+3＜8，应舍去．

②当腰长为4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，6cm，符合三角形的三边关系，此时周长是14cm；

当腰长为6cm时，三角形的三边是6cm，6cm，4cm，符合三角形的三边关系，此时周长是16cm．

故答案为：

19cm，14cm或16cm．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

二、判断题．

13．有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形．　√　（判断对错）

【考点】三角形．

【分析】根据三角形的分类：

有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；进行解答即可．

【解答】解：

根据钝角三角形的定义可知：

有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；

所以“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”的说法是正确的．

故答案为：

√．

【点评】此题考查了根据角对三角形分类的方法：

三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．

14．一个等腰三角形的顶角是80°，它的两个底角都是60°．　×　（判断对错）

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，先用“180°﹣80°”求出两个底角的度数和，然后除以2进行解答即可．

【解答】解：

（180°﹣80°）÷2，

=100°÷2，

=50°；

它的一个底角度数是50°；

故错，

故答案为：

×

【点评】此题考查等腰三角形的性质，解答此题的关键：

根据三角形的内角和、等腰三角形的两底角和顶角三个量之间的关系进行解答即可．

15．两个内角和是90°的三角形是直角三角形．　对　（判断对错）

【考点】三角形．

【分析】根据三角形内角和为180°可得两个内角和是90°的三角形，第三个角是90°，是直角三角形．

【解答】解：

两个内角和是90°的三角形是直角三角形，说法正确；

故答案为：

对．

【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形内角和为180°．

16．一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角．　正确　（判断对错）

【考点】三角形．

【分析】这个结论正确，可以利用反证法证明．

【解答】解：

一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角．

理由：

假如一个三角形有两个钝角或两个直角，那么这个三角形的内角和大于180°，

这与三角形内角和为180°矛盾，

所以假设不成立，

所以一个三角形最多只能有一个钝角或一个直角．

故答案为正确．

【点评】本题考查三角形，三角形的内角和、反证法等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理，属于中考常考题型．

17．在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°．　正确　（判断对错）

【考点】三角形．

【分析】这个结论是正确的，可以用反证法证明．

【解答】解：

这个结论是正确的．

假如两个锐角之和小于等于90，那么第三个角是90°或钝角，这个三角形是钝角三角形，与已知条件矛盾，

所以假设不成立，故在锐角三角形中，任意的两个锐角之和一定要大于90°．

【点评】本题考查三角形内角和定理，反证法等知识，解题的关键是学会利用反证法证明，属于中考常考题型．

18．一个三角形，已知两个内角分别是85°和25°，这个三角形一定是钝角三角形．　错　（判断对错）

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形内角和定理，求得第三个内角，进而判定三角形的形状．

【解答】解：

∵一个三角形的两个内角分别是85°和25°，

∴第三个内角为70°，

∴这个三角形一定是锐角三角形．

故答案为：

错

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：

三角形内角和是180°．

三、选择题

19．如果三角形的三个内角的度数比是2：

3：

4，则它是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．钝角或直角三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．

【解答】解：

设三个内角分别为2k、3k、4k，

则2k+3k+4k=180°，

解得k=20°，

所以，最大的角为4×20°=80°，

所以，三角形是锐角三角形．

故选A．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．

20．下列说法正确的是（　　）

A．三角形的内角中最多有一个锐角

B．三角形的内角中最多有两个锐角

C．三角形的内角中最多有一个直角

D．三角形的内角都大于60°

【考点】三角形内角和定理．

【专题】探究型．

【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：

A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；

B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；

C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；

D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．

21．已知△ABC中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A的度数为（　　）

A．100°B．120°C．140°D．160°

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A的方程，从而求解．

【解答】解：

∵∠A=2（∠B+∠C），∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+

∠A=180°，

∠A=120°．

故选B．

【点评】此题考查了三角形的内角和定理．

22．已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，于是可计算出∠A=90°，由此可判断三角形为直角三角形．

【解答】解：

设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A﹣∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠A=180°，

∴∠A=90°，

∴这个三角形为直角三角形．

故选C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：

三角形内角和是180°．利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．

23．等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　）

A．10cm或6cmB．10cmC．6cmD．8cm或6cm

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可．

【解答】解：

∵|AC﹣BC|=2cm，

∴AC﹣BC=2cm或﹣AC+BC=2cm，

∵BC=8cm，

∴AC=（2+8）cm或AC=（8﹣2）cm，即10cm或6cm．

故选A

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知“等腰三角形的两腰相等”是解答此题的关键．

24．在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）

A．4cmB．5cmC．9cmD．13cm

【考点】三角形三边关系．

【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．

【解答】解：

设第三边为c，则9+4＞c＞9﹣4，即13＞c＞5．只有9符合要求．

故选C．

【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：

大于已知的两边的差，而小于两边的和．

25．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形（　　）

A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°

C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由三角形内角和定理知．

【解答】解：

∵∠B+∠C+∠A=180°，∠B+∠C=3∠A，

∴∠B+∠C+∠A=4∠A=180°，

∴∠A=45°．

故选A．

【点评】本题利用了三角形内角和为180°求解．

26．在下列条件中：

①∠A+∠B=∠C，②∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=

∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．

【解答】解：

①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴2∠C=180°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴①正确；

②∵∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=

×180°=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴②正确；

③∵∠A=90°﹣∠B，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴③正确；

④∵∠A=∠B=

∠C，

∴∠C=2∠A=2∠B，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+∠A+2∠A=180°，

∴∠A=45°，

∴∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形，∴④正确；

故选D．

【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．

27．已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是（　　）

A．1＜a＜5B．2＜a＜6C．3＜a＜7D．4＜a＜6

【考点】三角形三边关系．

【专题】应用题．

【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．

【解答】解：

由于在三角形中任意两边之和大于第三边，

∴a＜2+4=6，

任意两边之差小于第三边，

∴a＞4﹣2=2，

∴2＜a＜6，

故选B．

【点评】本题考查了构成三角形形成的条件：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中．

28．在△ABC中，∠A=

∠B=

∠C，则此三角形是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．

【解答】解：

∵∠A=

∠B=

∠C，

∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+3∠A=180°，

解得∠A=30°，

所以，∠B=2×30°=60°，

∠C=3×30°=90°，

所以，此三角形是直角三角形．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．

四、解答题

29．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．

（1）给出下列四个条件：

①AD=CE②AE=CD③∠BAC=∠BCA④∠ADB=∠CEB

请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；

你选出的条件是　②　．

证明：

【考点】全等三角形的判定．

【分析】要证明△ADB≌△CEB，两三角形中已知的条件有BD=BE，有一个公共角，那么根据三角形的判定公理和推论，我们可看出①不符合条件，没有SSA的判定条件，因此不正确．②AE=CD，可得出AB=BC，这样就构成了SAS，因此可得出全等的结论．③构成了全等三角形判定中的AAS，因此可得出三角形全等的结论．④构成了全等三角形判定中的ASA，因此可得出三角形全等的结论．

【解答】解：

选择②，

证明：

∵AE=CD，BE=BD，

∴AB=CB，

又∵∠ABD=∠CBE，BE=BD

∴△ADB≌△CEB（SAS）．

故答案为：

②

【点评】本题考查了全等三角形的判定公理及推论．注意SSA和AAA是不能得出三角形全等的结论的．

30．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF．

（1）图中有几对全等的三角形请一一列出；

（2）选择一对你认为全等的三角形进行证明．

【考点】直角三角形全等的判定．

【专题】证明题；开放型．

【分析】本题考查三角形的全等知识．第

（1）小题是根据对图形的直观判断和一定的推理可得结果，要求考虑问题要全面．第

（2）个问题具有一定的开放性，选择证明不同的结论，判定方法会有不同，这里根据HL（斜边直角边定理）来判断两个直角三角形全等．

【解答】解：

（1）3对．分别是：

△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF．

（2）△BDE≌△CDF．

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°．

又D是BC的中点，

∴BD=CD．

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（HL）．

【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．

31．如图所示，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2，求证：

△ABC≌△ADE．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】已知∠1=∠2，∠DAC是公共角，从而可推出∠DAE=∠BAC，已知AB=AD，AC=AE，从而可以利用SAS来判定△ABC≌△ADE．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

即∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有：

SSS，SAS，AAS，HL等，做题时注意灵活运用．

32．如图，BF⊥AC，CE⊥AB，BE=CF，BF、CE交于点D，求证：

AD平分∠BAC．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】先由条件可以得出△BED≌△CFD就有DE=DF，就可以得出结论．

【解答】证明：

∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BED=∠CFD=90°．

在△BED和△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE=DF．

∵DF⊥AC，DE⊥AB，

∴AD平分∠BAC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

33．如图，已知∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E．求证：

CE=CB．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据平行线的性质可以得到∠A=∠CEB，则∠CEB=∠B，根据等角对等边即可证得．

【解答】证明：

∵CE∥DA，

∴∠A=∠CEB，

∵∠A=∠B，

∴∠CEB=∠B，

∴CE=CB．

【点评】本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，理解定理是关键．

34．如图，∠BDA=∠CEA，AE=AD．求证：

AB=AC．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】由已知条件加上公共角相