小学数学解题思路大全巧想妙算文字题Word下载.docx

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这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。

思路三：

两数和最大的是19。

两数和大于10的是11、12、…、19。

和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；

和是11～19的取法

5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25（种）。

4.想大小数之积

用最大与最小数之积作内项（或外项）的积，剩的相乘为外项（或内项）的积，由比例基本

性质知

交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。

5.由得数想

例如，思考题：

在五个中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立其结果是

0，，1，，2。

从得数出发，想：

两个相同数的差，等于0；

一个数加上或减去0，仍等于这个数；

一个因数是0，积就等于0；

0除以一个数（不是0），商等于0；

两个相同数的商为1；

1除以，商等于2；

解法很多，只举几种：

－×

×

＝0

－－－×

＋＋×

－＝0\

＋－－×

＋＝

＋＋－－＝

＋×

＋—＝

＋－＝

＋＋＝1

÷

＋－×

＝1

－÷

＋÷

－＋＝1

－＋＋÷

＝

＋＋＝

＋＋＋－＝

－＝

＋－＝2

＋＋－÷

＝2

[＋×

＋]÷

6.想平均数

由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。

设第一个数为“1”，则中间数占

知这三个数是14、15、16。

二、一个数分别为

16－1＝15，

15－1＝14或16－2＝14。

若先求第一个数，则

设第三个数为“1”，则第二、三个数，

知是15、16。

思路四：

第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷

（8－7）×

7＝14。

若先求第三个数，则

2÷

8＝16。

7.想奇偶数

例1思考题：

在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、

减两种符号，使所得的结果都等于100。

例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。

若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，

比原式和增大了78－（7＋8）＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9

＝45＋63＝108。

为使其和等于100，式左必须减去8。

加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。

“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，

不能介绍。

如果式左变为

12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。

［12－（1＋2）］＋［89－（8＋9）］＝81。

即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。

要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有

12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，

12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，

同理得

12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，

1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，

1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，

123－4－5－6－7＋8－9＝100，

123＋4－5＋67－89＝100，

123－45－67＋89＝100。

为了减少计算。

应注意：

（1）能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减（不再去掉某两数间的加号），结果为100呢

1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±

偶数＝奇数，结果不会是100。

（2）有一个是四位数，结果也不可能为100。

因为1234减去余下数字组成（按顺序）的最大数789，

再减去余下的56，差大于100。

例2求59～199的奇数和。

由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）＝n2

奇数比它对应的序数2倍少1。

用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。

例如，32对应奇数2×

32－1＝63。

奇数199，从1起的连续奇数中排列在100（2n－1＝199，n

＝100）的位置上。

知1～199的奇数和是1002＝10000。

此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292

＝841。

所求为10000－841＝9159。

或者59＝30×

2－1，302＝900，

10000－900＋59＝9159。

若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比

原式和增大了78－（7＋8）＝63，即

“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，

奇数199，从1起的连续奇数中排列在100（2n－1＝199，n＝100）

的位置上。

此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。

证明：

设M、N（都是自然数）的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。

那么M×

N＝P×

a×

P×

b。

而Q＝P×

b，

所以M×

Q。

例1甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。

甲数是21，乙数是多少

例2已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。

这两个互质数的积为1×

155＝155，还可分解为5×

31。

所求是1和155，5和31。

例3两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的倍，求各数。

由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的倍。

小数的平方为4×

40÷

＝64。

小数是8。

大数是8×

＝20。

算理：

4×

40＝8×

20＝8×

（8×

＝82×

。

9.想份数

10.巧用分解质因数

例1四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。

144＝24×

32

＝（22×

3）×

[（2×

2]

＝（4×

（6×

2）

可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。

例2三个连续自然数的积是4896，求这三个数。

4896＝25×

32×

17

＝24×

17×

（2×

32）

＝16×

18

1728＝26×

33＝（22×

3）3＝123

385＝5×

7×

11

例41992年小学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题3：

找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多

少

1992＝2×

2×

3×

83

2＋3＋83＝88

例5甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两

17.想法则

用来说明运算规律（或方法）的文字，叫做法则。

子比分

母少16。

求这个分数

由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比

3倍比

分母少16。

知

分子的5－3＝2（倍）是2＋16＝18，分子为18÷

2＝9，分母为9×

5－2＝43或9×

3＋16＝43。

18.想公式

证明方法：

以分母a，要加（或减）的数为

（2）设分子加上（或减去）的数为x，分母应加上（或减去）的数为y。

19.想性质

例11992年小学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题6：

有甲、乙两个

多

少倍

200÷

16＝（倍）。

例2思考题：

三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；

其中一个分数的值，等于另两个分数的和。

写出这三个分数。

由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；

12、15、30；

12、15、60。

由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。

满足题意的三个分数是

（二）第400个分数是几分之几

此题特点：

（2）每组分子的排列：

假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。

分数的个数为n＋n－1＝2n

－1，即任何一组分数的个数总是奇数。

（3）分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系

分母：

1、2、3、4、5、……

分数个数：

1、3、5、7、9、……

（4）每组分数之前（包括这组本身）所有分数个数的和，等于这组的组号（这一组的分母）的平方。

例如，第3组分数前（包括第3组）所有分数个数的和是32=9。

10×

2

－1－6=13（个）位置上。

分别排

在81＋7＝88（个），81＋13=94（个）的位置上。

或者102=100，100－12=88。

100－6＝94，88＋6＝94。

问题

（二）：

由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分

数所在的组数400＝202，分母也是它。

第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后

一个，即

若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。

逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个

352－（35×

2－1）＋1

＝1225－69＋1＝1157。

排在1157－1225个的位置上。

20.由规则想

例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：

接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两

个数字的乘积的个位数字。

例如，8×

9＝72，在9后面写2，9×

2＝18，在2后面写8，……得到一串数：

1989286……

这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么

先按规则多计算几个数字，得884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，

每6个一组。

（1989－4）÷

6＝330……5

最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。

21.用规律

例1第六册P62第14题：

选择“＋、－、×

、÷

”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数

分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1）22222＝0

（2）22222＝1

（10）22222＝9

解这类题的规律是：

先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：

2－2＝0，2÷

2＝1；

再联想2－2÷

2＝1，2×

2＝2，2÷

2＋2＝3，……

每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：

2＋2÷

2－2＝0

2－2÷

2＝1

2－2＋2÷

2＝2

2－2＝3

2－2－2＝4

2＋2×

2＝5

2＋2－2＋2×

2＝6

2＝7

2＝8

2＝9

例2第六册P63题4：

写出奇妙的得数

2＋1×

9＝

3＋12×

4＋123×

5＋1234×

6＋12345×

得数依次为11、111、1111、11111、111111。

此组算式的特点：

第一个加数由2开始，每式依次增加1。

第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……

继续写下去

7＋123456×

9=1111111

8＋1234567×

9=

9＋×

9＝1

10＋9×

9＝11

11＋00×

12＋×

很自然地想到，可推广为

（1）当n=1、2时，等式显然成立。

（2）设n=k时，上式正确。

当n=k＋1时

k＋1＋123…k×

9

=k＋1＋[123…（k－1）×

10＋k］×

=k＋1＋123…（k－1）×

9×

10＋9k

=[k＋123…（k－1）×

9]×

10＋1

根据数学归纳法原理，由

（1）、

（2）可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。

例3牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。

（1）奇数（除1外）作分母的所有真分数的和、是（分母－1）÷

2。

=（21－1）÷

2=10。

22.巧想条件

比5小，分母

是13的最简分数有多少个。

7～64

为64－（7－1）＝58（个），去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。

例2一个整数与1、2、3，通过加减乘除（可添加括号）组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。

4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。

看结果，想条件，知都是可用的。

（1＋2＋3）＝24

（5＋1＋2）×

3＝24

6×

（3＋2－1）＝24

3＋1＋2＝24

8×

3÷

（2－1）＝24

3－1－2＝24

2＋1＋3＝24

23.想和不变

无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。

而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷

3＝6（倍）。

某数为7－6＝1或12－11＝1。

24.想和与差

算理，原式相当于

求这个分

数。

25.想差不变

分子与分母的差41－35＝6是不变的。

新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和

分母需同时扩大6÷

1＝6（倍）。

某数为42－35＝7，或48－41＝7。

与上例同理。

23－11＝12，3－1＝2，12÷

2＝6，

某数为11－6＝5或23－18＝5。

分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。

当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。

26.想差的1/2

对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。

分母减

去所有非最简真分数（包括分子和分母相同的这个假分数）的个数，差就是这个偶数。

例1求分母是12的所有最简真分数的和。

由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，（2×

3）的倍数2个，知所求数是

例2分母是105的，最简真分数的和是多少

倍数15

个，（3×

5）、（5×

7）、（3×

7）的倍数分别是7、3、5个，（3×

5×

7）的倍数1个。

105－［（35＋21＋15）－（3＋5＋7）＋1］＝48，

48÷

2＝24。

27.借助加减恒等式

个数。

若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得

这九个分数是

28.计算比较

例如，九册思考题：

1÷

11、2÷

11、3÷

11……10÷

11。

想一想，得数有什么规律

可见，除数是11，被除数是1的几倍（倍数不得大于或等于11），商

17÷

11＝（11＋6）÷

11＝11÷

11＋6÷

凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；

不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。

不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。

只要记住1÷

7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节

数字，即可。

29.由验算想

计算1212÷

101，……，3939÷

303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得

数

4848÷

202，7575÷

505，……

3939÷

303

＝（3030＋909）÷

＝3030÷

303＋909÷

＝10＋3＝13

备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。

若从“除法的验算”推导

由3939÷

303＝（），

商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。

显

然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。

所以商

是12。

30.想倍比

31.扩缩法

例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。

若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。

差就

是那个数。

181－42×

4＝13

42－13＝29

若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。

42×

5－181＝29，42—29＝13。

若把181缩小4倍，则得数比42大。

因为其中的一个数先扩大5倍，又

若把181缩小5倍，得数比42小。

因为先扩大4倍的那个数，又缩小

5

最佳想法：

两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。

相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。

181÷

42＝4余13。

另个数可这样求

32.分别假设

例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题5：

把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2

米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。

那么，正方形的面积是多少平方米。

设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则

（1－1×

20％）×

（1＋x）＝1，

正方形边长2÷

25％＝8（米），

面积8×

8＝64（平方米）。

33.变数为式

34.分解再组合

例如，（1＋2＋3＋…＋99）＋（4＋8＋12＋…＋396）

＝（1＋2＋3＋…＋99）＋4（1+2+3＋…＋99）

＝5（1＋2+3＋…＋99）

35.先分解再通分

有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。

判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。

把其中一个分解质因数，看另一个数能否被

这里的某个质因数整除即可。

57＝3×

19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。

用3、19试除，

[57，76]＝19×

4＝228。

26＝2×

13，65和91是13的倍数。

最小公分母为

13×

7＝910。

36.巧用分解质因数

教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。

其实，

分解质因数在解题中很有用处。

提供新解法，启迪创造思维。

例2184×

75

原式＝2×

46×

=46×

5）2

=138×

100=13800。

37.变式法

38.推理调整

例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛（C）卷题8：

一个小于200的自然数，它的每

位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘