高中数学复数专题复习知识点例题习题附解析docx.docx
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高中数学复数专题复习（知识点、例题、习题附解析）
一、复数的概念
1.定义
形如z=a+bi（a,b&R）的数叫做复数.复数常用字母z表示，其中a与人分别叫做复数z的实部与虚部，i叫做虚数单位，规定i2=-1.全体复数所成的集合叫做复数集，用C表示.
注意：
复数不能比较大小，只有相等和不相等，当对应的实部和虚部相同时，我们说复数相等.
例如：
3+2i=3+2i^2+3i.
例1
复数2+3i的实部是,虚部是；复数-2-i的实部是,虚部是
解析：
注意i前面的数字才是虚部，包含正负号.
答案：
23-2-1
例2
已知2x-l+i=y-（3-y）i,求工与y.
解析：
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等.
r2
由题意，得］'，解得＜2.
11=-（3-＞）"=4
答案：
x=：
y=4
2.i的周期性
i'=ii2=-1F=—ii4=l,以此类推，可得：
i4B+1=ii4n+2=-1i4"+3=_ii4"=l（"eZ）
i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4"=0（”eZ）
例如：
i1987=i3=-i,i2,,20=i4=l（指数除以4,只保留余数，如果整除，即为i〈）.
3.复数的分类
'实数彷=0）
z=a+bi<
虚数彷。
0）
对于复数a+bi,当》=0时，它是实数；当b^O时，它是虚数；当0=0且力力0时，叫做纯虚数.
一般虚数彷。
0,1。
0）纯虚数彷。
0,3=0）
例如：
2（实数），3i（纯虚数），2+3i（一般虚数）.
例3
设zncR,复数z=（2+i）m2-3（1+i）m-2（1-i）.
（1）若z为实数，求秫的值；
（2）若z为纯虚数，求m的值.
解析：
化简得z=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i
（1）由题意得m2—3m+2=0,解得刀=1或”=2.
（2）由题意得"一3"一2=°,解得心一L
m2—3m+2主02
答案：
（1）m==2,
（2）m=~—
2
八*（虚轴）
4.复数的几何意义
在平面直角坐标系中，复数z=.+3可用点Z（a,b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，尤轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数，除原点外，虚轴上的点表示纯虚数.
复数z=q£R）一一~T对应一＞复平面内的点Z（a,b）
b♦Z:
I■■I■III
!
►
。
ax（实轴）
复平面内，连接0Z,向量。
2由点Z唯一确定，因此，复
数与复平面内的向量也是对应的.
复数z=G+Z?
i（G,Z?
cR）〈-一~刘匹一＞平面向量
例如：
复数2+3i在复平面内对应的点和向量的坐标为（2,3）.
例4
实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
解析：
由复数和点的一一对应关系，可知点的坐标为（-2,1）,位于第二象限.
答案:
B
5.复数的模
向量的模（长度）叫做复数z^a+bi的模，记作|z|,\z\=\a+bi\=y]a2+b2.
例如：
|2+3i|=逝皇?
=应.
|z|的几何意义：
复数z的点到原点的距离.
|Z,-z21的集合意义：
Z],今对应的两点之间的距离.
性质：
Izxz21=1Zjiiz2hi~i=m
Z21Z21
例5
已知复数|z|=1,求复数3+4i+z的模的最大值及最小值.
解析：
复数3+4i+z在复平面内对应点的轨迹是以（3,4）为圆心，1为半径的圆，则复数模的最大值和最小值即为从圆上到原点距离的最大和最小值，故最大值为02+42+1=6,最小值为好+4,-1=4.
答案：
6,4
练习题:
1
已知：
z=（m+l）+（m-l）i,meR,求z为
（1）实数；
（2）虚数；（3）纯虚数时，求秫的值.
解析：
（1）当m—1=0,m=l时，为实数；
（2）当m—1^0f时，为虚数；
（3）当m+l=0且m—1。
0,即m=—l时，为纯虚数.
答案：
（1）m=l
（2）（3）m=—1
2
已知x2+y2-2i=6+（y-x）i,求实数x,>的值.
■xp-1=Kx—1—
解析：
复数相等，则对应的实部和虚部相等，即-一，解得一-:
—2=y—xy=—yj2—1
T[x=l+y/2
y=y/2-l
答案：
%=1-V2,"项-1或x=l+扼，y=j2-l
3
方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求此根m及实数k的值.
解析：
因为有实根m,所以方程化简为（冰+S+2）+（2m+幻i=0,所以
[m2+km+2=Q左刀/闩m=y/2m=-\/2
〈，解得〈1或\2m+k=Q[k=-2yj2[k=2y/2
答案:
m=y/2,k=-2^/^或秫=k=2^/^
4
已知X是实数，y是虚数，且满足（2x-1）+（3-y）i=y-i,求x和y的值.
解析：
由y是纯虚数，可设y=bi,原式变为（2乂-1）+（3-y）i=Z?
i-i,整理得
f3
—1+7?
=Qx—
（2x—i+A）+3i=0—l）i,所以「一，解得~2•
1[b=4
答案：
x=--,y=4i
2
5
己知复数Zj=-4m+1+（2m2+3m）i,z2=2m+（m2+m）i,问m为何值时，zx>z2.
解析：
两个复数可以比较大小，说明两个数都是实数，则应满足＜
解得m=Q.
答案：
0
2m2+3m=0m2+m=Q,-4m+1>2m
6
m2+m-2+（m2-l）i是纯虚数，则m=.
-1-fT?
—2=0
解析：
由复数为纯虚数的条件可得，■,解得〃z=-2.
m-一1力0
答案：
-2
7
7
若z=4+3i,则—=（）
|z|
4343
A.1B.-1C.-+-iD.i
5555
解析：
z—43i,1z|—+3—5,贝！
J——i.
|z\555
答案：
D
复数的四则运算
iSlZj=a+bi,z°=c+di,S']Zj+z2=（a+bi）+（c+（2+4i）+（―5+i）=（2—5）+（4+l）i=—3+5i.
2.减法
i§Lzt=a+bi,z°=c+di,S']zt-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i.例如：
（2+4i）-（-5+i）=（2+5）+（4-l）i=7+3i.
例1
满足条件|z+l-i|=|4-3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是（）
A.一条直线B.两条直线C.一个圆D.一个椭圆
解析：
|z+l-i|表示复平面内复数Z对应的点Z到点（-1,1）的距离,|4-3i|表示模，等于5,故满足|z+l-i|=5的复数z对应点的轨迹是以（-1,1）为圆心，5为半径的圆.
答案：
c
例2
在复平面内，。
是原点，OA,0C,屈对应的复数分别为-2+i,3+2i,l+5i,
那么页对应的复数为（）
A.4+7iB.l+3iC.4-4iD.-l+6i
解析：
BC^OC-（OA+AB）,对应的复数为3+2i-（-2+i+l+5i）=4-4i.
答案：
C
3.乘法
设Z]=a+bi,z2=c+di,贝'Jz,zn-ac+bci+adi+bdr-（ac-bd）+（ad+bc）i.
例如：
（2+4i）・（-5+i）=-10+2i—20i+4i2=—14—18i.
例3
设复数Z],Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Zj=2+i,则Z]z2=（）
A.-5B.5C.-4+iD.-4-i
解析：
Z]对应的点为（2,1）,则Z2对应的点为（-2,1）,即z2=-2+i,则
=（2+i）（-2+i）=i2-4=-5.
答案：
A
例4
已知复数z=（5+2疔，贝ijz的实部为.
解析：
z=（5+2i）2=25+20i+4i2=21+20i,实部为21.
答案：
21
4.除法
共相复数：
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共相复数,通常记复数z=a+bi的共机复数为z^a-bi.
性质：
|z|=|~z\==Ja2+芥
-6-22i_-3-lli
2613
（2+4i）（-5-i）
（-5+i）（-5-i）
例如:
例如：
2+3i的共辄复数为2—3i.
例5
若。
—i与2+赢互为共貌复数，则（。
+算）2=（）
A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i
解析：
由题意知，a=29b=1,则（o+Ai）2=（2+i）2=3+4i.
答案：
D
例6
若z+万=2,（z-z）i=2,贝ijz=（）
A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i
解析：
设z=a+Z>i,则万=a—bi,z+歹=M=2,.・.a=l；（z-z）i=2bi2=-2b=2:
.b=-l；:
.z=l-i.
答案：
D
、比7•n,a+bi（a-^-bi）（c-di）（ac+bd）+（be-ad）i
设Z|=a+bi,=c+di,则z.f==-=-
c+di（c+di）（c-di）c1+d2
2+4i
复数z满足（3+4i）z=25,贝ijz=（）
A.-3+4i
B.-3-4i
C.3+4i
D.3-4i
25（3-4i）
2维丝=3一4i.
9+16
25解析：
由题息知z==
3+4i（3+4i）（3-4i）
答案：
D
满足£±l=i的复数z=（）z
A11.n1L八1c1L
A.—1—iB.iC.1—iD.i
22222222
z+i
解析：
由=i变形为z+i=zi,
Z
可得z=—=i（TT）=
-1+i（—l+i）（—1—i）222
答案：
B
结论：
复数的四则运算可把i看作是普通字母带入运算，如遇i2则变为-1；除法运算时分子分母同乘以分母的共辄复数，基本思路就是把分母的复数变为实数.
1+i.1—i
=1=—11-i1+i
i,则有：
22
5.复数运算常用结论：
（1±i）2=+2i—=—i
i
、1.2
7己口=F——1,贝寸刃
22
0^=CD|CO|=|692|=11+口+口之=0
例9
"=（）
d-i）2
A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
解析：
方法一：
实¥=（=）2（l+i）=i2（l+i）=_l_i.
（1-1）1-1
（1+i）3（1+i）2（1+i）2i（l+i）.
万法一（1-i广（1-i）2=-2i=Tf
答案：
D
例10
设复数刃=一上+如i,贝|」1+刃=（）
22
11
A.~oB.coC.D.——
coco
解析：
1+口=上+吏i,由常用结论可迅速排除AB,C带入运算可知符合题意.
22
答案：
C
练习题:
1
设复数Z|和Z2在复平面内的对应点关于坐标原点对称，且Z|=3-2i,则Z1Z2=
解析：
由题意知，z,=-3+2i,所以z&=（3—2i）（—3+2i）=—5+12i.
答案:
-5+12i
2
已知复数z=j耕在复平面内对应的点在直线x-2y+m=0上，则机=—.
解析：
z=^^=^^=（4+?
）i=i-2i,对应的点为（1,-2）,带入直线方（1+02i2i2
程，得m=—5-
答案：
-5
3
i607的共轴复数为.
解析：
i607=i3=_i,共轴复数为i.
答案：
i
4
复数z满足（3-4z）z=|4+3z|,贝"的虚部为.
解析：
14+3z|—^4+3—5,所以z—l—"•—+i,虚部为.
3-4i25555
4
答案：
-
5
5
若复数L主是纯虚数，则力=.
2+i
解析：
尝=（l+8i）（2-i）=（"+2）+（2Di是纯虚数，则解得
2+i（2+i）（2-i）5[2力-1力0
b=-2.
答案：
-2
6
万是z的共轴复数，若z歹i+2=2z,贝ijz=.
构军析：
设2=^+赢，贝!
jz云i+2=2z变为（"+Z?
i）（"-Z?
i）i+2=2（"+人i）,化简得
2+（a2+厅）i=+2》i,故2。
=2,a2+Z?
2=2b，解得a=l,b=l，艮Pz=l+i.
答案：
1+i
7
复数n同时满足z-z=2i,z=iz,贝Uz=.
解析：
后式带入前式可得z-iz=2i,贝U=—=i-l.1-i
答案：
i-1
8
已知=1一〃i,则m+ni=（）
1+i
A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i
解析：
原式可化简为zn+〃i=〃+l+i,所以，，解得m=2,n=l,
[n=l
m+ni=2+i.
答案：
c
9
（1-i）3的虚部为（）
A.3B.-3C.2D.-2
解析：
（1-i）3=（l-i）2（l-i）=-2i（l-i）=2-2i,虚部为-2.
答案：
D
10
若曰为实数，则a的值为.
2+i
解析：
£zi=（a—i）（2—i）=2a—l—（a+2）i为实数，则^+2=0；a=—2.
2+i（2+i）（2-i）5
答案：
-2
散学浪子
你想W么学，馥0你野-
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