小学数学难题解法之巧妙解题方法及练习题Word格式.docx
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因为每台织布机工作效率相同,所以可先分别算出织布机台数及织布时间之间的倍数关系。
100×
(5÷
2)×
(6÷
4)=375(米)
例2你往缸里倒水,如果每分钟增加1倍,10分钟时缸满了。
请问几分钟时缸中的水是半满?
缸满的水量,是半满水量的1倍,所以由半满到缸满要1分钟,而半满时用了
10-1=9(分钟)
例3(第二届“从小爱数学”邀请赛试题)有一本故事书,每2页文字之间有3页插图,也就是说3页插图前后各有一页文字。
(1)假如这本书有96页,而第一页是插图,这本书共有插图多少页?
(2)假如这本书有99页,而第一页是插图,这本书共有插图多少页?
说明理由。
书是按……文字、插图、插图、插图、文字、插图、插图、插图、文字、……排列的。
实际上是一张文字、三张插图交替排列。
(1)因为96刚好是4的倍数,所以这本书共有插图:
3×
(96÷
4)=72(页)
(2)99不是4的倍数,但我们已知96页中有72页是插图,其余3页只可能有以下几种情况:
插、插、插;
插、插、文;
插、文、插。
即余下3页中可能有2页插图,也可能有3页插图。
这样,可以知道这本书可能有74页插图,也可能有75页插图。
先求出两种树的总棵数,再分别求各占总数的百分之几。
松树:
48÷
〔48×
(3+1)〕=25%
柏树:
(48×
3)÷
(3+1)〕=75%
巧解法:
把松树棵数看作“1”,柏树是松树的3倍,总数就是(1+3)。
松树占总数的1÷
(1+3)=25%
柏树占总数的3÷
(1+3)=75%
或1-25%=75%
例5首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题,笔试第一试第9题:
一小和二小有同样多的同学参加金杯赛。
学校用汽车把学生送往考场。
一小用的汽车,每车坐15人,二小的汽车,每车坐13人。
结果二小比一小要多派一辆汽车。
后来每校各增加一个人参加竞赛,这样两校需要的汽车就一样多了。
最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛,二小又要比一小多派一辆汽车。
问最后两校共有多少人参加竞赛?
根据一小第一次增加一个人就要增加一辆汽车,断定原来各车均已坐满,即人数是15的倍数;
而二小第一次增加一个人车数却不变,第二次再增加一个人才增加一辆车,说明原来有一辆车差一人没坐满,即人数比13的倍数少1。
试算发现,同时满足这两个条件的只有90,于是得出最后两校参加竞赛的共为
(90+2)×
2=184(人)
例6第五届“从小爱数学”邀请赛试题,3题:
桌面上原有硬纸片5张。
从中取出若干张来,并将每张都任意剪成7张较小的纸片,然后放回桌面。
像这样,取出,剪小,放回,再取出,剪小,放回……是否可能在某次放回后,桌上的纸片数刚好是1991?
每次放回后,桌面上的纸片数一定是6的倍数加5,而1991=6×
331+5,所以可能。
例7美国小学数学奥林匹克(1984~1985)第一次(1984年11月)4题:
一个由12人组成的夏令营小组到达营地时,带有足够食用8天的食品,这时又有4人临时赶来参加他们的活动,但没带任何食物。
如果每人每天仍按原来的计划分配食物,试求所带的食品现在能够食用多少天。
所带食物是1个人一天配给量的12×
8=96(倍),它能维持16个人食用
96÷
16=6(天)
例8两仓库共存食品240吨。
已知甲库的20%与乙库的12%恰好等于36吨。
求两库各存食品多少吨?
据此题的特殊结构,将各分率与对应量同时扩大5倍,则甲的分率为100%。
甲率乙率对应量
(20%+12%)×
5—→36×
5(吨)
即100%+60%—→180(吨)
由此可知,乙库存食品的
40%是240-180=60吨
所以乙库存60÷
(1-60%)=150(吨)
甲库存240-150=90(吨)
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十一)[1]
巧填两个真分数之间的分数
两个真分数之间的分数是无穷的,这里给出几种简便填法。
数,下同)。
且两个分数是真分数,
且两个分数为真分数,则a>
b,
即bc-ad<
0,
因为a、b、c、d是正数,故ac>
0,a(a+c)>
0,c(a+c)>
(5)根据“大小两数的算术平均数,必大于小数而小于大数。
”求
符合要求。
(6)倍乘法
若插入“四个数”,就把它们各扩大“五倍”,即倍数比插入数多1。
(7)化为小数
显然,0.75~0.8之间的数是无穷的。
(8)反复通分
(9)变分子相同
故知所求数依次为
(个)符合要求的分数。
如果扩大3倍,则得(63-55)×
3-1=23(个)。
(10)化为百分数
(11)单位“1”法
把两个分数中的任意一个看作“1”,求出另一个分数占单位“1”的几分之几,取所得分数分子与分母的中间数作分子,分母不变,再乘以单位“1”即得问题的解。
(12)数轴法
都满足条件。
件
数),取其中的m份(m<n),一般表达式
所以该题的解为:
n的取值无限,其解无穷。
假设m=2,n=3,则
上是关系有理数集的稠密性的问题——任意两个不同的有理数之间存在着无穷多个有理数。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(十)
巧试商
(1)定位打点
首先用打点的方法定出商的最高位。
其次用除数的最高位去除被除数的前一位(如果被除数的前一位不够,就除被除数的前两位)。
最后换位调商。
试商后,如果除数和商相乘的积比被除数大时,将试商减1;
小时,且余数比除数大,将试商加1.例略。
(2)比积法
就是在求得商的最高位后,以后试商时,把被除数和已得的商与除数之积比较,从而确定该位上的商。
常可一次试商获得成功,从而提高解题速度,还可培养学生的比较判断能力。
例如,9072÷
252=36.
十位上商3,得积756.在个位上试商时,只要把1512与756相比较,便知1512是756的2倍,故商的个位应是3的2倍6.特别是当商中有相同数字时,更方便。
本题在个位上试商时,只要把1268与1256相比较,便知应为8,且很快写出积1256,从而得到余数12.
(3)四舍五入法
除数是两、三位数的除法。
根据除数“四舍五入”的试商方法,常需调商。
若改为“四舍一般要减一,五入一般要加一”,常可一次定商。
例如,175÷
24,除数24看作20,被除数175,初商得8,直接写商7.
2299÷
382,382可看作400,上商5,积是2000.接近2299,但结果商还是小,可直接写商6.
(4)三段试商法
把两位数的除数的个位数1—9九个数字,分为“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段来处理。
当除数的个位数是1、2、3时,用去尾法试商(把1、2、3舍去)。
商。
当除数个位数是4、5、6时,先用进一法试商,再用去尾法试商,然
商为8,取6—8之间的“7”为准确商。
如果两次初
是初商6、7中的“6”.
(5)高位试低位调
用除数最高位上的数去估商,再用较低位上的数调整商。
例如:
513÷
73=7的试商调商过程如下。
A.用除数十位上的7去除被除数的前两位数51,初商为7;
B.用除数个位上的3调商:
从513中去减7与70的积490,余23,23比初商7与除数个位数3的积21大,故初商准确,为7.
如果283÷
46时,用除数高位上的4去除28,初商为7,用除数个位6调商,从283中减去7与40的积余3,3比7与除数个位数6的积42小,初商则过大。
调为6.
这种试商方法简便迅速,初商出得快,由于“低位调”,准确商也找得准。
同时,由于用除数最高位上的数去估商时,初商只存在过大的情况,调整初商时只需要调小,这样,调商也较快。
但是,有时在采用这种方法试商时,初商与准确商仍存在着差距过大的
调商,从181中减去6与30的积,余1,1比6与7的积小,照理应将初商调为5,因为1比42小41,而41>
37,为了减少调商次数,直接将初商调为“4”,称为“跳调”。
这样便于较快地找出准确商。
(6)靠五法
对除数不大接近于整十数、整百数的,如9424÷
152,不论用舍法或者入法,都要两次调商。
如果我们把除数152看作150,即不是用四舍五入法,而是向五靠,一般能减少试商次数,甚至可以一次定商。
(7)同头无除
当被除数和除数的最高位数字相同,而被除数的次高位数字又比除数次高位数字小的,例如3368÷
354=9……,1456÷
182=8,一般的就用“同头无除商8、9”.
(8)半除
被除数的前一位或两位数正好是除数前两位数的一半或接近一半的,例如965÷
193=5,1305÷
261=5,一般用“半除商5”.
(9)一次定商法
对确定每一位商,分四步进行:
第一步,用5作基商,先求出除数的5倍是多少;
第二步,求差数,即求出被除到的数与除数的`5倍的差数;
第三步,求差商,差数÷
除数=“差商”;
第四步,定商,若差数>
0,当差商是几,定商为“5+几”,若差数<
0,当差商是几,定商为“5-几”。
517998÷
678=764……6
(1)先从高位算起,定第一位商7.
先求除数的5倍:
678×
5=3390求差商(5179-3390)÷
678=2……;
定商5+2=7;
(2)定第二位商6.
差商(4339-3390)÷
678=1……
定商5+1=6;
(3)定第三位商4.
被除数与除数5倍的差小于0,差商不足1,
定商5-1=4,即2718÷
678的商定为4.
对于上述一次定商法,在定商的过程中,如果被除到的数是除数的1倍或2倍,可以直接定商,不必拘泥于上面四步。
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(九)
巧设条件
有些题数量关系抽象,猛一看去甚至觉得条件“不充分”。
若把题变为“看得见,摸得着”,则易为学生理解接受。
例1制造某种机器零件的时间甲比乙少用1/4,那么,甲比乙的工作效率高()%.
若假设乙加工这种零件要8小时(是4的倍数计算方便),那么,甲加工
如果设乙加工这种零件要4分钟,那么,他每小时加工15个;
甲用的时间比乙少1/4,只需要3分钟,他每小时能加工20个。
这样,就更简捷了。
(20—15)÷
15≈33.3%.
设正方形的边长为6个长度单位(6是2和3的最小公倍数),则
例3甲数比乙数多25%,乙数比甲数少()%.
数少
例4一组题。
(1)一个正方形体的棱长扩大2倍,那么它的体积就扩大()倍,表面积扩大()倍。
假设原正方体的棱长为1个单位长度,其体积为1×
1×
1,表面积为1×
6;
扩大后的棱长为2,体积为23、表面积为22×
6。
再通过比较就可得出结果。
(2)大圆半径是小圆半径的3倍,大圆周长是小圆周长的()倍,小圆
假定小圆半径为1,则大圆半径为3。
与小圆面积的比是()。
假设阴影部分的面积为6,代入计算比直接利用两个“分率”推导易理解。
求小明比小方高多少,就是求168cm的1/6+1,即高出24cm.
小学数学难题解法大全之巧妙解题方法(八)[1]
巧求最小公倍数
求最小公倍数要根据具体题,灵活选用最佳方法。
(1)倍数查找法
例如,求6和9的最小公倍数。
分别求出要求最小公倍数的那几个数的一些公倍数,从中找出相同的且最小的一个。
6的倍数有:
6、12、18、24……
9的倍数有:
9、18、27、36……
则[6,9]=18.
(2)约分法
(证明略)
例如,求84与36的最小公倍数。
[84,36]=3×
84=252或36×
7=252
经逐次约分后,分数线上下形成了两列数,从这两列数的“头乘头或尾乘尾”即可得出原先两个数的最小公倍数。
(3)短除法
[15,30,40]=5×
4=120.
用短除法求最小公倍数最好用质数去试除,否则易出错。
如:
∴[15,30,40]=10×
4=600.
因为用合数去除,相当于用2除再用5除,而15虽然不能被10整除,却可以被5整除。
如果用10去除,就少用5去除,使结果扩大5倍。
这是错误的。
此法也不是非要用质数去试除不可。
例如,下面两式都是对的。
44×
4
=240=240
这是因为12、60和16既有公约数2,也有公约数4。
用较大的公约数去除,能减少运算步骤,应灵活选用。
(4)归类法
成倍数关系的几个数,最大的那个是它们的最小公倍数。
例如,12、15和60成倍数关系,即12与15分别是60的约数。
则[12,15,60]=60
如果三个数两两互质,其积是它们的最小公倍数。
例如,3、4和5,3和4、3和5,4和5都是互质数。
则[3,4,5]=3×
4×
5=60.
如果三个数当中只有两个数是倍数关系,那么其中较大的数与另外一个数的最小公倍数,就是这三个数的最小公倍数。
例如,8和4是倍数关系,较大数8和3的最小公倍数是24.
则[8,4,3]=24.
(5)翻倍法
当几个数之间不存在倍数关系或互质关系,要找它们的最小公倍数时,用两个(或两个以上)数中较大的那个数依次乘以2、3、4、5……求得“最先积”如果是另一个数(或另几个数)的倍数时,这个“最先积”就是所求的最小公倍数。
例如,求30、35和70的最小公倍数。
因为70是三个数中较大的数,用70依次去乘以2、3、4……得出积是70×
2=140,70×
3=210,70×
4=280……而210是30、35和70的倍数中的“最先积”,所以
[30,35,70]=210.
(6)用商法
先把两个数写成除法的形式,大数作被除数,小数作除数(除数为大于1的自然数),所得的商写成最简分数。
这两个数的最小公倍数等于被除数乘以商的分母。
例如,求64与48的最小公倍数。
64×
3=192
∴[64,48]=192.
(7)口诀法
例如,求18和24的最小公倍数。
乘法口诀:
“三六一十八(3×
6=18),四六二十四(4×
6=24)”。
6是它们的公约数,3和4是互质数。
则[18,24]=6×
4=72.
(8)最简分数法
例如,求84和63的最小公倍数。
写为真分数,化为最简分数。
原分数的分子(或分母)乘以最简分数的分母(或分子)。
63×
4=252或3×
84=252.
则[84,63]=252.
再如,求36、40和44的最小公倍数。
[36,40]=360.
[44,360]=3960.
则[36,40,44]=3960.
(9)特征法
例如,求24和30的最小公倍数。
根据24和30能被2整除的特征,记下2;
再根据都能被3整除,记下3.
2乘3得6,24和30分别除以6商为4、5,4和5互质。
则[24,30]=6×
5=120.
(10)定理法
定理:
两个数的最小公倍数。
等于这两个数的乘积除以它们的最大公约数。
这里的数都是自然数,即:
此定理的证明对小学教师来讲,应予以掌握,以居高临一般书中介绍的证法不易掌握,这里给出两种简便证法。
证明:
?
∵(a,b)|b,
∵a|[a,b],b|[a,b],
存在正整数m,n,
使[a,b]=am…
(1)
[a,b]=bn…
(2)[2]
∴k=1,
[1]数的整除定理3:
如果b|a1,那么b|(a1a2…an)。
(n>
1)
[2]最小公倍数的性质1:
如果[a,b]=m,n是a、b的任意一个公倍数,那么m|n.
[3]最大公约数的性质2,如果[a,b]=c,那么(a÷
c,b÷
c)=1.
(见《算术基础理论》)
设(a,b)=t,
则a=t·
p1,b=t·
p2,其中(p1,p2)=1,
则有[a,b]=[t·
p1,t·
p2]
=t·
p1·
p2.
例1求44和64的最小公倍数。
这种方法虽然计算较复杂,但优点是在求两个数的最小公倍数的同时,复习了求最大公约数。
如果习题既要求求两个数的最大公约数,又要求两个数的最小公倍数,那就更显示出其优越性。
例2a、b的最大公约数是15,最小公倍数是225,求a、b各是多少?
又因(a,b)=15,所以
a=15p1,b=15p2,且(p1,p2)=1,
于是15p1·
15p2=225×
15,所以
p2=15,其中(p1,p2)=1.
由此得
例3整数a、b之积为9408,它们的最小公倍数是336,求a、b.
因a·
b=9408,[a,b]=336及上述定理得
设a=28p1,b=28p2,(p1,p2)=1,于是ab=282·
p2=9408,
p2=12,(p1,p2)=1.
(11)比例法
把要求最小公倍数的两个数看作一个比的前项和后项,再将这个比化简,使其成为一个比例。
这个比例内项(或外项)的积,即为所求。
例如,求34与51的最小公倍数。
34∶51=2∶3
则[34,51]=34×
3=102.
(12)扩倍法
把最大数扩大到能被另外两个数整除,扩大的倍数与最大数的积就是要求的最小公倍数。
例如,
∵60×
4=240,240÷
16=15,240÷
24=10,
∴[16,24,60]=60×
4=240.
(13)求差取积法
此法分三种情况,这里分别给出两种证明方法,第二种证法简捷。
一、两个数的差小于减数
先求两数之差,然后用差作除数,去除减数,再用所得的商乘以被减数,所得的积就是原两个数的最小公倍数。
例如,求12与15的最小公倍数。
15-12=3,12÷
3=4,
15×
4=60.
则[12,15]=60.
证法一:
(下面的字母都表示自然数)
设两个数a、b,a-b=c,且0<
C<
B。
<
p>
如果b÷
c=q,则aq=[a,b].
∵a-b=c,∴a=b+c,
又∵b÷
c=q,∴b=c·
q,
∴aq=(b+c)·
q=(c·
q+c)·
q
=(q+1)·
cq=(q+1)·
∴b|aq.
又∵a|aq,∴aq是a,b的公倍数。
设m=[a,b],则aq=km。
∵a|m、ak|mk、ak|ap,∴k|q.
又∵b|m、bk|mk、bk|aq,即cq·
k|(q+1)·
cq,
∴k|(q+1),显然(q,q+1)=1,
∴aq=m=[a,b].
证法二:
如果a-b=c,c<
B,B÷
C=D,<
那么[a,b]=ad.
∵a-b=c,且c<
B,<
∴a÷
b=1(余c).
c=d,
∴(a,b)=(b,c)=c.(辗转相除法所依据的两个定理)
二、两个数的差大于减数。
若两个数的差大于减数时,可以先把减数扩大若干倍,使减数接近被减数,然后再按上述方法求出这两个数的最小公倍数。
例如,求42与105的最小公倍数。
42×
2=84105-84=21
42÷
21=2105×
2=210
则[42,105]=210
设两个数a、b,且a-b>
b,则将b扩大k倍(k是大于1的自然数),使0
c=q,那么aq=[a,b].
∵a-kb=c∴a=kb+c,
∵b÷
C=q∴b=cq,
∴a=kb+c=kcq+c=(kq+1)·
c,
aq=(kq+1)c·
q=(kq+1)·
cq
=(kq+1)·
又∵a|aq,∴aq是a与b的公倍数。
设[a,b]=m,则aq=pm(p是自然数)。
∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q,
b|m、bp|pm、(qc)·
p|(kq+1)·
∴p|(kq+1).
∵(q,kq+1)=1,∴p=1,
∴aq=pm=[a,b].
如果a-nb=c,c<
∵a-nb=c,且c<
b=n(余c).
∴(a,b)=(b,c)=c.
三、两个数的差不能整除减数。
如果两个数的差不能整除减数时,可用差的约数(从大到小试除)作除数,然后再按上述方法求出两个数的最小公倍数。
求189与135的最小公倍数。
189-135=54∵54135,
54的约数有27、18……
∵135÷
27=5,
189×
5=945,
则[189,135]=945.
如果两数差等于减数时,这两个数的